四川省成都市蓉城联盟2022-2023学年高一下学期期末联考数学试题

试卷更新日期：2023-07-27 类型：期末考试

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知i为虚数单位， $\bar{z} = 2 - 3 i$ ，则复数z的虚部为（）

A、3 B、-3 C、3i D、 $- 3 i$

查看试题解析
2. 已知 $\vec{a} = (3 ， 2)$ ， $\vec{b} = (3 + m ， m + 1)$ ， $\vec{a} = λ \vec{b} (λ \in R)$ ，则m＝（）

A、－2 B、2 C、3 D、－3

查看试题解析
3. 已知利用斜二测画法绘制某三棱柱 $A B C - A^{'} B^{'} C^{'}$ 的直观图如图所示，则该三棱柱的体积为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $2 \sqrt{2}$ D、4

查看试题解析
4. 已知 $A (2 ， - 1)$ ， $B (5 ， 1)$ ， $C (2 ， 0)$ ， $D (1 ， 1)$ ，则 $\vec{A B}$ 在 $\vec{C D}$ 方向上的投影向量为（）

A、 $(\frac{1}{2} ， - \frac{1}{2})$ B、 $(- \frac{1}{2} ， \frac{1}{2})$ C、 $(\frac{\sqrt{2}}{2} ， - \frac{\sqrt{2}}{2})$ D、 $(- \frac{\sqrt{2}}{2} ， \frac{\sqrt{2}}{2})$

查看试题解析
5. 已知 $s i n (x + \frac{5 π}{12}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则 $c o s (2 x + \frac{5 π}{6}) =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

查看试题解析
6. 已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是单位向量， $| 2 \vec{a} + \vec{b} | = \sqrt{3}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

查看试题解析
7. 如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝AC＝2， $S_{△ A B C} = 1$ ， A为锐角，侧棱PA＝PB＝PC＝2，一只小虫从A点出发，沿侧面绕棱锥爬行一周后回到A点，则小虫爬行的最短距离为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{6} - \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{6} + \sqrt{2}$

查看试题解析
8. 已知点O是 $△ A B C$ 的内心， $A B = 4 ， A C = 3$ ， $\vec{C B} = λ \vec{C A} + μ \vec{C O}$ ，则 $λ + μ =$ （）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{5}{3}$ C、2 D、 $\frac{7}{3}$

查看试题解析

二、多选题

9. 如图，已知圆锥SO母线长l＝5，底面半径r＝4，则下列结论中正确的有（）

A、圆锥的表面积为 $36 π$ B、圆锥侧面展开图的圆心角为 $\frac{8 π}{5}$ C、圆锥的体积为 $16 π$ D、圆锥的轴截面是锐角三角形

查看试题解析
10. 已知函数 $f (x) = s i n x c o s x + \sqrt{3} c o s^{2} x$ ，则下列结论中正确的有（）

A、函数解析式化简后为： $f (x) = s i n (2 x + \frac{π}{3}) + \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $f (x)$ 的对称轴为 $x = \frac{π}{12} + \frac{k π}{2}$ ， $k \in Z$ C、 $f (x)$ 的对称中心为 $(- \frac{π}{6} + \frac{k π}{2} ， 0)$ ， $k \in Z$ D、 $f (x)$ 的单调递增区间为 $[- \frac{5 π}{12} + k π ， \frac{π}{12} + k π]$ ， $k \in Z$

查看试题解析
11. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列命题中正确的有（）

A、若 $c = 2 a s i n C$ ，则A＝30° B、若A＞90°，则 $t a n B t a n C < 1$ C、若 $a = 2 \sqrt{3}$ ， b＝4，B＝60°，则 $△ A B C$ 有两组解 D、若 $s i n^{2} A + s i n^{2} B - s i n^{2} C < 0$ ，则 $△ A B C$ 是钝角三角形

查看试题解析
12. 如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，M，N分别是AB，AD边上的动点，下列命题中正确的有（）

