四川省成都市蓉城名校2022-2023学年高二下学期期末联考文科数学试题

试卷更新日期：2023-07-27 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | \frac{x + 2}{x - 3} < 0}$ ， $B = {x | y = l o g_{3} x}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $(0 ， 3)$ B、 $(- 2 ， 3)$ C、 $(- 2 ， 0)$ D、 $(- 2 ， + \infty)$

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2. 成都大运会某志愿者服务小队由四川大学25名学生和电子科技大学15名学生组成，现用分层抽样的方法从上述所有学生中抽取16名学生进行应急知识检测，则从四川大学学生中抽取的人数为（）

A、10 B、6 C、5 D、3

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3. 设 $x ， y \in R$ ，则“ $x = - y$ ”是“ $x^{2} - y^{2} - x - y = 0$ ”的（）

A、充分必要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知等边三角形ABC的边长为 $a$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} + \vec{A C} \cdot \vec{B C}$ 的值为（）

A、 $- a^{2}$ B、 $a^{2}$ C、 $0$ D、 $\sqrt{3} a^{2}$

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5. 已知函数 $f (x) = e^{x} (x^{2} + 1)$ 在点 $A (0 ， f (0))$ 处的切线方程为 $y = a x + 1$ ，则 $a$ 的值为（）

A、 $- 1$ B、 $- e$ C、1 D、 $e$

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6. 已知正实数 $m ， n$ ，满足 $m + n = 1$ ，则下列不等式中错误的是（）

A、 $m n \leq \frac{1}{4}$ B、 $2 m^{2} + 2 n^{2} \geq 1$ C、 $m (n + 1) < 1$ D、 $\sqrt{m} + \sqrt{n} \leq 1$

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7. 若 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} 2 x - y \geq 0 \\ x + 2 y - 5 \geq 0 \\ 3 x + y - 10 \leq 0 \end{array}$ 则 $z = x^{2} + y^{2}$ 的最大值是（）

A、5 B、10 C、 $2 \sqrt{5}$ D、20

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8. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} f (x + 2) ， x \leq 0 \\ 2^{x} ， x > 0 \end{array}$ ，则 $f (f (- 2)) =$ （）

A、4 B、8 C、16 D、32

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9. 已知函数 $y = f (x)$ 的大致图象如图所示，则 $f (x)$ 的解析式可能为（）

A、 $f (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{x^{2}}$ B、 $f (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{x^{2}}$ C、 $f (x) = x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$ D、 $f (x) = x + \frac{1}{x^{3}}$

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10. 设经过点 $P (2 ， 0)$ 的动直线 $l$ 与抛物线 $C ： y^{2} = 2 x$ 交于不同的两点 $M ， N$ ，点 $D$ 是直线 $x = - \frac{1}{2}$ 上的一动点，则 $∠ M D N$ 为（）

A、锐角 B、直角 C、钝角 D、以上均可能

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11. 在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C$ ， $A B = 2 ， A C = A P$ ， $B C ⊥ C A$ ，若三棱锥 $P - A B C$ 外接球的表面积为 $5 π$ ，则 $B C =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{5}$

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12. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，右支上一点 $P$ 到双曲线 $C$ 的两条渐近线的距离分别为 $d_{1} ， d_{2}$ ，若 ${| F_{1} F_{2} |}^{2} = 16 d_{1} d_{2}$ ，则双曲线 $C$ 的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm 2 x$ B、 $y = \pm \sqrt{3} x$ C、 $y = \pm \sqrt{2} x$ D、 $y = \pm x$

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二、填空题

13. 若复数 $z = a + b i (a ， b \in R)$ 满足 $z (1 - i) = i$ ，则 $\frac{a}{b} =$ ．

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14. 函数 $y = \frac{1}{x} - l n x$ 的单调递减区间为．

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15. 已知直线 $x + m y - 4 = 0$ 与离心率为 $\sqrt{2}$ 的双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - y^{2} = 1 (a > 0)$ 的一条渐近线平行，则 $m$ 所有可能取的值之和为．

