四川省达州市2022-2023学年高二下学期期末监测数学（理）试题

试卷更新日期：2023-07-27 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {0 ， 1 ， 2}$ ， $B = {x | (x + 1) (x + 2) \leq 0}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 $[- 2 ， - 1]$ C、 $[- 2 ， 2]$ D、 ${- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2}$

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2. 复数 $z = 2 + b i (b \in R ， b \neq 0)$ ，则 $z \cdot \bar{z}$ 的虚部是（）

A、bi B、 $- b^{2}$ C、0 D、 $b^{2}$

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3. 某地区高三学生参加体检，现随机抽取了部分学生的身高，得到下列频数分布表：

身高范围（单位：cm）	$[145 ， 155)$	$[155 ， 165)$	$[165 ， 175)$	$[175 ， 185)$	$[185 ， 195]$
学生人数	5	40	40	10	5

根据表格，估计该地区高三学生的平均身高是（）

A、165 B、167 C、170 D、173

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4. 已知 $c o s (x - \frac{π}{4}) = \frac{4}{5}$ ，则 $s i n 2 x =$ （）

A、 $\frac{7}{25}$ B、 $\frac{8}{25}$ C、 $\frac{9}{25}$ D、 $\frac{16}{25}$

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5. ${(1 - 2 x + x^{2})}^{3}$ 的展开式中， $x^{3}$ 的系数为（）

A、20 B、 $- 20$ C、 $- 15$ D、15

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6. 某市2023年中考体育考试要求考生必须在篮球、足球、排球这三个项目中选择一个项目考试.如果这三个项目该市一初三寝室的四名同学都有人选，则这四名同学所有可能选择的方案为（）

A、72 B、36 C、18 D、24

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7. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点，直线 $x = c$ 与C的一个交点为P， $| P F_{1} | = 3 | P F_{2} |$ ，则C的离心率为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、2 C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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8. 桌上放着4张卡片，每张卡片的一面写着一个大写或小写字母，另一面写着一个0到9的整数数字，小明只能看到卡片的一面．下面的4张卡片，要判断命题“卡片的一面是大写字母，这张卡片的另一面是奇数”为真，小明至少翻开的卡片是（）

A、①② B、②③ C、②④ D、③④

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9. 已知 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若 $\vec{B A} \cdot \vec{A C} = - 4$ ， $△ A B C$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ ，则 $\frac{b^{2} c c o s A c o s C + b c^{2} c o s B c o s A}{a (s i n A + c o s A)} =$ （）

A、 $\sqrt{3} + 1$ B、 $\sqrt{3} - 1$ C、 $4 \sqrt{3} + 4$ D、 $4 \sqrt{3} - 4$

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10. 在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $P$ 满足 $\vec{C P} = λ \vec{C D} + μ \vec{C C_{1}}$ ， $λ \in [0 ， 1]$ ， $μ \in [0 ， 1]$ ．在满足条件的 $P$ 中随机取一点， $B_{1} P$ 与 $A D$ 所成角小于等于 $\frac{π}{4}$ 的概率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{π}{4}$

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11. 椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0 ， a \neq b)$ 任意两条相互垂直的切线的交点轨迹为圆： $x^{2} + y^{2} = a^{2} + b^{2}$ ，这个圆称为椭圆的蒙日圆．在圆 ${(x - 4)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = r^{2} (r > 0)$ 上总存在点P，使得过点P能作椭圆 $x^{2} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的两条相互垂直的切线，则r的取值范围是（）

A、 $(1 ， 9)$ B、 $[1 ， 9]$ C、 $(3 ， 7)$ D、 $[3 ， 7]$

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12. 设 $a_{n}$ 表示集合 ${1 ， 2 ， 3 ， \cdot \cdot \cdot ， n}$ 的子集个数， $b_{n} = l o g_{2} a_{n}$ ， $f_{k} (x) = \sum_{i = 1}^{k} \frac{c o s (b_{i} x)}{a_{i}}$ ，其中 $k \in N^{*}$ .给出下列命题：
①当 $k = 1$ 时， $(\frac{7 π}{8} ， 0)$ 是函数 $f_{1} (2 x - \frac{π}{4})$ 的一个对称中心；② $k = 1$ 时，函数 $f_{1} (2 x - \frac{π}{4})$ 在 $[- \frac{π}{4} ， \frac{π}{4}]$ 上单调递增；③函数 $f_{2} (x)$ 的值域是 $[- \frac{3}{8} ， \frac{3}{4}]$ ；④对任意的实数x，任意的正整数k， $| f_{k} (x) | < 1$ 恒成立.

