上海市黄浦区2022-2023学年高二下学期期末数学试题

试卷更新日期：2023-07-27 类型：期末考试

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一、填空题

1. 直线 $x - 6 = 0$ 与直线 $x - y + 3 = 0$ 的夹角为；

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2. 两直线 $a x + y - 1 = 0$ 与 $4 x + a y - 2 = 0$ 平行，则 $a$ 的值是；

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3. 双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 过点 $(\sqrt{2} ， \sqrt{3})$ ，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为.

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4. 双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的右焦点F到其一条渐近线的距离为．

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5. 设直线 $y = a x + 3$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 相交所得弦长为 $2 \sqrt{3}$ ，则 $a =$ ；

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6. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的两个焦点，点 $M$ 在 $C$ 上，则 $| M F_{1} | \cdot | M F_{2} |$ 的最大值为．

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7. 已知无穷数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} = \frac{1}{2} a_{n} (n \in N^{*})$ ，且 $a_{2} = 1$ ，则 $\sum_{i = 1}^{+ \infty} a_{i} =$ .

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8. 在正项等比数列 ${a_{n}}$ 中，有 $a_{5}^{2} + 2 a_{6} a_{8} + a_{9}^{2} = 100$ ，则 $a_{5} + a_{9} =$ ；

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9. 《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，该书中提到：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长次成等差数列，若立春的日影子长是12.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则立夏的日影子为尺；

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10. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = 2 a_{n} + 2$ $(n \in N^{*})$ ，则 $a_{n} =$ .

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11. 已知在区间 $(0 ， 1)$ 上 $f^{'} (x) > 1$ ，如图所示的图像中，有可能表示函数 $y = f (x)$ 的图像.

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12. 设 $a$ 为实数，函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + (a - 3) x$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，且 $f^{'} (x)$ 是偶函数，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(2 ， f (2))$ 处的切线方程为.

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二、单选题

13. 圆 $O_{1} ： x^{2} + y^{2} - 4 x - 6 y + 12 = 0$ 与圆 $O_{2} ： x^{2} + y^{2} - 8 x - 6 y + 16 = 0$ 的位置关系是（）

A、相交 B、相离 C、内含 D、内切

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14. 已若 ${a_{n}}$ 是等差数列，则由下列关系确定的数列 ${b_{n}}$ 也一定是等差数列的是（）

A、 $b_{n} = a_{n}^{2}$ B、 $b_{n} = a_{n} + n^{2}$ C、 $b_{n} = a_{n} + a_{n + 1}$ D、 $b_{n} = n a_{n}$

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15. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{2} = 10$ ， $S_{3} = 18$ ，则过点 $P (n ， a_{n})$ 和 $Q (n + 2 ， a_{n + 2})$ $(n \in N ， n \geq 1)$ 的直线的斜率是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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16. 若函数 $f (x) = x - \frac{1}{3} sin 2 x + a sin x$ 在 $R$ 上单调递增，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[- 1 ， 1]$ B、 $[- 1 ， \frac{1}{3}]$ C、 $[- \frac{1}{3} ， \frac{1}{3}]$ D、 $[- 1 ， - \frac{1}{3}]$

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三、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n} = 33 n - n^{2}$ .

(1)、求证：数列 ${a_{n}}$ 是等差数列；

(2)、求 $S_{n}$ 的最大值及取得最大值时 $n$ 的值.

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18. 已知函数 $f (x) = e^{x} c o s x - 2 x$ .

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上的最大值和最小值.

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19. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上一点 $P$ 的横坐标为4，且点 $P$ 到 $F$ 的距离为5，

(1)、求抛物线的方程；

(2)、若斜率为1的直线 $l$ 交抛物线于 $A$ 、 $B$ 两点（位于对称轴异侧），且 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = \frac{9}{4}$ ，求直线 $l$ 的方程.

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20. 椭圆 $C$ 的方程为 $x^{2} + 3 y^{2} = 4$ ， $A$ 、 $B$ 为椭圆的左右顶点， $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 为左右焦点， $P$ 为椭圆上的动点.

(1)、求椭圆的离心率；

(2)、若 $△ P F_{1} F_{2}$ 为直角三角形，求 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积；

(3)、线 $P Q$ 、 $P R$ 的斜率分别为 $k_{1}$ 、 $k_{2}$ ，是否存在位于第一象限的点 $P$ ，使得 $k_{1} k_{2} = 1$ ？若存在，求出点 $P$ 的坐标，若不存在，请说明理由.

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21. 设函数 $y = f (x)$ 是定义在 $[0 ， 1]$ 上的函数，若存在 $x_{0} \in (0 ， 1)$ ，使得 $f (x)$ 在 $[0 ， x_{0}]$ 上是严格增函数，在 $[x_{0} ， 1]$ 上是严格减函数，则称 $f (x)$ 为 $[0 ， 1]$ 上的单峰函数， $x_{0}$ 称为峰点， $[0 ， 1]$ 称为含峰区间，

(1)、判断下列函数中，哪些是“ $[0 ， 1]$ 上的单峰函数”？若是，指出峰点；若不是，说出原因： $f_{1} (x) = 2 x - x^{2}$ ， $f_{2} (x) = 1 - | 4 x - 1 |$ ；

(2)、若函数 $f (x) = 2 a {(x + 2)}^{3} - x - 1$ 是区间 $[0 ， 1]$ 上的单峰函数，求实数 $a$ 的取值范围.

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