浙江省丽水市2022-2023学年高二下学期期末数学试题

试卷更新日期：2023-07-27 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {- 1, 0, 1, 2}$ ， $B = {x | 0 < x < 3}$ ，则 $A \cap B =$ （）．

A、 ${- 1, 0, 1}$ B、 ${0, 1}$ C、 ${- 1, 1, 2}$ D、 ${1, 2}$

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2. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，已知 $a = 4$ ， $b = 4 \sqrt{3}$ ， $B = 60 °$ ，则角 $A =$ （）

A、 $30 °$ B、 $45 °$ C、 $30 °$ 或 $150 °$ D、 $45 °$ 或 $135 °$

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3. 已知 $a ， b \in R$ ，则“ $2^{a} > 2^{b}$ ”是“ $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、既不充分也不必要条件 D、充要条件

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4. 在平面直角坐标系中，角 $α$ 的顶点在坐标原点，始边与 $x$ 轴的非负半轴重合，角 $α$ 的终边与圆心在坐标原点的单位圆交于点 $P (- \frac{4}{5} ， \frac{3}{5})$ ，则 $c o s 2 α =$ （）

A、 $- \frac{24}{25}$ B、 $\frac{24}{25}$ C、 $- \frac{7}{25}$ D、 $\frac{7}{25}$

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5. 已知函数 $f (2 x + 1)$ 是奇函数， $f (x + 2)$ 是偶函数，当 $x \in [2 ， 3]$ 时， $f (x) = 3 - x$ ，则下列选项不正确的是（）

A、 $f (x)$ 在区间 $(- 2 ， 0)$ 上单调递减 B、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = - 1$ 对称 C、 $f (x)$ 的最大值是1 D、当 $x \in (- 1 ， 1)$ 时恒有 $f (x) < 0$

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6. 已知 $△ O A B$ 中， $O A = 2$ ， $O B = 1$ ， $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = - 1$ ，过点 $O$ 作 $O D$ 垂直 $A B$ 于点 $D$ ，则（）

A、 $\vec{O D} = \frac{5}{7} \vec{O A} + \frac{2}{7} \vec{O B}$ B、 $\vec{O D} = \frac{2}{7} \vec{O A} + \frac{5}{7} \vec{O B}$ C、 $\vec{O D} = \frac{4}{7} \vec{O A} + \frac{3}{7} \vec{O B}$ D、 $\vec{O D} = \frac{3}{7} \vec{O A} + \frac{4}{7} \vec{O B}$

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7. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} ⊥$ 底面 $A B C$ ， $A A_{1} = 2$ ， $A C = B C = 1$ ， $∠ A C B = 90 °$ ， $D$ 在上底面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ （包括边界）上运动，则三棱锥 $D - A B C$ 的外接球体积的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{2} π$ B、 $\sqrt{3} π$ C、 $\sqrt{6} π$ D、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2} π$

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8. 函数 $f (x) = s i n (ω x + φ)$ $(ω > 0 ， | φ | \leq \frac{π}{2})$ ，已知点 $(- \frac{π}{4} ， 0)$ 为 $f (x)$ 图象的一个对称中心，直线 $x = π$ 为 $f (x)$ 图象的一条对称轴，且 $f (x)$ 在区间 $[π ， \frac{3 π}{2}]$ 上单调递减，则满足条件的所有 $ω$ 的值的和为（）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{8}{5}$ C、 $\frac{12}{5}$ D、 $\frac{18}{5}$

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二、多选题

9. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， 0)$ ， $\vec{b} = (1 ， 1)$ ，则（）

A、 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ B、 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量是 $\vec{b}$ C、 $(\vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ D、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角是 $\frac{π}{6}$

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10. 抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为Ⅰ号和Ⅱ号），观察两枚骰子落地时朝上的面的点数， $A$ 表示事件“Ⅰ号点数为1”， $B$ 表示事件“Ⅱ号点数是2”， $C$ 表示事件“两枚点数之和是8”， $D$ 表示事件“两枚点数之和是7”，则（）

A、 $P (A) = \frac{1}{6}$ B、 $P (C) = \frac{5}{36}$ C、 $A$ 与 $C$ 相互独立 D、 $B$ 与 $D$ 相互独立

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11. 已知非零实数 $m$ ，满足 $e^{m} = 2 m + 1$ ，实数 $a$ ， $b$ $(a \neq b)$ 满足 $e^{a} = 2 b + 1$ ，则下列可能成立的是（）

