安徽省马鞍山市2022-2023学年高一下学期期末教学质量监测数学试题

试卷更新日期：2023-07-27 类型：期末考试

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一、单选题

1. 复数 $z = (1 + i) (2 - i)$ （其中 $i$ 为虚数单位）的虚部为（）

A、1 B、－1 C、 $i$ D、 $- i$

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2. $c o s^{2} \frac{π}{8} - s i n^{2} \frac{π}{8} =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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3. 下列各组向量中，可以作为基底的是（）

A、 $\vec{e_{1}} = (0 ， 0)$ ， $\vec{e_{2}} = (1 ， 2)$ B、 $\vec{e_{1}} = (2 ， - 4)$ ， $\vec{e_{2}} = (4 ， - 8)$ C、 $\vec{e_{1}} = (1 ， - 2)$ ， $\vec{e_{2}} = (2 ， 3)$ D、 $\vec{e_{1}} = (1 ， 0)$ ， $\vec{e_{2}} = (- 2 ， 0)$

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4. 通过抽样调查得到某栋居民楼12户居民的月均用水量数量（单位：吨），如下表格：

4.1

3.2

4.2

5.6

4.3

5.0

6.3

6.2

3.5

3.9

4.5

5.2

则这12户居民的月均用水量的第75百分位数为（）

A、5.0 B、5.2 C、5.4 D、5.6

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5. 已知 $α ， β$ 是空间两个不同的平面， $m ， n$ 是空间两条不同的直线，则下列命题为真命题的是（）

A、若 $m ∥ α ， n ∥ α$ ，则 $m ∥ n$ B、若 $m ∥ α ， m ∥ n$ ，则 $n ∥ α$ C、若 $m ⊥ α ， n ∥ β$ ，且 $m ⊥ n$ ，则 $α ⊥ β$ D、若 $m ⊥ α ， n ⊥ β$ ，且 $α ∥ β$ ，则 $m ∥ n$

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6. 将函数 $y = f (x)$ 的图象上各点的横坐标伸长到原来的 $2$ 倍（纵坐标不变），得到函数 $y = s i n (x - \frac{π}{6})$ 的图象，则（）

A、 $f (x) = s i n (2 x - \frac{π}{3})$ B、 $f (x) = s i n (2 x - \frac{π}{6})$ C、 $f (x) = s i n (\frac{x}{2} - \frac{π}{6})$ D、 $f (x) = s i n (\frac{x}{2} - \frac{π}{12})$

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7. 正方形ABCD中，E，F分别是边AD，DC的中点，BE与AF交于点G．则（）

A、 $\vec{A G} = \frac{1}{5} \vec{A B} + \frac{2}{5} \vec{A D}$ B、 $\vec{A G} = \frac{2}{5} \vec{A B} + \frac{1}{5} \vec{A D}$ C、 $\vec{A G} = \frac{1}{5} \vec{A B} + \frac{3}{5} \vec{A D}$ D、 $\vec{A G} = \frac{3}{5} \vec{A B} + \frac{2}{5} \vec{A D}$

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8. 在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C = A B = 4$ ， $A A_{1} = 6$ ， $∠ B A C = 90 °$ ，且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）

A、 $17 π$ B、 $51 π$ C、 $68 π$ D、 $244 π$

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二、多选题

9. 若复数z满足 $z i = 3 + 4 i$ （ $i$ 为虚数单位），则（）

A、 $\bar{z} = 4 - 3 i$ B、 $| z | = 5$ C、 $z \cdot \bar{z} = 7 - 24 i$ D、 $z^{2} = 7 - 24 i$

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10. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象，则（）

A、 $ω = 2$ B、 $φ = \frac{π}{3}$ C、点 $(\frac{π}{6} ， 0)$ 是 $f (x)$ 图象的一个对称中心 D、 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{5 π}{12}$ 个单位后所对应的函数为偶函数

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11. 在 $△ A B C$ 中，下列说法正确的是（）

