浙江省宁波市2022-2023学年高二下学期期末数学试题（A）

试卷更新日期：2023-07-27 类型：期末考试

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一、单选题

1. 函数 $f (x) = 2^{x}$ 的值域是（）

A、 $(- \infty ， 0)$ B、 $(0 ， + \infty)$ C、 $(1 ， + \infty)$ D、 $(- ∞ ， + ∞)$

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2. 设 $x ∈ R$ ，则“ $x < 2$ ”是“ $x^{2} - x - 2 < 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 已知点F为抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点，点P在抛物线上且横坐标为8，O为坐标原点，若△OFP的面积为 $2 \sqrt{2}$ ，则该抛物线的准线方程为（）

A、 $x = - \frac{1}{2}$ B、 $x = - 1$ C、 $x = - 2$ D、 $x = - 4$

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4. 已知平面向量 $\vec{a} = (1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (m ， 5)$ ，当 $\vec{a} + \vec{b}$ 和 $\vec{a}$ 垂直时， $\vec{a} \cdot (2 \vec{a} - 3 \vec{b}) =$ （）

A、 $- 22$ B、22 C、 $- 25$ D、25

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5. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} (x + 4)^{2} ， - 5 \leq x < - 3 \\ f (x - 2) ， x \geq - 3 \end{array}$ ，若函数 $g (x) = f (x) - | k (x + 1) |$ 有9个零点，则实数k的取值范围是（）

A、 $(- \frac{1}{4} ， - \frac{1}{6}) ∪ (\frac{1}{6} ， \frac{1}{4})$ B、 $(- \frac{1}{3} ， - \frac{1}{5}) ∪ (\frac{1}{5} ， \frac{1}{3})$ C、 $(\frac{1}{6} ， \frac{1}{4})$ D、 $(\frac{1}{5} ， \frac{1}{3})$

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6. 椭圆： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 有一特殊性质，从一个焦点射出的光线到达椭圆上的一点 $P$ 反射后，经过另一个焦点.已知椭圆的焦距为2，且 $| P F_{1} | + | P F_{2} | = 4$ ，当 $s i n ∠ F_{1} P F_{2} = \frac{1}{2}$ 时，椭圆的中心 $O$ 到与椭圆切于点 $P$ 的切线的距离为：（）

A、1 B、 $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$ 或 $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$

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7. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x + \frac{1}{2} ， x \in [0 ， \frac{3}{2}) \\ 2 - f (x - \frac{3}{2}) ， x \in [\frac{3}{2} ， + ∞) \end{array}$ ，则 $f (x) > | l o g_{2} x |$ 的解集是（）

A、 $(\frac{1}{2} ， 1)$ B、 $(1 ， 2)$ C、 $(\frac{1}{2} ， 2)$ D、 $(\frac{1}{2} ， 1) ∪ (1 ， 2)$

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8. 如图，直角梯形 $A B C D$ ， $∠ A B C = 9 0^{∘}$ ， $C D = 2$ ， $A B = B C = 1$ ， $E$ 是边 $C D$ 中点， $Δ A D E$ 沿 $A E$ 翻折成四棱锥 $D^{'} - A B C E$ ，则点 $C$ 到平面 $A B D^{'}$ 距离的最大值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $1$

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二、多选题

9. 根据某地3月5日到3月15日的每天最高气温与最低气温数据（单位： $° C$ ）绘制如下折线图，那么下列叙述正确的是（）

A、5号到11号的最低气温与日期之间呈线性相关关系且为正相关 B、9号的最高气温与最低气温的差值最大 C、最高气温的众数为 $27 ° C$ D、5号到15号的最低气温的极差比最高气温的极差大

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10. 已知 $a > 0 ， b > 0$ ，且 $a b = 4 ，$ 则（）

A、 $\sqrt{a} + \sqrt{b} \leq 2 \sqrt{2}$ B、 $\frac{a^{2}}{b} + \frac{b^{2}}{a} \geq 4$ C、 $\log_{2} \frac{a^{2} + b^{2}}{a + b} \geq 1$ D、 $2^{a (a - b)} > \frac{1}{8}$

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11. 电子通讯和互联网中，信号的传输､处理和傅里叶变换有关.傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和或余弦函数）的线性组合.例如函数 $f (x) = \frac{s i n x}{1} + \frac{s i n 3 x}{3} + \frac{s i n 5 x}{5} + ⋯ + \frac{s i n 13 x}{13}$ 的图象就可以近似地模拟某种信号的波形，则（）