其中是真命题的为（）

A、①③ B、②④ C、①③④ D、②③④

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $\vec{a} = (3 ， 1)$ ， $\vec{b} = (1 ， k)$ ， $(\vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ，则 $k =$ ．

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14. 曲线 $y = x^{3} + l n (x - 1)$ 在点 $(2 ， 8)$ 处的切线方程是．

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15. 某玩具厂计划设计一款玩具，准备将一个棱长为4 cm的正四面体（所有棱长都相等的三棱锥）密封在一个圆柱形容器内，并且这个正四面体在该圆柱形容器内可以任意转动，则该圆柱形容器内壁高的最小值为cm．

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16. 已知 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是函数 $f (x) = | l o g_{2} x | - m (m \in R)$ 的两个零点，且 $x_{1} < x_{2} < 2 x_{1}$ ，记 $a = 2^{(x_{1} + 4) (x_{2} + 1)}$ ， $b = {(x_{2} + 1)}^{2 (x_{1} + 4)}$ ， $c = {(x_{1} + 4)}^{2 (x_{2} + 1)}$ ，用“＜”把a，b，c连接起来．

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三、解答题

17. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 前五项和为15，等比数列 ${b_{n}}$ 的前三项积为8，且 $a_{1} = b_{1} = 1$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = a_{n} b_{n}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ ．

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18. 某地区新高考要求语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还要从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目.现从该地区已选科的学生中随机选出200人，对其选科情况进行统计，选考物理的占

60 %

，选考政治的占

75 %

，物理和政治都选的有80人.

(1)、完成选考物理和政治的人数的

2 \times 2

列联表，并判断是否可以在犯错误概率不超过

0.1 %

的前提下，认为考生选考物理与选考政治有关？

	选考政治的人数	没选考政治的人数	合计
选考物理的人数
没选考物理的人数
合计

(2)、在该地区已选科的考生中随机选出3人，这3人中物理和政治都选了的考生的人数为X，视频率为概率，求X的分布列和数学期望.

附：参考数据和公式：

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$k_{0}$	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

$K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .

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19. 已知四棱锥 $P - A B C D$ 的底面ABCD是边长为2的菱形，且 $∠ B A D = \frac{π}{3}$ ， $P A = P C$ ， $P D ⊥ A D$ ， E为PB中点．

(1)、证明： $A C ⊥ D E$ ；

(2)、若PB与底面ABCD所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，求二面角 $P - A E - D$ 的余弦值．

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20. 已知抛物线 $E ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上任意一点M到焦点F的距离比M到y轴的距离大1．

(1)、求E的标准方程；

(2)、 $l_{1} ∩ l_{2} = F$ ， $l_{1} ⊥ l_{2}$ ， $l_{1}$ 交E于A，C两点， $l_{2}$ 交E于B，D两点．求四边形ABCD的面积的最小值．

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21. 已知函数 $f (x) = 2 l n x - a x (a \in R)$ ， $g (x) = x f (x)$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若函数 $g (x)$ 存在极大值点 $x_{0}$ ，且 $g (x_{0}) > e^{2}$ ，求a的取值范围．

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22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的方程为 ${(x - 3)}^{2} + y^{2} = 4$ ，直线l过点 $P (3 ， 1)$ 且倾斜角为 $α$ ．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)、写出直线l的参数方程（用P点坐标与 $α$ 表示）和曲线C的极坐标方程；

(2)、设直线l与曲线C交于A，B两点，求 $\frac{1}{| P A |} + \frac{1}{| P B |}$ 的最小值．

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23. 已知函数 $f (x) = 2 | x - 1 | + | 2 x + 1 |$ ，函数 $f (x)$ 的最小值为k．

(1)、求k的值；

(2)、已知a，b，c均为正数，且 $3 a + 2 b + c = k$ ，求 $a^{2} + b^{2} + c^{2}$ 的最小值．

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