四川省成都市蓉城联盟2022-2023学年高二下学期期末联考数学（文）试题

试卷更新日期：2023-07-27 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | - 2 < x < 2}$ ， $B = {x | x > \sqrt{3}}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $(- 2 ， 2)$ B、 $(- 2 ， \sqrt{3})$ C、 $(\sqrt{3} ， 2)$ D、 $(- 2 ， + \infty)$

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2. 已知i为虚数单位，则 $\frac{2}{1 - i} =$ （）

A、 $- 1 + i$ B、 $1 + i$ C、 $- 1 + 2 i$ D、 $1 + 2 i$

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3. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{3} ， x \leq 0 \\ 2^{x} ， x > 0 \end{array}$ ，若 $f (x) = 8$ ，则x＝（）

A、－3 B、－2 C、3 D、3或－2

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4. 已知x，y满足约束条件 ${\begin{array}{l} x \geq 0 ， \\ x - y - 1 \leq 0 ， \\ x + y - 1 \leq 0 ， \end{array}$ 则目标函数 $z = - 2 x + y$ 的最小值为（）

A、-4 B、-2 C、-1 D、1

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5. 在区间 $[- 2 ， 5]$ 上随机地抽取一个实数x，则x满足 $x^{2} < 4$ 的概率为（）

A、 $\frac{2}{7}$ B、 $\frac{3}{7}$ C、 $\frac{4}{7}$ D、 $\frac{5}{7}$

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6. 若双曲线的渐近线方程为 $y = \pm 3 x$ ，实轴长为 $2 a = 2$ ，且焦点在x轴上，则该双曲线的标准方程为（）

A、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ 或 $\frac{y^{2}}{9} - x^{2} = 1$ B、 $\frac{y^{2}}{9} - x^{2} = 1$ C、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{9} - y^{2} = 1$

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7. 设 $α$ ， $β$ 为不同的平面， $m$ ， $n$ 为不同的直线， $n ⊥ α$ ， $n ⊥ β$ ，则“ $m ⊥ α$ ”是“ $m ⊥ β$ ”的（）

A、充要条件 B、必要不充分条件 C、充分不必要条件 D、既不充分也不必要条件

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8. 函数 $f (x) = x + s i n x$ 在 $R$ 上是（）

A、偶函数、增函数 B、奇函数、减函数 C、偶函数、减函数 D、奇函数、增函数

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9. 已知 $a = l o g_{\frac{1}{2}} 3$ ， $b = e^{0.5}$ ， $c = l n 2$ ，则（）

A、a＞b＞c B、b＞a＞c C、b＞c＞a D、c＞b＞a

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10. 一次数学考试中，某班平均分为 $100$ 分，方差为 $M$ ，后来发现甲乙两名同学的成绩统计有误，甲同学的成绩统计为 $102$ 分，而实际成绩应该是 $107$ 分；乙同学的成绩统计为 $110$ 分，而实际成绩为 $105$ 分，现重新统计计算，得到方差为 $N$ ，则 $M$ 与 $N$ 的大小关系为（）

A、 $M = N$ B、 $M > N$ C、 $M < N$ D、不能确定

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11. 在一个正三棱柱中，所有棱长都为2，各顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（）

A、 $\frac{\sqrt{21} π}{3}$ B、 $\frac{28 π}{3}$ C、 $\frac{56 π}{3}$ D、 $\frac{7 \sqrt{21} π}{3}$

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二、多选题

12. 若方程 $x l n x = a (x - 1)$ 恰有一个实数根，则实数a的值为（）

A、e B、－e C、1 D、－1

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三、填空题

13. 已知 $\vec{a} = (2 - k ， 3)$ ， $\vec{b} = (2 ， - 6)$ ， $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则实数k＝．

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14. 曲线 $x^{2} + y^{2} - 2 x - 6 y = 0$ 所围成平面区域的面积为．

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15. 已知过原点的直线与曲线 $f (x) = e^{x}$ 相切，则直线的斜率为．

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16. 已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，则椭圆上一点 $A (x_{0} ， y_{0})$ 处的切线方程为 $\frac{x_{0} x}{a^{2}} + \frac{y_{0} y}{b^{2}} = 1$ ．试运用该性质解决以下问题：椭圆C： $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ ，点B为C在第一象限中的任意一点，过点B作C的切线l，l分别与x轴和y轴的正半轴交于M，N两点，则 $△ O M N$ 面积的最小值为．

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四、解答题

17. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - a x^{2} - 3 x$ ．

(1)、若 $f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线与直线 $y = - 4 x + 1$ 平行，求实数 $a$ 的值；

(2)、当 $a = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间．

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18. 现在的高一年级学生将会是四川省首届参加新高考的学生，高考招生计划按历史科目组合与物理科目组合分别编制．为了了解某校高一学生的物理学习情况，在一次全年级物理测试后随机抽取了100名学生的物理成绩，将成绩分为 $[40 ， 50)$ ， $[50 ， 60)$ ， $[60 ， 70)$ ， $[70 ， 80)$ ， $[80 ， 90)$ ， $[90 ， 100]$ 共6组，得到如图所示的频率分布直方图，记分数低于60分为不及格．

(1)、求直方图中a的值，并估计本次物理测试的及格率；

(2)、在样本中，采取分层抽样的方法从成绩不及格的学生中抽取6名作试卷分析，再从这6名学生中随机抽取2名做面对面交流，求2名面对面交流学生的成绩均来自 $[50 ， 60)$ 的概率．

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19. 如图，在多面体 $A B C D E F$ 中，四边形 $A B C D$ 为正方形， $D E ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $D E ∥ B F$ ， $A D = D E = 2$ ， $B F = 1$ ．

(1)、证明： $A C ⊥ E F$ ；

(2)、求三棱锥 $F - A E C$ 的体积．

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20. 已知椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，且其中一个焦点与抛物线 $y^{2} = 8 x$ 的焦点重合．

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、若直线 $l$ ： $y = k x + 2$ 与椭圆 $E$ 交于不同的A，B两点，且满足 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = - 1$ （ $O$ 为坐标原点），求弦长 $| A B |$ 的值．

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21. 函数 $f (x) = (x - 2) e^{x} - a x^{2} + 2 a x$ ， $a \in R$ ．

(1)、当 $a = 0$ 时，证明： $f (x) + e \geq 0$ ；

(2)、若 $x = 1$ 是 $f (x)$ 的一个极大值点，求实数 $a$ 的取值范围．

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22. 已知曲线C的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 1 + \sqrt{2} c o s θ ， \\ y = 1 + \sqrt{2} s i n θ \end{array}$ （ $θ$ 为参数），直线l的倾斜角为 $α$ ，且过点 $P (0 ， 1)$ ．

(1)、求曲线C的普通方程与直线l的参数方程；

(2)、若直线l与曲线C交于A，B两点，且 $\frac{1}{| P A |} + \frac{1}{| P B |} = \sqrt{5}$ ，求直线l的倾斜角 $α$ ．

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