浙江省宁波市余姚市2022-2023学年高一下学期期末数学试题

试卷更新日期：2023-07-27 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若复数 $z = a^{2} - 4 + (a - 2) i$ 为纯虚数，则实数 $a$ 的值为（）

A、2 B、2或-2 C、-2 D、-4

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2. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ .已知 $b^{2} + c^{2} - a^{2} = b c$ ，若 $s i n^{2} A + s i n^{2} B = s i n^{2} C$ ，则角 $B$ 的大小为（）

A、 $3 0^{∘}$ B、 $4 5^{∘}$ C、 $6 0^{∘}$ D、 $9 0^{∘}$

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3. 已知正三角形边长为2，用斜二测画法画出该三角形的直观图，则所得直观图的面积为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{6}$

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4. 已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $(3 \vec{a} - 2 \vec{b}) ⊥ (5 \vec{a} + \vec{b})$ ，且 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{7}$ ，若 $| \vec{a} | = 1$ ，则 $| \vec{b} | =$ （）

A、 $\frac{9}{2}$ B、 $\frac{15}{2}$ C、 $\sqrt{7}$ D、 $\sqrt{2}$

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5. 下列命题正确的是（）
①平行于同一条直线的两条直线平行；②平行于同一条直线的两个平面平行；③平行于同一个平面的两条直线平行；④平行于同一个平面的两个平面平行

A、①② B、③④ C、①④ D、②③

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6. 某图书馆统计了某个月前8天纸质图书的借阅情况，整理数据得到如下折线图．根据折线图，下列结论正确的是（）

A、这8天里，每天图书借出数的极差大于50 B、这8天里，每天图书借出数的平均数大于105 C、这8天里，每天图书借出数的中位数大于101 D、前4天图书借出数的方差小于后4天图书借出数的方差

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7. 在正四棱锥 $S - A B C D$ 中，底面是边长为2的正方形，侧面是腰长为 $\sqrt{6}$ 的等腰三角形，则正四棱锥 $S - A B C D$ 的外接球的体积为（）

A、 $\frac{27 π}{2}$ B、 $9 π$ C、 $\frac{9 π}{2}$ D、 $18 π$

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8. 如图，在平面四边形ABCD中， $A B ⊥ B C ， A D ⊥ C D ， ∠ B A D = 120 ° ， A B = A D = 1$ ．若点E为边CD上的动点（不与C、D重合），则 $\vec{E A} \cdot \vec{E B}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{13}{12}$ B、 $\frac{21}{16}$ C、 $\sqrt{3}$ D、1

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二、多选题

9. 甲乙两台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床的正品率是0.8，乙机床的正品率为0.9，分别从它们制造的产品中任意抽取一件，则（）

A、两件都是次品的概率为0.02 B、事件“至多有一件正品”与事件“至少有一件正品”是互斥事件 C、恰有一件正品的概率为0.26 D、事件“两件都是次品”与事件“至少有一件正品”是对立事件

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10. 已知复数z满足 $(2 + i) z = 1 + 3 i$ ，则（）

A、 $| z | = \sqrt{2}$ B、z满足方程 $z^{2} - 2 z + 2 = 0$ C、 $z^{4} = 4$ D、 $\bar{z}$ z在复平面内对应的点位于第二象限

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11. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（）

A、若 $a^{2} + c^{2} - b^{2} > 0$ ，则 $△ A B C$ 为锐角三角形 B、若 $A > B$ ，则 $s i n A > s i n B$ C、若 $b = 3 ， a = 4 ， B = \frac{π}{6}$ ，则此三角形有2解 D、若 $s i n 2 A = s i n 2 B$ ，则 $△ A B C$ 为等腰三角形

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12. 已知正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面边长为1，侧棱长为2，点M为侧棱 $C C_{1}$ 上的动点（包括端点）， $A M ⊥$ 平面 $α$ ．下列说法正确的有（）

A、异面直线AM与 $B_{1} C$ 可能垂直 B、直线BC与平面 $α$ 可能垂直 C、AB与平面 $α$ 所成角的正弦值的范围为 $[\frac{\sqrt{3}}{3} ， \frac{\sqrt{2}}{2}]$ D、若 $M \in α$ 且 $C M = M C_{1}$ ，则平面 $α$ 截正四棱柱所得截面多边形的周长为 $3 \sqrt{2}$

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三、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (3 ， - 1)$ ， $\vec{b} = (2 ， k)$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 共线，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ ．

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14. 在 $△ A B C$ 中， $A B = 2 \sqrt{5}$ ， $A C = \sqrt{5}$ ， $∠ B A C = 90 °$ ，则 $△ A B C$ 绕 $B C$ 所在直线旋转一周所形成的几何体的表面积为.