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16. 已知 $f (x) = {\begin{array}{l} - 2 x^{2} + 4 x ， x \leq 2 \\ l n (x - 1) ， x > 2 \end{array}$ ，若关于 $x$ 的方程 $f^{2} (x) + (t - 2) f (x) - 2 t = 0$ 有五个相异的实数根，则 $t$ 的取值范围是．

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三、解答题

17. 设 $x_{1} ， x_{2} (x_{1} < x_{2})$ 是函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + m x^{2} - 3 x + 1$ 的两个极值点，且 $\frac{x_{1} + x_{2}}{x_{1} x_{2}} = \frac{2}{3}$ ．

(1)、求 $m$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[0 ， 3]$ 上的值域．

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18. 第31届世界大学生夏季运动会将于2023年7月28日

∼

8月8日在成都市举行，全民运动成为新风尚．某体育用品店统计了2023年

1 \sim 5

月份运动器材销量y（单位：千套）与售价x（单位：元）的情况，如下表所示：

月份	1	2	3	4	5
器材售价x（元）	100	90	80	70	60
销量y（千套）	5	7.5	8	9	10.5

(1)、求

(x_{i} ， y_{i})

(i = 1 ， 2 ， 3 ， ⋯ ， n)

的相关系数

r

，并判断销量y与售价x是否有很强的线性相关性？（当

| r | \in [0.75 ， 1]

时，可以认为两个变量有很强的线性相关性；否则，没有很强的线性相关性）（精确到0.001）；

(2)、请建立y关于x的线性回归方程（精确到0.001），并估计当该器材的售价为50元时销量为多少千套？

参考公式：对于一组数据 $(x_{i} ， y_{i})$ $(i = 1 ， 2 ， 3 ， ⋯ ， n)$ ，相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} (y_{i} - \bar{y})^{2}}}$ ，其回归直线 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ，参考数据： $\sqrt{16500} \approx 128.452$ ．

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19. 在四棱锥 $Q - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是矩形，若 $A D = Q D = Q A = 2$ ， $C D = 1 ， Q C = \sqrt{5}$ ．

(1)、证明：平面 $Q A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、若 $E ， F$ 分别是 $Q C ， Q D$ 的中点，动点P在线段EF上移动，求三棱锥 $A - P B C$ 的体积．

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20. 已知在平面直角坐标系 $x O y$ 中，椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右顶点为 $A$ ，上顶点为 $B$ ， $△ A O B$ 的面积为 $\sqrt{2}$ ，离心率 $e = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、若斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 相切，且 $l$ 与椭圆 $C$ 相交于 $M$ 、 $N$ 两点，若弦长 $| M N |$ 的取值范围为 $[\frac{8}{3} ， 2 \sqrt{2}]$ ，求斜率 $k$ 的取值范围．

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21. 已知函数 $f (x) = a x - s i n x$ ， $g (x) = x^{2} - a l n x$ ， $a \in R$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，证明： $x ≥ 0$ 时， $f (x) \geq 0$ 恒成立；

(2)、若 $g (x)$ 在 $(1 ， g (1))$ 处的切线与y=-x+1垂直，求函数 $g (x)$ 在区间 $[\frac{1}{2} ， 2]$ 上的值域；

(3)、若方程 $f (x) + s i n x = l n x$ 有两个不同的根，求实数 $a$ 的取值范围．

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，圆 $C$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 2 + 2 c o s θ \\ y = 2 s i n θ \end{array}$ （ $θ$ 为参数），直线l的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 1 + \frac{1}{2} t \\ y = \frac{\sqrt{3}}{2} t \end{array}$ （t为参数）．

(1)、以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆 $C$ 的极坐标方程；

(2)、若点 $P (1 ， 0)$ ，直线l与圆 $C$ 相交于 $A ， B$ 两点，求 $| P A | \cdot | P B |$ 的值．

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