A、若 $△ A M N$ 的周长为2，则∠MCN的正切值等于1 B、若 $△ A M N$ 的面积为 $\frac{1}{8}$ ，则∠MCN正切值的最小值为 $\frac{3}{4}$ C、若 $△ A M N$ 的周长为2，则 $\vec{C M} \cdot \vec{C N}$ 的最小值为 $2 \sqrt{2} - 2$ D、若 $△ A M N$ 的面积为 $\frac{1}{8}$ ，则 $\vec{C M} \cdot \vec{C N}$ 的最大值为 $\sqrt{2}$

查看试题解析

三、填空题

13. 已知 $A (1 ， 0)$ ， $B (3 ， 2)$ ， $C (k ， k + 1) (k \in R)$ ，若 $\vec{A B} ⊥ \vec{B C}$ ，则k＝．

查看试题解析
14. 已知棱台两底面的面积分别为1和4，截得这个棱台的棱锥的高为6，则这个棱台的体积为．

查看试题解析
15. 已知O是 $△ A B C$ 所在平面内一点， $2 \vec{O A} - \vec{O B} + 3 \vec{O C} = \vec{0}$ ，则 $△ A O C$ 与 $△ A B C$ 的面积比 $\frac{S_{△ A O C}}{S_{△ A B C}} =$ ．

查看试题解析
16. 已知 ${\vec{a} ， \vec{b}}$ 是平面内一组基底， $| 2 \vec{a} + \vec{b} | = 1$ ， $| \vec{a} - \vec{b} | = \sqrt{3}$ ，则 $\vec{a} + \vec{b}$ 与 $2 \vec{a} + \vec{b}$ 所成角的最大值为．

查看试题解析

四、解答题

17. 设复数 $z = a + b i (a ， b \in R)$ ， i为虚数单位，且满足 $| z | + z = \frac{- 4 + 8 i}{i}$ ．

(1)、求复数z；

(2)、复数z是关于x的方程 $x^{2} + p x + q = 0$ 的一个根，求实数p，q的值．

查看试题解析
18. 如图，圆柱内接于球O，已知球O的半径R＝2，设圆柱的底面半径为r．

(1)、以r为变量，表示圆柱的表面积 $S_{柱}$ 和体积 $V_{柱}$ ；

(2)、当r为何值时，该球内接圆柱的侧面积最大，最大值是多少？

查看试题解析
19. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $x \in (- \frac{π}{18} ， \frac{5 π}{18})$ ，求 $f (x)$ 的取值范围．

查看试题解析
20. 在 $△ A B C$ 中， $\vec{B D} = \frac{1}{2} \vec{D C}$ ， $\vec{A E} = \frac{1}{3} \vec{E C}$ ， AD交BE于点G，设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A C} = \vec{b}$ ．

(1)、用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 表示 $\vec{A D}$ ， $\vec{B E}$ ；

(2)、若 $| \vec{a} | = 3$ ， $| \vec{b} | = 6$ ， $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 夹角为 $\frac{π}{3}$ ，求 $| \vec{C G} |$ ．

查看试题解析
21. 某海岸的A哨所在凌晨1点15分发现哨所北偏东 $3 0^{°}$ 方向20 n mile处的D点出现可疑船只，因天气恶劣能见度低，无法对船只进行识别，所以将该船雷达特征信号进行标记并上报周围哨所．早上5点15分位于A哨所正西方向20 n mile的B哨所发现了该可疑船只位于B哨所北偏西 $3 0^{°}$ 方向60 n mile处的E点，并识别出其为走私船，立刻命令位于B哨所正西方向30 n mile处C点的我方缉私船前往拦截，已知缉私船速度大小为30 n mile/h．（假设所有船只均保持匀速直线航行）

(1)、求走私船的速度大小；

(2)、缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船，并求出截获走私船的具体时间．

查看试题解析
22. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 $b = \sqrt{2}$ ， $c = b c o s A$ ．

(1)、求角B；

(2)、求 $\frac{1}{a} + \frac{1}{c}$ 的最小值；

(3)、 $⊙ O$ 为 $△ A B C$ 的外接圆，P为 $⊙ O$ 外一点，过P点作 $⊙ O$ 的切线，切点分别为E，F，求 $\vec{P E} \cdot \vec{P F}$ 的最小值．

查看试题解析