上海市静安区2022-2023学年高二下学期期末数学试题

试卷更新日期：2023-07-27 类型：期末考试

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一、填空题

1. 以 $x = 1$ 为准线的抛物线的标准方程是．

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2. 7个人站成一排，如果甲、乙2人必须站在两端，有种排法.

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3. 过点 $(0 ， 1)$ 的直线 $l$ 与圆 $x^{2} + y^{2} + 4 x + 3 = 0$ 相切，则直线 $l$ 的斜率为.

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4. 若双曲线 $C$ 的渐近线方程为 $y = \pm \frac{3}{2} x$ ，且过点 $(- 2 ， 0)$ ，则 $C$ 的焦距为.

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5. 已知曲线 $y = e^{x} \sqrt{1 - x}$ 上一点 $P (0 ， 1)$ ，则在点 $P$ 处的切线方程为.

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6. 一个口袋内装有大小相同的7个白球和2个黑球.从口袋内随机取出3个球，则其中至少取到2个白球的概率为.

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7. 类比教材中对圆双曲线的“对称性”和“范围”的研究，写出曲线 $C ： \sqrt{4 - x^{2}} + y^{3} = 1$ 的对称性和所在的范围为.

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8. 已知某食品罐头的体积是常量，其包装是金属材质的圆柱形，假设该圆柱形的高和底半径分别为 $h$ 和 $r$ ，为了使制作包装的金属材料最省， $h ： r$ 的值为.

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二、单选题

9. ${(2 x - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{6}$ 的展开式中的常数项为（）．

A、－120 B、120 C、－60 D、60

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10. 已知物体的位移 $S$ （单位：m）与时间 $t$ （单位：s）满足函数关系 $S = 2 s i n (π t)$ ，则物体在 $t = 2$ 时的瞬时速度为（）

A、 $2 π (m / s)$ B、 $- 2 π (m / s)$ C、 $2 (m / s)$ D、 $- 2 (m / s)$

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11. 如图，封闭图形的曲线部分是长轴长为4，短轴 $A B$ 的长为2的半个椭圆，设 $P$ 是该图形上任意一点，则与线段 $A P$ 的长度的最大值最接近的是（）

A、2.1 B、2.2 C、2.3 D、2.4

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三、解答题

12. 设椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点（0，4），离心率为 $\frac{3}{5}$ .

(1)、求C的方程；

(2)、求过点（3，0）且斜率为 $\frac{4}{5}$ 的直线被C所截线段的中点坐标．

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13. 如图是一座类似于上海卢浦大桥的圆拱桥示意图，该圆弧拱跨度 $A B$ 为 $500 m$ ，圆拱的最高点 $H$ 离水面 $A B$ 的高度为 $100 m$ ，桥面 $C D$ 离水面 $A B$ 的高度为 $50 m$ .

(1)、建立适当的平面直角坐标系，求圆拱所在圆的方程；

(2)、求桥面在圆拱内部分 $C D$ 的长度.（结果精确到 $0.1 m$ ）

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14. 设 $a > 0$ ，函数 $f (x) = \frac{a l n x}{x}$ .

(1)、请讨论该函数的单调性；

(2)、求该函数在闭区间 $[a ， 2 a]$ 上的最大值和最小值.

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15.

(1)、已知 $m$ 是自然数， $n$ 是正整数，且 $m \leq n$ .证明组合数性质： $C_{n + 1}^{m} = C_{n}^{m} + C_{n}^{m - 1}$ ；

(2)、按（1）中的组合数性质公式，有 $C_{9}^{4} = C_{8}^{4} + C_{8}^{3}$ .请自编一个计数问题，使得 $C_{9}^{4}$ 与 $C_{8}^{4} + C_{8}^{3}$ 为该问题的两个不同的解法，并简要说明解法的依据.

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16. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，设 $A (- 1 ， 0) 、 B (1 ， 0)$ ，动点 $P$ 满足： $k_{1} \cdot k_{2} = m$ ，其中 $m$ 是非零常数， $k_{1} 、 k_{2}$ 分别为直线 $P A 、 P B$ 的斜率.

(1)、求动点 $P$ 的轨迹 $Γ$ 的方程，并讨论 $Γ$ 的形状与 $m$ 值的关系；

(2)、当 $m = - 4$ 时，直线 $y = k x + b$ 交曲线 $Γ$ 于 $C 、 D$ 两点， $O$ 为坐标原点.若线段 $C D$ 的长度 $| C D | = 2$ ， $△ C O D$ 的面积 $S = 1$ ，求直线 $C D$ 的方程.

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