上海市嘉定区2022-2023学年高二下学期期末数学试题

试卷更新日期：2023-07-27 类型：期末考试

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一、填空题

1. 直线 $x + y + 2 = 0$ 的倾斜角的是．

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2. 若排列数 $P_{6}^{m}$ =6×5×4，则m= ．

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3. 抛物线 $y^{2} = 8 x$ 的焦点到准线的距离是.

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4. 在空间直角坐标系 $O - x y z$ 中，点 $P (1 ， 2 ， 3)$ 关于坐标平面 $x O y$ 的对称点 $P^{'}$ 的坐标为.

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5. $\sum_{i = 1}^{+ \infty} {(\frac{1}{2})}^{i - 1} =$ .

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6. 已知一个圆锥的底面半径为3，其侧面积为15π，则该圆锥的体积为.

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7. ${(2 x - 1)}^{5}$ 的二项展开式的各项系数之和为.

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8. 在空间直角坐标系 $O - x y z$ 中，某二面角 $α - l - β$ 的大小为 $θ$ ， $0 < θ < \frac{π}{2}$ ，半平面 $α$ 、 $β$ 的一个法向量分别为 $\vec{n_{1}}$ 、 $\vec{n_{2}}$ ，且 $\vec{n_{1}} = (1 ， 0 ， 2) ， \vec{n_{2}} = (0 ， 0 ， 1)$ ，则 $θ =$ （结果用反三角函数值表示）.

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9. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{4} = 1 (a > 0)$ 的一条渐近线与圆 ${(x - 3)}^{2} + y^{2} = 4$ 相交于 $M 、 N$ 两点，且 $| M N | = 2$ ，则该双曲线的实轴长为.

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10. 从0、1、2、3、4、5、6、7这8个数中任取5个不同的数，则这5个不同的数的中位数为3的概率为.

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11. 已知圆锥曲线 $C_{k}$ 的方程： $\frac{x^{2}}{9 - k} + \frac{y^{2}}{4 - k} = 1$ .当 $m 、 n$ 为正整数，且 $m < n$ 时，存在两条曲线 $C_{m}$ 、 $C_{n}$ ，其交点 $P$ 与点 $F_{1} (- \sqrt{5} ， 0) 、 F_{2} (\sqrt{5} ， 0)$ 满足 $P F_{1} ⊥ P F_{2}$ ，则满足题意的有序实数对 $(m ， n)$ 共有对.

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12. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为棱 $B_{1} C_{1}$ 的中点.动点 $P$ 沿着棱 $D C$ 从点 $D$ 向点 $C$ 移动，对于下列四个结论：

（1）存在点 $P$ ，使得 $P A_{1} = P E$ ；（2）存在点 $P$ ，使得 $B D_{1} ⊥$ 平面 $P A_{1} E$ ；（3） $△ P A_{1} E$ 的面积越来越小；（4）四面体 $A_{1} P B_{1} E$ 的体积不变. 其中所有正确的结论的序号是.

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二、单选题

13. 在空间内，异面直线所成角的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{π}{2})$ B、 $(0, \frac{π}{2}]$ C、 $[0, \frac{π}{2})$ D、 $[0, \frac{π}{2}]$

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14. 一般的数学建模包含如下活动过程：①建立模型；②实际情境；③提出问题；④求解模型；⑤实际结果；⑥检验结果，则正确的序号顺序为（）

A、③②①④⑤⑥ B、③②①④⑥⑤ C、②①③④⑤⑥ D、②③①④⑥⑤

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15. 已知 $A 、 B 、 C$ 是半径为1的球面上的三点，若 $A B = A C = 1$ ，则 $B C$ 的最大值为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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16. 设数列 ${a_{n}}$ 的前n项的和为 $S_{n}$ ，若对任意的 $n \in N^{*}$ ，都有 $S_{n} < a_{n + 1}$ ，则称数列 ${a_{n}}$ 为“K数列”．关于命题：①存在等差数列 ${a_{n}}$ ，使得它是“K数列”；②若 ${a_{n}}$ 是首项为正数、公比为q的等比数列，则 $q \in [2 ， + \infty)$ 是 ${a_{n}}$ 为“K数列”的充要条件．下列判断正确的是（）

A、①和②都为真命题 B、①为真命题，②为假命题 C、①为假命题，②为真命题 D、①和②都为假命题

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三、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n} = n^{2} - 3 n$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求证：数列 ${a_{n}}$ 是等差数列.

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18. 在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B / / C D$ ， $A B = A D = 1$ ， $D_{1} D = C D = 2$ ， $A B ⊥ A D$ ．

(1)、求证： $B C ⊥$ 平面 $D_{1} D B$ ；

(2)、求点D到平面 $B C D_{1}$ 的距离．

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19. 某校高二年级一个班有60名学生，将期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段： $[40 ， 50) ､ [50 ， 60) ､ [60 ， 70) ､ [70 ， 80) ､ [80 ， 90) ､ [90 ， 100)$ ，得到如图所示的频率分布直方图，

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为20的样本，已知甲同学的成绩在 $[70 ， 80)$ ，乙同学的成绩在 $[80 ， 90)$ ，求甲乙至少一人被抽到的概率．

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20. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 $Γ ： \frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ ，过右焦点 $F$ 作两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD中点分别为 $M$ ， $N$ ．

(1)、写出椭圆右焦点 $F$ 的坐标及该椭圆的离心率；

(2)、证明：直线MN必过定点，并求出此定点坐标；

(3)、若弦AB，CD的斜率均存在，求 $△ F M N$ 面积的最大值．

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21. 已知 $f (x) = x - l n x - 2$ .

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程；

(2)、已知函数 $y = f (x)$ 在区间 $(k ， k + 1) (k \in N)$ 上有零点，求 $k$ 的值；

(3)、记 $g (x) = \frac{1}{2} x^{2} - b x - 2 - f (x)$ ，设 $x_{1}$ 、 $x_{2} (x_{1} < x_{2})$ 是函数 $y = g (x)$ 的两个极值点，若 $b \geq \frac{7}{3}$ ，且 $g (x_{1}) - g (x_{2}) \geq k$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围.

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