上海市浦东新区2022-2023学年高一下学期期末数学试题

试卷更新日期：2023-07-27 类型：期末考试

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一、填空题

1. 角 $2023 °$ 是第象限角.

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2. 平面上两点 $A (2 ， 1)$ ， $B (- 3 ， 2)$ ，则 $| \vec{A B} | =$

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3. 已知复数 $z = \frac{1}{i}$ ， $i$ 是虚数单位，则 $z$ 的虚部为.

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4. 已知 $s i n α = \frac{4}{5}$ ，且 $α \in (\frac{π}{2} ， π)$ ，则 $t a n 2 α$ 的值是.

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5. 若 $1 - i$ 是实系数一元二次方程 $x^{2} + p x + q = 0$ 的一个根，则 $p \cdot q =$ .

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6. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 2) ， \vec{b} = (2 ， - 2)$ ，则 $⟨ \vec{a} ， \vec{b} ⟩ =$ .

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7. 化简 $\frac{s i n (2 π - x) t a n (π + x) c o t (- π - x)}{c o s (π - x) t a n (3 π - x)} =$ .

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8. 设向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 2 ， | \vec{b} | = 3$ ， $⟨ \vec{a} ， \vec{b} ⟩ = \frac{π}{3}$ ，则 $| 3 \vec{a} - 2 \vec{b} | =$ .

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9. 若 $θ$ 为锐角，则 $l o g_{s i n θ} (1 + c o t^{2} θ) =$ .

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10. 中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴. 一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为 $S_{1}$ ，圆面中剩余部分的面积为 $S_{2}$ ，当 $S_{1}$ 与 $S_{2}$ 的比值为 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为

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11. 已知 $\vec{a} = (1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (1 ， 1)$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{a} + λ \vec{b}$ 的夹角为锐角，则实数 $λ$ 的取值范围为．

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12. 在平面直角坐标系中， $A (0 ， 0)$ ， $B (1 ， 2)$ 两点绕定点 $P$ 按顺时针方向旋转 $θ$ 角后，分别到 $A^{'} (4 ， 4)$ ， $B^{'} (5 ， 2)$ 两点位置，则 $c o s θ$ 的值为.

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二、单选题

13. “ $θ = 2 k π + \frac{π}{4}$ ， $k \in Z$ ”是“ $t a n θ = 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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14. 下列命题中正确的是（）

A、终边重合的两个角相等 B、锐角是第一象限的角 C、第二象限的角是钝角 D、小于90°的角都是锐角

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15. 下列说法正确的是（）

A、若 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的长度相等且方向相同或相反； B、若 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的方向相同，则 $\vec{a} = \vec{b}$ C、平面上所有单位向量，其终点在同一个圆上； D、若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 方向相同或相反

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16. 已知 $i$ 为虚数单位，下列说法中错误的是（）

A、复数 $z_{1}$ 对应的向量为 $\vec{O Z_{1}}$ ，复数 $z_{2}$ 对应的向量为 $\vec{O Z_{2}}$ ，若 $| z_{1} + z_{2} | = | z_{1} - z_{2} |$ ，则 $\vec{O Z_{1}} ⊥ \vec{O Z_{2}}$ B、互为共轭复数的两个复数的模相等，且 ${| \bar{z} |}^{2} = {| z |}^{2} = z \cdot \bar{z}$ C、复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模 D、若复数 $z$ 满足 $| z - i | = \sqrt{5}$ ，则复数 $z$ 对应的点在以 $(1 ， 0)$ 为圆心， $\sqrt{5}$ 为半径的圆上

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三、解答题

17. 已知 $s i n θ = \frac{4}{5} ， c o s φ = - \frac{5}{13}$ ，且 $θ \in (\frac{π}{2} ， π) ， φ \in (\frac{π}{2} ， π)$ ，求 $s i n (θ - φ)$ 的值，

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18. 已知 $| \vec{a} | = 4$ ， $| \vec{b} | = 8$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{2 π}{3}$ .

(1)、求 $| \vec{a} + \vec{b} |$ ；

(2)、当 $k$ 为何值时， $(\vec{a} + 2 \vec{b}) ⊥ (k \vec{a} - \vec{b})$ ？

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19. 某实验室一天的温度（单位：℃）随时间 $t$ （单位：h）的变化近似满足函数关系： $f (t) = 10 - \sqrt{3} c o s \frac{π}{12} t - s i n \frac{π}{12} t$ ， $t \in [0 ， 24)$ .

(1)、求实验室这一天的最大温差；

(2)、若要求实验室温度不高于 $11 ° C$ ，则在哪段时间实验室需要降温？

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20. 已知 $△ A B C$ 的周长为 $4 (\sqrt{2} + 1)$ ，且 $s i n B + s i n C = \sqrt{2} s i n A$ ，

(1)、求边长 $a$ 的值；

(2)、若 $S_{△ A B C} = 3 s i n A$ ，求角 $A$ 的大小，

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21. 已知 $\vec{a} = (2 c o s x ， c o s x - \sqrt{3} s i n x) ， \vec{b} = (s i n (x + \frac{π}{3}) ， s i n x)$ ，且函数 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ ，

(1)、求函数 $y = f (x)$ 的最小正周期；

(2)、求函数 $y = f (x)$ 的单调减区间；

(3)、若函数 $y = f (x + φ)$ （其中 $φ \in [0 ， π]$ ）是 $R$ 上的偶函数，求 $φ$ 的值，

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