陕西省汉中市镇巴县2022-2023学年高二下学期期末理科数学试题

试卷更新日期：2023-07-27 类型：期末考试

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知集合 $M = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7} ， N = {x ∣ x^{2} - 4 x < 5}$ ，则 $M ∩ N =$ （）

A、 ${1 ， 2 ， 3 ， 4}$ B、 ${1 ， 2 ， 3}$ C、 ${1 ， 2}$ D、 ${1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5}$

查看试题解析
2. 复数 $(z + i) (2 - i) = i$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

查看试题解析
3. 已知 $p ： s i n θ = \frac{1}{2} ， q ： θ = \frac{π}{6} + 2 k π (k \in Z)$ ，则 $p$ 是 $q$ 的（）

A、必要不充分条件 B、充分不必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

查看试题解析
4. 已知锐角 $α$ 满足 $t a n 2 α = \frac{4}{3}$ ，则 $s i n^{2} α - 3 c o s (α + \frac{π}{2}) c o s α =$ （）

A、 $- 1$ B、 $- \frac{2}{5}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{7}{5}$

查看试题解析
5. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $P$ 为体对角线 $B_{1} D$ 上一点，且 $D P = 2 P B_{1}$ ，则异面直线 $A D_{1}$ 和 $C P$ 所成角的余弦值为（）

A、 $0$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

查看试题解析
6. 如图所示为函数 $f (x)$ 的图象，则 $f (x)$ 的解析式可能是（）

A、 $f (x) = \frac{2^{x} + 2^{- x}}{x}$ B、 $f (x) = x (2^{x} + 2^{- x})$ C、 $f (x) = x (2^{x} - 2^{- x})$ D、 $f (x) = \frac{x}{2^{x} + 2^{- x}}$

查看试题解析
7. 著名数学家欧几里得著的《几何原本》中记载：任何一个大于1的整数要么是一个素数，要么可以写成一系列素数的积，例如 $42 = 2 \times 3 \times 7$ .对于 $1260 = a_{1} \times a_{2} \times a_{3} \times ⋯ \times a_{n}$ ，其中 $a_{1} ， a_{2} ， a_{3} ， ⋯ ， a_{n}$ 均是素数，则从 $a_{1} ， a_{2} ， a_{3} ， ⋯ ， a_{n}$ 中任选3个数，可以组成不同三位数的个数为（）

A、32 B、36 C、42 D、60

查看试题解析
8. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 作垂直于 $x$ 轴的直线，在第二象限分别交 $C$ 及圆 $x^{2} + y^{2} = a^{2}$ 于点 $A ， B$ ，若 $A$ 为 $B F_{1}$ 的中点， $P$ 为 $C$ 的上顶点，则 $∠ F_{1} P F_{2} =$ （）

A、 $6 0^{∘}$ B、 $9 0^{∘}$ C、 $12 0^{∘}$ D、 $15 0^{∘}$

查看试题解析
9. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (ω x - \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 在 $[- \frac{π}{4} ， - \frac{π}{12}]$ 上单调递减，且 $\forall x \in R$ ， $f (x) \leq f (\frac{2 π}{3})$ ，则 $ω =$ （）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

查看试题解析
10. 设 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点，过点 $F_{1}$ 作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为 $M$ ．若 $| M F_{2} | = \sqrt{3} b$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

查看试题解析
11. 已知 $a = 1.45 ， b = 1.1 e^{0.4} ， c = e^{0.5}$ ，则（）

A、 $a > c > b$ B、 $c > b > a$ C、 $b > c > a$ D、 $a > b > c$

查看试题解析
12. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A D = 1$ ， $A A_{1} = 2$ ， $E$ ， $F$ 分别是 $D D_{1}$ ， $B B_{1}$ 的中点，则下列结论错误的是（）

A、 $A F ⊥ B E$ B、 $A_{1} F$ 与平面 $B C_{1} E$ 相交 C、 $B E$ 与平面 $A B C D$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $C_{1} E ⊥ F D_{1}$

查看试题解析

二、填空题

13. 已知 $\vec{a} ， \vec{b}$ 是两个互相垂直的单位向量，若 $\vec{c} = 2 \vec{a} - \vec{b}$ ，则 $c o s ⟨ \vec{b} ， \vec{c} ⟩ =$ .

查看试题解析
14. 已知函数 $f (x)$ 满足： $\forall x ， y \in R ， f (x + y) = f (x) f (y)$ ；当 $x > 0$ 时， $f (x) < 1$ .则满足这两个条件的一个函数为.