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15. 如图所示，摩天轮的直径为 $110 m$ ，最高点距离地面的高度为 $120 m$ ，摩天轮按逆时针方向作匀速转动，且每 $30 m i n$ 转一圈．若游客甲在最低点坐上摩天轮座舱，则在开始转动 $5 m i n$ 后距离地面的高度为m．

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16. $△ A B C$ 中， $A B = 1$ ， $A C = 4$ ， $∠ A = 60 °$ ， $A D$ 是 $B C$ 边上的中线， $E$ ， $F$ 分别为线段 $A B$ ， $A C$ 上的动点， $E F$ 交 $A D$ 于点 $G$ .若 $△ A E F$ 面积为 $△ A B C$ 面积的一半，则 $\vec{A G} \cdot \vec{E F}$ 的最小值为

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四、解答题

17. 为了纪念2017年在德国波恩举行的联合国气候大会，某社区举办《“环保我参与”有奖问答比赛》活动．某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题．已知甲家庭回答正确这道题的概率是 $\frac{3}{4}$ ，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是 $\frac{1}{12}$ ，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是 $\frac{1}{4}$ ．若各家庭回答是否正确互不影响．

(1)、求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；

(2)、求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率．

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18. 如图，已知等腰 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 3$ ， $B C = 4$ ，点P是边BC上的动点.

(1)、若点P是线段BC上靠近B的三等分点，试用向量 $\vec{A B}$ ， $\vec{A C}$ 表示向量 $\vec{A P}$ ；

(2)、求 $\vec{A P} \cdot (\vec{A B} + \vec{A C})$ 的值.

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19. 如图①，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F，G分别为AB，BC，BB₁ ，的中点．

(1)、求证：平面EFG⊥平面BB₁D₁D；

(2)、将该正方体截去八个与四面体B-EFG相同的四面体得到一个多面体(如图②)，若该多面体的体积是 $\frac{160}{3}$ ，求该正方体的棱长．

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20. 某校高一举行了一次数学竞赛，为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100）作为样本（样本容量为 $n$ ）进行统计，按照 $[50 ， 60)$ ， $[60 ， 70)$ ， $[70 ， 80)$ ， $[80 ， 90)$ ， $[90 ， 100]$ 的分组作出频率分布直方图，已知得分在 $[50 ， 60)$ ， $[90 ， 100]$ 的频数分别为8，2．

(1)、求样本容量 $n$ 和频率分布直方图中的 $x ， y$ 的值；

(2)、估计本次竞赛学生成绩的中位数；

(3)、在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生，求所抽取的2名学生中至少有一人得分在 $[90 ， 100]$ 内的概率．

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21. 如图，在平面四边形ABCD中， $A C = 4$ ， $B C ⊥ C D$ ．

(1)、若 $A B = 2$ ， $B C = 3$ ， $C D = \sqrt{15}$ ，求△ACD的面积；

(2)、若 $∠ B = \frac{2 π}{3}$ ， $∠ D = \frac{π}{6}$ ，求 $(\frac{\sqrt{3}}{6} + \frac{1}{2}) A D - B C$ 的最大值．

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22. 已知一圆形纸片的圆心为 $O$ ，直径 $A B = 2$ ，圆周上有 $C$ 、 $D$ 两点.如图， $O C ⊥ A B$ ， $∠ A O D = \frac{π}{6}$ ，点 $P$ 是 $\overset{⌢}{B D}$ 上的动点.沿 $A B$ 将纸片折为直二面角，并连结 $P O$ ， $P D$ ， $P C$ ， $C D$ .

(1)、当 $A B / /$ 平面 $P C D$ 时，求 $P D$ 的长；

(2)、当三棱锥 $P - C O D$ 的体积最大时，求二面角 $O - P D - C$ 的余弦值.

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