A、若 $s i n A > s i n B$ ，则 $A > B$ B、若 $s i n^{2} A < s i n^{2} B + s i n^{2} C$ ，则 $△ A B C$ 为锐角三角形 C、若 $s i n B < c o s A$ ，则 $△ A B C$ 为钝角三角形 D、存在 $△ A B C$ 满足 $c o s A + c o s B \leq 0$

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12. 在正方体 $A C_{1}$ 中，E，F分别为AB，BC的中点，G为线段 $C C_{1}$ 上的动点，过E，F，G作正方体的截面记为 $α$ ，则（）

A、当截面 $α$ 为正六边形时，G为 $C C_{1}$ 中点 B、当 $\frac{C G}{C C_{1}} < \frac{1}{2}$ 时，截面 $α$ 为五边形 C、截面 $α$ 可能是等腰梯形 D、截面 $α$ 不可能与直线 $B_{1} D$ 垂直

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三、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (λ ， 1)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $λ =$ .

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14. 已知某圆锥的侧面积为 $12 π$ ，其侧面展开图是半圆，则该圆锥的体积为．

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15. 计算： $\frac{t a n 1 0^{0} + t a n 5 0^{0} + t a n 12 0^{0}}{t a n 1 0^{0} t a n 5 0^{0}} =$ ．

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16. 已知△ABC是钝角三角形，角A，B，C的对边依次是a，b，c，且 $a = 3$ ， $b = 4$ ，则边c的取值范围是．

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四、解答题

17. 某小学对在校学生开展防震减灾教育，进行一段时间的展板学习和网络学习后，学校对全校学生进行问卷测试（满分

100

分）．现随机抽取了部分学生的答卷，得分的频数统计表和对应的频率分布直方图如图所示：

得分	$[20 ， 40)$	$[40 ， 60)$	$[60 ， 80)$	$[80 ， 100]$
人数	$6$	$a$	$24$	$18$

(1)、求

a

，

b

的值，并估计全校学生得分的平均数；

(2)、根据频率分布直方图，估计样本数据的

15 \frac{0}{0}

和

85 \frac{0}{0}

分位数．

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18. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边依次是a，b，c.若 $(a - \sqrt{3} b) s i n A = c s i n C - b s i n B$ .

(1)、求角C；

(2)、当 $B = \frac{7}{12} π$ ， $a = 2$ 时，求 $△ A B C$ 的面积.

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19. 如图所示，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = 2 A C = 2 A B = 2 B C = 4$ ， D，E分别为棱AB， $C C_{1}$ 的中点.

(1)、证明：CD∥平面 $A B_{1} E$ ；

(2)、求BE与平面 $A B B_{1} A_{1}$ 所成角的正弦值.

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20. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，已知 $\cos A = \frac{3}{5}$ .

(1)、若 $△ A B C$ 的面积为 $3$ ，求 $\vec{A B} \cdot \vec{A C}$ 的值；

(2)、设 $\vec{m} = (2 \sin \frac{B}{2} ， 1)$ ， $\vec{n} = (\cos B ， \cos \frac{B}{2})$ ，且 $\vec{m} / / \vec{n}$ ，求 $\sin (B - 2 C)$ 的值.

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21. 已知函数 $f (x) = 2 s i n x c o s (x + \frac{π}{3})$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、若关于x的方程 $f (x) = m$ 在区间 $[- \frac{π}{2} ， 0]$ 上恰有一解，求实数m的取值范围.

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22. 如图所示，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长2的正方形，侧面 $P A D$ 为等腰三角形， $P A = P D = 4$ ，侧面 $P A D ⊥$ 底面 $A B C D$ ．

(1)、在线段 $P D$ 上是否存在一点 $E$ ，使得 $A E ⊥ P C$ ，若存在，请求出 $\frac{P E}{E D}$ 的值，若不存在，请说明理由；

(2)、求二面角 $P - B C - A$ 的余弦值．

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4.1	3.2	4.2	5.6	4.3	5.0
6.3	6.2	3.5	3.9	4.5	5.2