浙江省绍兴市2022-2023学年高一下学期6月期末数学试题

试卷更新日期：2023-07-27 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知复数 $z$ 在复平面内对应的点是 $(0 ， 1)$ ，则 $\frac{1 + i}{z} =$ （）

A、 $1 + i$ B、 $1 - i$ C、 $- 1 + i$ D、 $- 1 - i$

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2. 某组数据 $33$ 、 $36$ 、 $38$ 、 $39$ 、 $42$ 、 $46$ 、 $49$ 、 $49$ 、 $51$ 、 $56$ 的第 $80$ 百分位数为（）

A、 $46$ B、 $49$ C、 $50$ D、 $51$

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3. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， 2)$ ， $\vec{b} = (1 ， - 1)$ ，则（）

A、 $\vec{a} = - 2 \vec{b}$ B、 $\vec{a} = 2 \vec{b}$ C、 $\vec{a} / / \vec{b}$ D、 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$

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4. 已知m，n是两条直线， $α$ ， $β$ 是两个平面，下列命题正确的是（）

A、若 $m / / n$ ， $m / / α$ ，则 $n / / α$ B、若 $m / / β$ ， $m / / α$ ，则 $α / / β$ C、若 $m ⊥ n$ ， $n \subset β$ ，则 $m ⊥ β$ D、若 $m / / α$ ， $m ⊥ β$ ，则 $α ⊥ β$

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5. 抛掷三枚质地均匀的硬币，有如下随机事件： $A_{i} =$ “正面向上的硬币数为i”，其中i=0，1，2，3，B=“恰有两枚硬币抛掷结果相同”，则下列说法正确的是（）

A、 $A_{0}$ 与B相互独立 B、 $A_{3}$ 与B对立 C、 $P (A_{2}) = 2 P (B)$ D、 $A_{1} + A_{2} = B$

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6. 轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥，如图所示，在直角圆锥 $P - A B C$ 中，AB为底面圆的直径，C在底面圆周上且为弧 $\overset{⌢}{A B}$ 的中点，则异面直线PB与AC所成角的大小为（）

A、30° B、45° C、60° D、90°

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7. 已知函数 $f (x) = c o s (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示， $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是 $f (x)$ 的两个零点，若 $x_{2} = 4 x_{1}$ ，则下列为定值的量是（）

A、 $φ$ B、 $ω$ C、 $\frac{φ}{ω}$ D、 $ω + φ$

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8. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面ABCD是边长为4的正方形，P是棱 $A_{1} D_{1}$ 上的一个动点，若 $P A = \sqrt{10}$ ， $P D = \sqrt{2}$ ，则三棱锥 $P - A B D$ 外接球的表面积是（）

A、144π B、36π C、9π D、6π

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二、多选题

9. 下列等式成立的是（）

A、 $s i n^{2} 6 ° - c o s^{2} 6 ° = c o s 12 °$ B、 $s i n 6 ° - c o s 6 ° = - \sqrt{2} s i n 39 °$ C、 $4 s i n 15 ° s i n 75 ° = 1$ D、 $\frac{\sqrt{3} - t a n 15 °}{1 + \sqrt{3} t a n 15 °} = 1$

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10. 5月21日，2023世界珍珠发展论坛在浙江诸暨举办，大会见证了诸暨珍珠开拓创新、追求卓越的坚实步伐.据统计，今年以来，诸暨珍珠线上线下销售总额达250亿元，已超去年全年的60%，真正实现了“生于乡间小湖，远销五洲四海”.某珍珠商户销售A，B，C，D四款珍珠商品，今年第一季度比去年第一季度营收实现翻番，现统计这四款商品的营收占比，得到如下饼图.同比第一季度，下列说法正确的是（）

A、今年商品A的营收是去年的4倍 B、今年商品B的营收是去年的2倍 C、今年商品C的营收比去年减少 D、今年商品B，D营收的总和与去年相比占总营收的比例不变

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11. 如图，在边长为 $2$ 的正方形 $A B C D$ 中， $E$ 为 $A D$ 的中点，将 $△ A B E$ 沿 $B E$ 折起，使点 $A$ 到达点 $A^{'}$ 的位置，且二面角 $A^{'} - B E - C$ 为 $9 0^{∘}$ .若 $M$ 、 $N$ 分别为 $A^{'} B$ 、 $C D$ 的中点，则（）

A、 $B E ⊥ A^{'} N$ B、 $M N / /$ 平面 $A^{^{'}} D E$ C、平面 $A^{^{'}} B E ⊥$ 平面 $A^{^{'}} D E$ D、点 $C$ 到平面 $A^{^{'}} D E$ 的距离为 $\frac{\sqrt{30}}{3}$

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12. 在 $△ A B C$ 中，D为BC的中点，点E满足 $\vec{B E} = 2 \vec{E D}$ .若 $∠ B A E = ∠ D A E = 20 °$ ，则（）

A、 $| \vec{A B} | = 2 | \vec{A D} |$ B、 $\vec{A E} = \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A D}$ C、 $∠ A B C = 20 °$ D、 $∠ D A C = 70 °$

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三、填空题

13. 函数 $f (x) = s i n 2 x$ 的最小正周期是.