A、 $a < b < 0$ B、 $0 < a < b < m$ C、 $0 < b < a < m$ D、 $m < a < b$

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12. 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马 $P - A B C D$ 中，侧棱 $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ ，且 $P D = C D = A D = 2$ ， $M ， N ， G$ 分别为 $P A ， P C ， P B$ 的中点，则（）

A、四面体 $N - B C D$ 是鳖臑 B、 $C G$ 与 $M N$ 所成角的余弦值是 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、点 $G$ 到平面 $P A C$ 的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ D、过点 $M ， N ， B$ 的平面截四棱锥 $P - A B C D$ 的截面面积为 $\frac{2 \sqrt{11}}{3}$

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三、填空题

13. 已知复数 $z$ 满足 $(1 + i) z = 2 + i$ （ $i$ 为虚数单位），则 $z$ = ．

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14. 如图，两座建筑物 $A B$ ， $C D$ 的高度分别是 $12 m$ 和 $20 m$ ，从建筑物 $A B$ 的顶部 $A$ 看建筑物 $C D$ 的张角 $∠ C A D = 45 °$ ，则这两座建筑物 $A B$ 和 $C D$ 的底部之间的距离 $B D =$ $m$ .

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15. 在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 90 ° ， A C = 3 ， A B = 4$ ， $P$ 为 $B C$ 边上的动点，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 的最小值为．

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16. 已知实数 $a ， b ， c$ 满足 $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 3$ ，则 $2 a b + 3 c$ 的最大值为．

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四、解答题

17. 某市政府为了节约生活用水，计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价制度，即确定每户月人均用水量标准M（单位：立方米），月人均用水量不超过M的部分按平价收费，超出M的部分按议价收费．现随机抽取200户进行调查，抽取的用户月人均用水量的频率分布直方图如图所示．

(1)、求频率分布直方图中 $a$ 的值；

(2)、如果希望 $60 %$ 的用户月人均用水量不超过标准M，那么标准M定为多少比较合理？

(3)、若从月人均用水量在 $[3 ， 3.5)$ ， $[3.5 ， 4)$ ， $[4 ， 4.5)$ 三组的用户中采用按比例分层抽样的方法选取6户参加节水座谈会，再从6户中随机地抽2户发言，求发言的2户来自不同组的概率．

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18. 已知函数 $f (x) = 2 s i n x (s i n x + c o s x)$ ， $x \in R$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期和单调递增区间；

(2)、将 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位，得到 $g (x)$ 的图象，求 $y = g (x)$ ， $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ 的值域．

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19. 已知函数 $f (x) = l o g_{2} (4^{x} + 1) - m x$ 是偶函数．

(1)、若 $f (x) = 1$ ，求 $x$ 的值；

(2)、若实数 $t$ 满足 $f (t - 2) < f (2 t + 2)$ ，求 $t$ 的取值范围．

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20. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $a c o s C + \sqrt{3} a s i n C - b - c = 0$ .

(1)、求角A的大小；

(2)、若点 $D$ 满足 $\vec{B D} = \frac{c}{b} \vec{D C}$ ，且 $| \vec{A D} | = \sqrt{3}$ ，求 $2 b + c$ 的最小值．

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21. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $△ P A B$ 为正三角形，四边形 $A B C D$ 为等腰梯形， $M$ 为棱 $A P$ 的中点，且 $A B = 2 A D = 2 B C = 2 C D = 4$ ， $D M = \sqrt{3}$ .

(1)、求证：平面 $P D C ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求平面 $P A D$ 与平面 $P B C$ 所成锐二面角的余弦值.

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22. 已知函数 $f (x) = - | x^{2} - 2 | - a x$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 的零点；

(2)、若关于 $x$ 的方程 $f (x) + 2 x^{2} + 2 = 0$ 区间 $(0 ， 4]$ 上有三个不同的解 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，求 $x_{1} x_{2} x_{3}$ 的取值范围；

(3)、当 $a > 0$ 时，若在 $[0 ， 2]$ 上存在2023个不同的实数 $x_{i} (i = 1 ， 2 ， ⋯ ， 2023)$ ， $x_{1} < x_{2} < ⋯ < x_{2023}$ ，使得 $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | + | f (x_{2}) - f (x_{3}) | + ⋯ + | f (x_{2022}) - f (x_{2023}) | = 6$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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