上海市杨浦区2022-2023学年高二下学期期末数学试题

试卷更新日期：2023-07-27 类型：期末考试

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一、填空题

1. 抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点坐标是．

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2. 抛掷一颗质地均匀的正方体骰子，得点数 $6$ 的概率是.

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3. 半径为1厘米的球的表面积为平方厘米.

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4. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，异面直线 $A B$ 与 $A_{1} C_{1}$ 所成角的大小是.

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5. 双曲线 $\frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的渐近线方程为.

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6. 以 $C (1 ， 1)$ 为圆心，且经过 $M (2 ， 3)$ 的圆的方程是.

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7. 如图所示，靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ、Ⅲ构成，射手命中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为0.35、0.30、0.25，则不命中靶的概率是.

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8. “若直线 $a / /$ 平面 $α$ ，直线 $b$ 在平面 $α$ 上，则直线 $a / /$ 直线 $b$ ”是命题（填“真”或“假”）.

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9. 已知一个圆锥的体积为 $3 π$ ，高为3，则该圆锥的母线与底面所成角的大小是.

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10. 已知 $A$ 与 $B$ 是独立事件， $P (A) = 0.4 ， P (B) = 0.3$ ，给出下列式子：① $P (\bar{A}) = 0.6$ ；② $P (A ∩ B) = 0.12$ ；③ $P (A ∪ B) = 0.7$ ；④ $P (A ∩ \bar{B}) = 0.28$ ；
其中正确的式子是.（填序号）

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11. 如图，正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的各条棱长都相等，线段 $A_{1} B$ 、 $B_{1} C$ 和 $C_{1} A$ 是该正三棱柱的三条面对角线，直线 $l$ 与这三条面对角线所在直线所成的角大小相同，则这个角的大小是（写出所有可能的值）.

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12. 已知数列 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ ， ...， $a_{101}$ 的各项均为正整数，其中 $a_{1} = a_{101} = 4999$ ，对于每个正整数 $i (2 \leq i \leq 100)$ ， $\frac{a_{i - 1} + a_{i + 1}}{2} - a_{i}$ 为相同的正整数，则 $a_{100}$ 的值是.

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二、单选题

13. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，与 $\vec{A B}$ 相等的向量是（）

A、 $\vec{C D}$ B、 $\vec{B A}$ C、 $\vec{D C}$ D、 $\vec{B_{1} A_{1}}$

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14. 如图，已知球 $O$ 的半径为5，球心 $O$ 到平面 $α$ 的距离为3，则平面 $α$ 截球 $O$ 所得的小圆 $O_{1}$ 的半径长是（）

A、2 B、3 C、 $3 \sqrt{2}$ D、4

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15. 下列命题：
①底面是正多边形的棱锥是正棱锥；②各侧棱的长都相等的棱锥是正棱锥；③各侧面是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥.

其中真命题的个数是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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16. 小李购买了一盒点心，点心盒是长方体，长、宽、高分别为30厘米、20厘米和10厘米，商家提供丝带捆扎服务，有如图所示两种捆扎方案（粗线表示丝带）可供选择，免去手工费，但丝带需要按使用长度进行收费.假设丝带紧贴点心盒表面，且不计算丝带宽度以及重叠粘合打结的部分.为了节约成本，小李打算选择尽可能使用丝带较短的方案，则小李需要购买的丝带长度至少是（）

A、80厘米 B、100厘米 C、120厘米 D、140厘米

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三、解答题

17. 设等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{3} = 4$ ， $a_{6} = - 32$ .

(1)、求公比 $q$ 的值；

(2)、求 $S_{5}$ 的值.

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18. 已知 $m \in R$ ，直线 $l_{1} ： 2 x + y - 1 = 0$ ，直线 $l_{2} ： m x + y + 1 = 0$ .

(1)、若 $l_{1} / / l_{2}$ ，求 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 之间的距离；

(2)、若 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的夹角大小为 $a r c c o s \frac{\sqrt{5}}{5}$ ，求直线 $l_{2}$ 的方程.

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19. 某校高二年级共有学生200人，其中男生120人，女生80人.为了了解全年级学生上学花费时间（分）的信息，按照分层抽样的原则抽取了样本，样本容量为20，并根据样本数据信息绘制了茎叶图和频率分布直方图.由于保存不当，茎叶图中有一个数据不小心被污染看不清了（如图），频率分布直方图纵轴上的数据也遗失了.

(1)、根据茎叶图提供的有限信息，求频率分布直方图中 $x$ 和 $y$ 的值，指出样本的“中位数、平均数、众数、方差、极差”中，哪些已经能确定，并计算它们的值；

(2)、通过对样本原始数据的计算，得到男生上学花费时间的样本均值为30（分），女生的样本均值为27.75（分），试计算被污染的数值，并根据样本估计该年级全体学生上学花费时间的“中位数、平均数、方差”.

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20. 如图，正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面边长为1，高为2，点 $M$ 是棱 $C C_{1}$ 上一个动点（点 $M$ 与 $C$ ， $C_{1}$ 均不重合）.

(1)、当点 $M$ 是棱 $C C_{1}$ 的中点时，求证：直线 $A M ⊥$ 平面 $B_{1} M D_{1}$ ；

(2)、当 $D_{1} M ⊥ A B_{1}$ 时，求点 $D_{1}$ 到平面 $A M B_{1}$ 的距离；

(3)、当平面 $A B_{1} M$ 将正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 分割成体积之比为 $1 ： 2$ 的两个部分时，求线段 $M C$ 的长度.

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21. 如图，已知点 $A (\sqrt{2} ， 1)$ 是椭圆 $Γ ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上的一点，顶点 $C (- 2 ， 0)$ .

(1)、求椭圆 $Γ$ 的离心率；

(2)、直线 $B D$ 交椭圆 $Γ$ 于 $B 、 D$ 两点（ $B 、 D$ 与 $A$ 不重合），若直线 $A B$ 与直线 $A D$ 的斜率之和为2，直线 $B D$ 是否过定点？若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.

(3)、点 $E$ 、点 $G$ 是椭圆 $Γ$ 上的两个点，圆 $I ： {(x - \frac{2 \sqrt{2}}{3})}^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ 是 $△ C E G$ 的内切圆，过椭圆 $Γ$ 的顶点 $M (0 ， b)$ 作圆 $I$ 的两条切线，分别交椭圆 $Γ$ 于点 $P$ 和点 $Q$ ，判断直线 $P Q$ 与圆 $I$ 的位置关系并证明.

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