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14. 某手机社交软件可以实时显示两人之间的直线距离.已知甲在某处静止不动，乙在点A时，显示与甲之间的距离为400米，之后乙沿直线从点A点走到点B，当乙在点B时，显示与甲之间的距离为600米，若A，B两点间的距离为500米，则乙从点A走到点B的过程中，甲、乙两人之间距离的最小值为米.

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15. 已知一组样本数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ ， $x_{5}$ 的方差为5，且满足 $x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = 4 x_{5}$ ，则样本数据 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3} ， x_{4} ， x_{5} + 5$ 的方差为.

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16. 直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ B = \frac{π}{2}$ ， $A B = B B_{1} = B C = 1$ ， $P$ 、 $Q$ 分别为线段 $A C_{1}$ 、 $A A_{1}$ 的动点，则 $△ B_{1} P Q$ 周长的最小值是.

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四、解答题

17. 记 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 、 $\vec{c}$ 为平面单位向量，且 $| \vec{a} - \vec{b} | = 1$ .

(1)、求 $⟨ \vec{a} ， \vec{b} ⟩$ ；

(2)、若 $\vec{a} \cdot \vec{c} = \frac{1}{2}$ ，求 $| 2 \vec{c} - \vec{a} |$ .

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18. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，棱长为3， $O_{1}$ 是上底面 $A_{1}^{} B_{1}^{} C_{1}^{} D_{1}^{}$ 的一个动点.

(1)、求三棱锥 $A - O_{1} B C$ 的体积；

(2)、当 $O_{1}$ 是上底面 $A_{1}^{} B_{1}^{} C_{1}^{} D_{1}^{}$ 的中心时，求 $A O_{1}$ 与平面ABCD所成角的余弦值.

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19. 为了推导两角和与差的三角函数公式，某同学设计了一种证明方法：在直角梯形ABCD中， $∠ B = ∠ C = 90 °$ ， $A D = 1$ ，点E为BC上一点，且 $A E ⊥ D E$ ，过点D作 $D F ⊥ A B$ 于点F，设 $∠ B A E = α$ ， $∠ D A E = β$ .

(1)、利用图中边长关系 $D F = B E + C E$ ，证明： $s i n (α + β) = s i n α c o s β + c o s α s i n β$ ；

(2)、若 $B E = C E = \frac{1}{3}$ ，求 $s i n 2 α + c o s 2 β$ .

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20. 第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，而亚运会志愿者的服务工作是举办一届成功的亚运会的重要保障.为配合亚运会志愿者选拔，某高校举行了志愿者选拔面试，面试成绩满分100分，现随机抽取了80名候选者的面试成绩，绘制成如下频率分布直方图.

(1)、求 $a$ 的值，并估计这80名候选者面试成绩平均值 $\bar{x}$ ，众数，中位数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，中位数精确到0.1）

(2)、乒乓球项目场地志愿服务需要3名志愿者，有3名男生和2名女生通过该项志愿服务选拔，需要通过抽签的方式决定最终的人选，现将3张写有“中签”和2张写有“未中签”字样的字条随机分配给每一位候选人，求中签者中男生比女生多的概率.

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21. 如图，在平面四边形ABCD中，点B与点D分别在直线AC的两侧， $B C = C D = 2$ .

(1)、已知 $A B = 2$ ，且 $A C = A D$
（i）当 $c o s ∠ C A D = \frac{2}{3}$ 时，求 $△ A B C$ 的面积；
（ii）若 $∠ A B C = 2 ∠ A D C > \frac{π}{2}$ ，求 $∠ A B C$ .

(2)、已知 $A D = \sqrt{2} A B$ ，且 $∠ B A D = \frac{π}{4}$ ，求AC的最大值.

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22. 如图，在正三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = 2 A_{1} B_{1} = 2 A A_{1}$ ， D，E分别为 $A A_{1}$ ， $B_{1} C_{1}$ 的中点.

(1)、证明： $D E ⊥$ 平面 $B B_{1} C_{1} C$ ；

(2)、设P，Q分别为棱AB，BC上的点，且 $C_{1}$ ， D，P，Q均在平面 $α$ 上，若 $△ P B Q$ 与 $△ A B C$ 的面积比为3：8，
（i）证明： $B P = \frac{3}{4} B A$

（ii）求 $α$ 与平面 $A B B_{1} A_{1}$ 所成角的正弦值.

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