上海市青浦区2022-2023学年高二下学期期末数学试题

试卷更新日期：2023-07-27 类型：期末考试

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一、填空题

1. 点 $(2 ， - 1)$ 到直线 $x - y + 3 = 0$ 的距离为．

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2. 已知一组数据8.6，8.9，9.1，9.6，9.7，9.8，9.9，10.2，10.6，10.8，11.2，11.7，则该组数据的第80百分位数为．

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3. 在空间直角坐标系中，点 $A (1 ， - 2 ， 3)$ 关于yOz平面的对称点的坐标是.

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4. ${(x + \frac{1}{x})}^{10}$ 的二项展开式中 $x^{2}$ 项的系数为．

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5. 已知正方形 $A B C D$ 的边长为4，若 $\vec{B P} = 3 \vec{P D}$ ，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 的值为.

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6. 若双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 的一条渐近线与直线 $y = 2 x - 1$ 平行，则 $b =$ ．

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7. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A D = A A_{1} = 1 ， A B = 2$ ，点 $E$ 为棱 $A B$ 的中点，则二面角 $D_{1} - E C - D$ 的大小为．（结果用反三角函数值表示）

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8. 设等比数列 ${a_{n}}$ 的公比为2，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{4} = 2 S_{2} + 1$ ，则 $a_{3} =$ ．

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9. 有3男3女共6位高三同学在高考考场外合影留念．若从这6人中随机选取2人拍双人照，则选中的2人恰为1男1女的概率是．

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10. 某校开展“全员导师制”．有2名导师可供5位学生选择，若每位学生必须也只能选取一名导师且每位导师最多只能被3位学生选择，则不同的选择方案共有种（用数字作答）．

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11. 如图，将正四面体每条棱三等分，截去顶角所在的小正四面体，余下的多面体称作“阿基米德体”．若一个正四面体的棱长为12，则对应的“阿基米德体”的表面积为．

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12. 对于项数为10的数列 ${a_{n}}$ ，若 ${a_{n}}$ 满足 $1 \leq | a_{i + 1} - a_{i} | \leq 2$ （其中 $i$ 为正整数， $i \in [1 ， 9]$ ），且 $a_{1} = a_{10} \in [- 1 ， 0]$ ，设 $k \in {a_{n} | a_{n} > 0}$ ，则 $k$ 的最大值为．

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二、单选题

13. 设 $α$ 、 $β$ 是两个不同的平面，直线 $m \subset α$ ，则“对 $β$ 内的任意直线 $l$ ，都有 $m ⊥ l$ ”是“ $α ⊥ β$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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14. 某高级中学高一年级、高二年级、高三年级分别有学生 $1400$ 名、 $1200$ 名、 $1000$ 名，为了解学生的健康状况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为 $n$ 的样本，若从高三年级抽取 $25$ 名学生，则 $n$ 为

A、 $75$ B、 $85$ C、 $90$ D、 $100$

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15. 点 $A$ 为椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 1)$ 的右顶点， $P$ 为椭圆 $C$ 上一点（不与 $A$ 重合），若 $\vec{P O} \cdot \vec{P A} = 0$ （ $O$ 是坐标原点），则椭圆 $C$ 的离心率的取值范围是（）

A、 $(\frac{1}{2} ， 1)$ B、 $(\frac{\sqrt{2}}{2} ， 1)$ C、 $(\frac{\sqrt{3}}{2} ， 1)$ D、 $(0 ， \frac{\sqrt{2}}{2})$

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16. 已知非常数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 2} = \frac{α a_{n + 1} + β a_{n}}{α + β} (n \in N^{*})$ ，若 $α + β \neq 0$ ，则（）

A、存在 $α$ ， $β$ ，对任意 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ，都有 ${a_{n}}$ 为等比数列 B、存在 $α$ ， $β$ ，对任意 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ，都有 ${a_{n}}$ 为等差数列 C、存在 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ，对任意 $α$ ， $β$ ，都有 ${a_{n}}$ 为等差数列 D、存在 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ，对任意 $α$ ， $β$ ，都有 ${a_{n}}$ 为等比数列

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三、解答题

17. 记S_n为等差数列{a_n}的前n项和，已知S₉=－a₅ ．

(1)、若a₃=4，求{a_n}的通项公式；

(2)、若a₁>0，求使得S_n≥a_n的n的取值范围．

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18. 已知圆锥的顶点为 $P$ ，底面圆心为 $O$ ，半径为2．

(1)、若圆雉的侧面积为 $8 π$ ，求圆锥的体积；

(2)、设 $P O = 4 ， O A 、 O B$ 是底面半径，且 $∠ A O B = 90 ° ， M$ 是线段 $A B$ 的中点，如图．求直线 $P M$ 与平面 $P O B$ 所成的角的大小．

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19. 已知，如图是一张边长为 $a$ 的正方形硬纸板，先在它的四个角上裁去边长为 $x$ 的四个小正方形，再折叠成无盖纸盒．

(1)、试把无盖纸盒的容积 $V$ 表示成裁去边长 $x$ 的函数；

(2)、当 $x$ 取何值时，容积 $V$ 最大？最大值是多少？（纸板厚度忽略不计）

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20. 已知抛物线 $Γ ： y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $l$ ．

(1)、若 $F$ 为双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - 2 y^{2} = 1 (a > 0)$ 的一个焦点，求双曲线 $C$ 的方程；

(2)、设 $l$ 与 $x$ 轴的交点为 $E$ ，点 $P$ 在第一象限，且在 $Γ$ 上，若 $\frac{| P F |}{| P E |} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，求直线 $E P$ 的方程；

(3)、经过点 $F$ 且斜率为 $k (k \neq 0)$ 的直线 $l^{'}$ 与 $Γ$ 相交于 $A$ 、 $B$ 两点， $O$ 为坐标原点，直线 $O A$ 、 $O B$ 分别与 $l$ 相交于点 $M$ 、 $N$ ．试探究：以线段 $M N$ 为直径的圆 $C$ 是否过定点，若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由．

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21. 已知函数 $g (x) = a x^{2} - (a + 2) x$ ， $h (x) = l n x$ ，令 $f (x) = g (x) + h (x)$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求函数 $y = g (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程；

(2)、当 $a$ 为正数且 $1 \leq x \leq e$ 时， $f (x)_{m i n} = - 2$ ，求 $a$ 的最小值；

(3)、若 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > - 2$ 对一切 $0 < x_{1} < x_{2}$ 都成立，求 $a$ 的取值范围．

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