查看试题解析
15. 在正四棱锥 $S - A B C D$ 中，底面正方形的边长为2，侧棱长为 $\sqrt{6}$ ，则正四棱锥 $S - A B C D$ 的外接球的体积为.

查看试题解析
16. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别是 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，且 $\frac{\sqrt{3} a}{s i n B c o s C} + \frac{b}{c o s B} + \frac{c}{c o s C} = 0$ ，则 $B =$ ；若 $∠ A B C$ 的角平分线与边 $A C$ 交于点 $D$ ，且 $B D = 4$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{c} =$ .

查看试题解析

三、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n} ， a_{1} = 1 ， a_{n + 1} = λ a_{n} + 4$ （ $λ$ 为常数）.

(1)、若 $λ = 3$ ，求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $λ = 1$ ，设数列 ${\frac{1}{S_{n} + n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求证： $\forall n \in N^{*} ， T_{n} < 1$ .

查看试题解析
18. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $△ A B C$ 是边长为2的等边三角形，平面 $A C C_{1} A_{1} ⊥$ 平面 $A B C ， D$ 为 $A B$ 的中点.

(1)、证明： $B C_{1} / /$ 平面 $A_{1} C D$ ；

(2)、若 $A A_{1} = A_{1} C = 2$ ，求二面角 $D - A_{1} C - A$ 的正弦值.

查看试题解析

19. 我国综合性太阳探测专用卫星“夸父一号”最新一批科学图像于2022年12月13日在京发布，其中多幅图像质量达到国际领先水平，验证了“夸父一号”三台有效载荷的观测能力和先进性，“夸父一号”是中国科学院空间科学二期先导专项研制的一颗空间科学卫星，于2022年10月9日成功发射，卫星以“一磁两暴”为科学目标，即同时观测太阳磁场和太阳上两类最剧烈的爆发现象——耀斑和日冕物质抛射，研究它们的形成、演化、相互作用和彼此关联，同时为空间天气预报提供支持、某学校为了解该校某兴趣小组对“夸父一号”探测卫星相关知识是否感兴趣，对该兴趣小组的100位学生进行了问卷调查，已知被调查学生中男生占调查人数的55%，其中感兴趣的有40人，余下的不感兴趣，在被调查的女生中，感兴趣的有20人，其余人不感兴趣.

(1)、请补充完整

2 \times 2

列联表，并依据小概率值

α = 0.005

的独立性检验，能否认为对“夸父一号”探测卫星相关知识感兴趣与学生的性别有关联？

	感兴趣	不感兴趣	合计
男生
女生
合计

(2)、从兴趣小组100人中任选1人，

A

表示事件“选到的人是男生”，

B

表示事件“选到的人对“夸父一号”探测卫星相关知识不感兴趣”，求

P (B | A)

；

(3)、按性别进行分层，采用分层随机抽样的方法从感兴趣的学生中抽取容量为6的样本，再从抽取的6人中随机抽取2人，随机变量

X

表示2人中女生的人数，求

X

的分布列和数学期望.

附：参考公式： $χ^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .

临界值表：

$α$	0.15	0.10	0.05	0.01	0.005
$x_{α}$	2.072	2.706	3.841	6.635	7.879

查看试题解析

20. 已知函数 $f (x) = a l n x$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(e ， f (e))$ 处的切线方程；

(2)、若 $0 < a < 2 e$ ，证明： $f (x) < \frac{8 e^{x - 2}}{x}$ .

查看试题解析
21. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，顶点在原点，以坐标轴为对称轴的抛物线 $C$ 经过点 $(2 ， 4)$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、若 $C$ 关于 $x$ 轴对称，焦点为 $F$ ，过点 $(4 ， 2)$ 且与 $x$ 轴不垂直的直线 $l$ 交 $C$ 于 $M ， N$ 两点，直线 $M F$ 交 $C$ 于另一点 $A$ ，直线 $N F$ 交 $C$ 于另一点 $B$ ，求证：直线 $A B$ 过定点.

查看试题解析
22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = t + 1 \\ y = \sqrt{1 - t^{2}} \end{array}$ （ $t$ 为参数），以 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.

(1)、求 $C$ 的极坐标方程；

(2)、设 $A$ 、 $B$ 是 $C$ 上的两点，且 $∠ A O B = \frac{π}{3}$ ， $| O A | + | O B | = \sqrt{6}$ ，求 $△ O A B$ 的面积.

查看试题解析
23. 已知函数 $f (x) = | 3 x - 2 | + | 3 x + a | (a \in R)$ ．

(1)、当 $a = 2$ 时，求不等式 $f (x) \leq 6$ 的解集；

(2)、若 $f (x) \geq 4$ ，求a的取值范围．

查看试题解析