四川省凉山州安宁河联盟2022-2023学年高二下学期期末联考文科数学试题

试卷更新日期：2023-07-27 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | - 1 < x < 2}$ ，集合 $B = {- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${0 ， 1 ， 2}$ B、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ C、 ${0 ， 1}$ D、 ${1 ， 2}$

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2. 命题 $p ： \forall x > 0$ ， $s i n x > 0$ ，则命题p的否定 $\neg p$ 为（）

A、 $\forall x > 0$ ， $s i n x \leq 0$ B、 $\forall x > 0$ ， $s i n x < 0$ C、 $\exists x_{0} > 0$ ， $s i n x_{0} \leq 0$ D、 $\exists x_{0} > 0$ ， $s i n x_{0} < 0$

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3. 水果收购商为了了解某种水果的品质，想用分层抽样的方法从500个大果，300个中果，200个小果中抽取一部分送去质检部门检验，若抽取的小果为30个，则他抽取的大果为（）个.

A、150 B、75 C、45 D、15

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4. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{\frac{1}{2}} - 2 ， x > 0 \\ e^{x} ， x \leq 0 \end{array}$ ，则 $f (f (4))$ 的值是（）

A、 $- 2$ B、0 C、1 D、e

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5. 已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ 上一点P到y轴的距离为2，焦点为F，则 $| P F | =$ （）

A、2 B、3 C、 $\sqrt{5}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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6. 若实数 $x$ ， $y$ 满足不等式组 ${\begin{array}{l} x + y - 3 \leq 0 \\ x - 2 y \leq 0 \\ x \geq 0 \end{array}$ ，则 $z = - x + y$ 的最大值为（）

A、 $- 3$ B、 $- 1$ C、0 D、3

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7. 若如图所示的程序框图输出的S是43，则条件①可以为（）

A、 $n < 5 ？$ B、 $n < 7 ？$ C、 $n < 8 ？$ D、 $n < 9 ？$

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8. 已知函数 $f (x) = 2 c o s x$ ，直线 $l_{1} ： x - k y + 1 = 0$ 与 $l_{2} ： x f^{'} (\frac{π}{6}) - y - 6 = 0$ 平行，则k的值为（）

A、 $- \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $- 1$ D、1

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9. 已知圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 2 a y = 0$ ，过圆 $C$ 内一点 $A (2 ， 1)$ 的直线被圆 $C$ 所截得的最短弦的长度为2，则 $a =$ （）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、3

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10. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的左，右两焦点为 $F_{1}$ 和 $F_{2}$ ， P为椭圆上一点，且 $| P O | = 2 \sqrt{3}$ ，则 $| P F_{1} | \cdot | P F_{2} | =$ （）

A、8 B、12 C、16 D、64

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11. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过点 $P (- 2 ， 0)$ 作一条倾斜角为30°的直线与双曲线C在第一象限交于点M，且 $| P F_{2} | = | F_{2} M |$ ，则双曲线C的离心率为（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{8}{3}$ D、 $\frac{1 + \sqrt{5}}{3}$

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12. 若 $e^{x} \geq l n a x + (a - 1) x$ 在 $x \in (0 ， 2]$ 上恒成立，则实数a的取值范围是为（）

A、 $(- \infty ， e]$ B、 $(0 ， e]$ C、 $(- \infty ， \frac{e^{2}}{2}]$ D、 $(0 ， \frac{e^{2}}{2}]$

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二、填空题

13. 已知复数z满足 $z = 1 - i$ ，则z的模长为．

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14. 已知函数 $f (x) = (m - 1) x^{2} + x$ 是R上的奇函数，则点 $P (m ， 2)$ 到直线 $l ： 3 x + 4 y - 6 = 0$ 的距离为．

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15. 2022年12月26日凉山进入动车时代，由于客流高峰小李只买到站票，从西昌出发的动车除车头外有8节车厢，小李随机上了其中一节车厢，并在车厢内任意位置原地等候.据数据中心信息第6节车厢最中间，有一位乘客下一站下车且该座位无人购买（不考虑该座位被人抢占），求小李行走不超过1.5节车厢能坐到该座位的概率．

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16. 正三棱锥 $P - A B C$ 各顶点在同一个球面中，侧棱长为4，侧棱与底面所成角为 $\frac{π}{6}$ ，则该球的体积为．

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三、解答题

17. 已知函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + x + 1$ 在 $x = - 1$ 时取得极值．

(1)、求 $f (x)$ 在 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程；

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[- 2 ， 0]$ 上的最大值与最小值．

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18. 石榴在我国传统文化意识中是一种吉祥、吉利的意思，寓意多子多福，红红火火，团团圆圆.石榴有止血、止咳的功效，具有健脾提神、增强食欲的作用.石榴的使用方式也多种多样，其中石榴冰酒就受人们的喜爱和追捧.现有关部门对甲和乙两厂家生产的石榴冰酒进行随机检测各100件，两产家生产的石榴冰酒根据检测结果分为

A ， B ， C

，三个测等级，其中

A ， B

为合格品，

C

为次品，统计结果如下：

等级	$A$	$B$	$C$
数量	50	110	40

(1)、从中随机抽取一件产品，为合格品的概率是多少？

(2)、为了解人们对

A ， B

两种品质的石榴冰酒的喜爱情况，现在当地对160名群众（其中女性：80人，男性：80人）进行问卷调查（每名群众在

A ， B

两种品质的酒中必须选择一种且只能选择一种），下表是根据调查结果得到的2×2列联表.请将列联表补充完整，并判断是否在犯错误率不超过0.1%的前提下，认为选择酒的种类与性别有关？

种类性别	$A$	$B$	合计
男性		45
女性	15
合计

附：参考公式及数据： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.050	0.010	0.001
$k_{0}$	3.841	6.635	10.828

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19. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面ABCD是菱形， $P B = P D$ ， $P A = P C = A B = 2$ ， $∠ A B C = \frac{π}{3}$ ， E为PD的中点．

(1)、求证： $P B ∥$ 平面ACE；

(2)、求三棱锥 $E - A B C$ 的体积．

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20. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ，（ $a > 0$ ， $b > 0$ ），过椭圆的右焦点 $F_{2}$ 作垂直于 $x$ 轴的直线交椭圆于 $A (2 ， 3)$ ， $B$ 两点．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、若 $M$ ， $N$ 是椭圆上位于 $A B$ 两侧的动点，当 $M$ ， $N$ 运动时，始终保持 $A B$ 平分 $∠ M A N$ ，求证：直线 $M N$ 的斜率为定值．

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21. 已知函数 $f (x) = l n x - a x - b$ ．

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x) \leq 0$ 恒成立，求 $\frac{b}{a}$ 的取值范围．

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 2 c o s α \\ y = 2 + 2 s i n α \end{array}$ （ $α$ 为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系， $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ^{2} = \frac{2}{1 + s i n^{2} θ}$ ．

(1)、求曲线 $C_{1}$ 的普通方程， $C_{2}$ 的直角坐标方程；

(2)、已知 $N$ 为曲线 $C_{1}$ 的圆心，点M为曲线 $C_{2}$ 上一动点，求 $| M N |$ 的最大值．

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