A、 $f (x)$ 为周期函数，且最小正周期为 $π$ B、 $f (x)$ 为奇函数 C、 $y = f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{2}$ 对称 D、 $f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 的最大值为7

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12. 已知函数 $f (x) = \frac{l n x}{x}$ ，若 $x_{1} \neq x_{2}$ 时，有 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = m$ ， $π$ 是圆周率， $e = 2.71828 ⋯$ 为自然对数的底数，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 的图象与 $x$ 轴有两个交点 B、 $m < \frac{1}{e}$ C、若 $0 < x_{1} < x_{2} < 4$ ，则 $2 < x_{1} < e$ D、若 $a = e^{3}$ ， $b = 3^{e}$ ， $c = e^{π}$ ， $d = π^{e}$ ， $s = 3^{π}$ ， $t = π^{3}$ ，则 $s$ 最大

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三、填空题

13. 已知集合 $A = {3 ， m} ， B = {m ， m + 1}$ ，若 $A \cap B = {4}$ ，则 $A \cup B =$ .

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14. 圆心在原点且与直线 $x + y - 4 = 0$ 相切的圆的方程为.

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15. 已知数列 ${a_{n}}$ 的各项均为正数，记 $S_{n}$ 为 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{n + 1} = \frac{2 a_{n}^{2}}{a_{n + 1} - a_{n}}$ $(n \in N^{*})$ ， $a_{1} = 1$ ，则使不等式 $S_{n} > 2019$ 成立的 $n$ 的最小值是.

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16. 如图，在四面体 $A B C D$ 中， $D A$ ， $D B$ ， $D C$ 两两垂直， $D A = D B = D C = \sqrt{2}$ ，以 $D$ 为球心， $1$ 为半径作球，则该球的球面与四面体 $A B C D$ 各面交线的长度和为．

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四、解答题

17. 在图1中，四边形 $A B C D$ 为梯形， $A D / / B C$ ， $∠ A B C = \frac{π}{6}$ ， $∠ B C D = \frac{π}{3}$ ， $A D = C D = 2$ ，过点A作 $A E ⊥ A B$ ，交 $B C$ 于 $E$ ．现沿 $A E$ 将 $△ A B E$ 折起，使得 $B C ⊥ D E$ ，得到如图2所示的四棱锥 $B - A E C D$ ，在图2中解答下列两问：

(1)、求四棱锥 $B - A E C D$ 的体积；

(2)、若F在侧棱 $B C$ 上， $B F = \frac{3}{4} B C$ ，求证：二面角 $C - E F - D$ 为直二面角．

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18. 在平面四边形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $∠ C = 135 °$ ， $B D = \sqrt{5}$ ， $C D = \sqrt{2}$ .

(1)、求 $c o s ∠ C B D$ ；

(2)、若 $△ A B D$ 为锐角三角形，求 $△ A B D$ 的面积的取值范围.

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19. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ 若 $\frac{c o s A}{a} + \frac{c o s B}{b} = \frac{s i n C}{c}$ 且 $c o s B = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ．

(1)、求 $\frac{a}{c}$ 的值；

(2)、若 $3 \vec{A D} = 2 \vec{A B} + \vec{A C} ，$ 且 $△ A C D$ 的面积为 $\frac{4}{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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20. 如图所示的几何体是由等高的半个圆柱和 $\frac{1}{4}$ 个圆柱拼接而成，点 $G$ 为弧 $C D$ 的中点，且 $C$ 、 $E$ 、 $D$ 、 $G$ 四点共面．

(1)、证明：平面 $B F D ⊥$ 平面 $B C G$ ；

(2)、若 $A D = A F = 2$ ，求平面 $B D F$ 与平面 $A B G$ 所成锐二面角的余弦值．

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21. 已知 $p ： x^{2} - 8 x - 20 \leq 0$ ， $q ： (x - 1 + a) (x - 1 - a) \leq 0 (a > 0)$ ．若 $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件，求实数 $a$ 的取值范围．

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x} - \frac{1}{2} x^{2} - a x (a \in R)$ ．

(1)、若函数 $f (x)$ 在R上是增函数，求实数a的取值范围；

(2)、如果函数 $g (x) = f (x) - (a - \frac{1}{2}) x^{2}$ 恰有两个不同的极值点 $x_{1} ， x_{2}$ ，证明： $\frac{x_{1} + x_{2}}{2} < \ln 2 a$ ．

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