四川省凉山州安宁河联盟2022-2023学年高二下学期期末联考理科数学试题

试卷更新日期：2023-07-27 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | - 1 < x < 2}$ ，集合 $B = {- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${0 ， 1 ， 2}$ B、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ C、 ${0 ， 1}$ D、 ${1 ， 2}$

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2. 命题 $p ： \forall x > 0$ ， $s i n x > 0$ ，则命题p的否定 $\neg p$ 为（）

A、 $\forall x > 0$ ， $s i n x \leq 0$ B、 $\forall x > 0$ ， $s i n x < 0$ C、 $\exists x_{0} > 0$ ， $s i n x_{0} \leq 0$ D、 $\exists x_{0} > 0$ ， $s i n x_{0} < 0$

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3. 水果收购商为了了解某种水果的品质，想用分层抽样的方法从500个大果，300个中果，200个小果中抽取一部分送去质检部门检验，若抽取的小果为30个，则他抽取的大果为（）个.

A、150 B、75 C、45 D、15

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4. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{\frac{1}{2}} - 2 ， x > 0 \\ e^{x} ， x \leq 0 \end{array}$ ，则 $f (f (4))$ 的值是（）

A、 $- 2$ B、0 C、1 D、e

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5. 已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ 上一点P到y轴的距离为2，焦点为F，则 $| P F | =$ （）

A、2 B、3 C、 $\sqrt{5}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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6. 若实数 $x$ ， $y$ 满足不等式组 ${\begin{array}{l} x + y - 3 \leq 0 \\ x - 2 y \leq 0 \\ x \geq 0 \end{array}$ ，则 $z = - x + y$ 的最大值为（）

A、 $- 3$ B、 $- 1$ C、0 D、3

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7. 若如图所示的程序框图输出的S是43，则条件①可以为（）

A、 $n < 5 ？$ B、 $n < 7 ？$ C、 $n < 8 ？$ D、 $n < 9 ？$

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8. 已知函数 $f (x) = c o s 2 x$ ，直线 $l_{1} ： x - k y + 1 = 0$ 与 $l_{2} ： x f^{'} (\frac{π}{12}) - y - 6 = 0$ 平行，则k的值为（）

A、 $- \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $- 1$ D、1

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9. 已知圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 2 a y = 0$ ，过圆 $C$ 内一点 $A (2 ， 1)$ 的直线被圆 $C$ 所截得的最短弦的长度为2，则 $a =$ （）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、3

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10. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的左，右两焦点为 $F_{1}$ 和 $F_{2}$ ， P为椭圆上一点，且 $| P O | = 2 \sqrt{3}$ ，则 $| P F_{1} | \cdot | P F_{2} | =$ （）

A、8 B、12 C、16 D、64

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11. 正三棱锥 $P - A B C$ 各顶点在同一个球面中，侧棱长为4，侧棱与底面所成角为 $\frac{π}{6}$ ，则该球的体积为（）

A、 $\frac{256 π}{3}$ B、 $\frac{64 π}{3}$ C、 $64 π$ D、 $256 π$

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12. 若 $e^{a x} \geq 2 l n x + x^{2} - a x$ 在 $x \in [1 ， e]$ 上有解，则实数a的取值范围是（）

A、 $[e ， + \infty)$ B、 $[0 ， + ∞)$ C、 $[0 ， e]$ D、 $[1 ， e]$

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二、填空题

13. 已知复数z满足 $z = 1 - i$ ，则z的模长为．

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14. 已知函数 $f (x) = (m - 1) x^{2} + x$ 是R上的奇函数，则点 $P (m ， 2)$ 到直线 $l ： 3 x + 4 y - 6 = 0$ 的距离为．

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15. 2022年12月26日凉山进入动车时代，由于客流高峰小李只买到站票，从西昌出发的动车除车头外有8节车厢，小李随机上了其中一节车厢，并在车厢内任意位置原地等候.据数据中心信息第6节车厢最中间，有一位乘客下一站下车且该座位无人购买（不考虑该座位被人抢占），求小李行走不超过1.5节车厢能坐到该座位的概率．

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16. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ，（ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过点 $P (- a ， 0)$ 作一条斜率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 的直线与双曲线在第一象限交于点M，且 $| P F_{2} | = | F_{2} M |$ ，则双曲线C的离心率为.

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三、解答题

17. 已知函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + x + 1$ 在 $x = - 1$ 时取得极值．

(1)、求 $f (x)$ 在 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程；

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[- 2 ， 0]$ 上的最大值与最小值．

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18. 会理作为一座千年文化古城，气候四季如春，会理黑山羊更是当地深受人们喜爱的地方小吃.羊肉是温性食物，具有很高的营养价值，体质虚寒的人，多吃羊肉可以保暖，特别是在冬天能起到一定的效果.随着气温的连续升高，羊肉店生意也受到很大影响，一家羊肉馆特推出凡进店消费均可获赠冷饮一杯的活动，经过前一天的大力宣传后，第x天的纯利润y（百元）的数据散点图统计如下：

(1)、根据散点图，判断y与x是呈正相关还是负相关（说出结论即可）；

(2)、取上图中前5组数据，求y关于x的线性回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，为反馈新老客户，计划在第10天，投入5百元做顾客福利，请预测第10天的纯利润；

(3)、从以上后5天中任取2天，求这两天恰有一天纯利润不低于2千元的概率.
参考公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .

参考数据： $\sum_{i = 1}^{5} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y}) = 15$ ， $\bar{y} = 18$ .

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19. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面 $A B C D$ 是菱形， $P B = P D$ ， $P A = P C = A B = 2$ ， $∠ A B C = \frac{π}{3}$ .

(1)、求证： $A C ⊥$ 平面PBD；

(2)、若E为 $P D$ 的中点，求二面角 $E - A C - B$ 的余弦值.

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20. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ，（ $a > 0$ ， $b > 0$ ），过椭圆的右焦点 $F_{2}$ 作垂直于 $x$ 轴的直线交椭圆于 $A (2 ， 3)$ ， $B$ 两点．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、若 $M$ ， $N$ 是椭圆上位于 $A B$ 两侧的动点，当 $M$ ， $N$ 运动时，始终保持 $A B$ 平分 $∠ M A N$ ，求证：直线 $M N$ 的斜率为定值．

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21. 已知函数 $f (x) = l n x - a x^{2} - b$ .

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x) \leq 0$ 恒成立，求 $\frac{b}{a}$ 的取值范围.

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 2 c o s α \\ y = 2 + 2 s i n α \end{array}$ （ $α$ 为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系， $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ^{2} = \frac{2}{1 + s i n^{2} θ}$ ．

(1)、求曲线 $C_{1}$ 的普通方程， $C_{2}$ 的直角坐标方程；

(2)、已知 $N$ 为曲线 $C_{1}$ 的圆心，点M为曲线 $C_{2}$ 上一动点，求 $| M N |$ 的最大值．

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