上海市宝山区2022-2023学年高二下学期期末数学试题

试卷更新日期：2023-07-27 类型：期末考试

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一、填空题

1. 直线 $x = 1$ 的倾斜角为

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2. 在空间直角坐标系 $O - x y z$ 中，点 $P (1 ， 2 ， 4)$ 关于 $x O y$ 平面的对称点 $Q$ 的坐标为.

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3. 直线 $l$ 过点 $(2 ， 3)$ ，且与向量 $\vec{a} = (1 ， 2)$ 垂直，则直线 $l$ 的方程为.

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4. 双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$ 的两条渐近线的夹角的余弦值为.

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5. 某产品经过4次革新后，成本由原来的200元下降到125元.如果这种产品每次革新后成本下降的百分比相同，那么每次革新后成本下降的百分比是（结果精确到0.1%）.

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6. 若 $2 x^{2} + (m^{2} + m) y^{2} + 2 m x + m = 0$ 表示圆，则实数 $m$ 的值为.

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7. 若实数 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 成等差数列，则直线 $a x + b y + c = 0$ 必经过一个定点，则该定点坐标为.

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8. 如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $M$ 、 $N$ 分别是 $B B_{1}$ 、 $A C$ 的中点，设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A C} = \vec{b}$ ， $\vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ，则 $\vec{N M} =$ .

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9. 已知数列 ${a_{n}}$ 的通项公式是 $a_{n} = \frac{1}{n (n + 1)}$ ，其前 $n$ 项的和为 $S_{n}$ .设 $b_{n} = \frac{λ}{1 - S_{n}} + n^{2}$ ，若数列 ${b_{n}}$ 是严格增数列，则实数 $λ$ 的取值范围是.

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10. 如图，记棱长为1的正方体为 $C_{1}$ ，以 $C_{1}$ 各个面的中心为顶点的正八面体为 $C_{2}$ ，以 $C_{2}$ 各面的中心为顶点的正方体为 $C_{3}$ ，以 $C_{3}$ 各个面的中心为顶点的正八面体为 $C_{4}$ ， …，以此类推得到一系列的多面体 $C_{n}$ ，设 $C_{n}$ 的棱长为 $a_{n}$ ，则 $\sum_{k = 1}^{+ \infty} a_{2 k - 1} =$ .

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11. 已知 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 是空间互相垂直的单位向量，且 $| \vec{c} | = 8$ ， $\vec{c} \cdot \vec{a} = \vec{c} \cdot \vec{b} = 2 \sqrt{6}$ ，则 $| \vec{c} - m \vec{a} - n \vec{b} |$ 的最小值是.

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12. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1} (- c ， 0)$ ， $F_{2} (c ， 0)$ ，直线 $y = k x (k > 0)$ 与双曲线 $C$ 在第一、三象限分别交于点 $A$ 、 $B$ ， $O$ 为坐标原点.有下列结论：①四边形 $A F_{1} B F_{2}$ 是平行四边形；②若 $A E ⊥ x$ 轴，垂足为 $E$ ，则直线 $B E$ 的斜率为 $\frac{1}{2} k$ ；③若 $| O A | = c$ ，则四边形 $A F_{1} B F_{2}$ 的面积为 $b^{2}$ ；④若 $△ A O F_{2}$ 为正三角形，则双曲线 $C$ 的离心率为 $\sqrt{3} + 1$ .其中正确命题的序号是.

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二、单选题

13. 若 $a b < 0$ ， $b c < 0$ ，则直线 $a x + b y + c = 0$ 不经过第象限（）

A、一 B、二 C、三 D、四

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14. 已知 $\vec{a} = (2 ， - 1 ， 3) ， \vec{b} = (- 1 ， 4 ， - 2) ， \vec{c} = (1 ， 3 ， λ)$ ，若 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ 三向量共面，则实数 $λ$ 等于（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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15. 若直线 $y = k x - 1$ 与曲线 $y = \sqrt{- x^{2} + 4 x - 3}$ 恰有两个公共点，则实数 $k$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{4}{3} ， + \infty)$ B、 $[1 ， \frac{4}{3})$ C、 $[1 ， \frac{4}{3}]$ D、 $(0 ， \frac{4}{3})$

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16. 已知空间直线 $a$ 、 $b$ 和平面 $α$ 满足： $a ⊥ b$ ， $a \subset α$ ， $b / / α$ .若点 $P \in α$ ，且点 $P$ 到直线 $a$ 、 $b$ 的距离相等，则点 $P$ 的轨迹是（）

A、直线 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线

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三、解答题

17. 已知直线 $l_{1} ： m x + 3 y + 1 = 0$ ， $l_{2} ： x + (m + 2) y + 2 m - 1 = 0$ .

(1)、若 $l_{1} / / l_{2}$ ，求实数 $m$ 的值；

(2)、若直线 $l_{2}$ 在两个坐标轴上的截距相等，求实数 $m$ 的值.

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18. 在平面直角坐标系中， $O$ 为坐标原点，直线 $l ： x = - 1$ ，已知动点 $T$ 到点 $F (1 ， 0)$ 的距离等于点 $T$ 到直线 $l$ 的距离，设点 $T$ 的轨迹为 $C$ .

(1)、过点 $F$ 且斜率为2的直线与曲线 $C$ 交于两个不同的点 $A$ 、 $B$ ，求线段 $A B$ 的长；

(2)、求曲线 $C$ 上的点到直线 $x - y + 4 = 0$ 的最短距离.

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19. 已知 $E$ 、 $F$ 分别是正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱 $B C$ 、 $C D$ 的中点，求：

(1)、 $A_{1} D$ 与 $E F$ 所成角的大小；

(2)、二面角 $C - D_{1} B_{1} - C_{1}$ 的大小；

(3)、点 $M$ 在棱 $C D$ 上，若 $A_{1} M$ 与平面 $B_{1} C_{1} C B$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{19}}{19}$ ，请判断点 $M$ 的位置，并说明理由.

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20. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{n} = {\begin{array}{l} - 1 ， n = 1 \\ 2 a_{n - 1} + 3 ， n \geq 2 \end{array}$ .在等差数列 ${b_{n}}$ 中，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $b_{1} = 2$ ， $2 b_{3} + S_{5} = 28$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设数列 ${c_{n}}$ 满足 $c_{n} = (a_{n} + 3 b_{n}) c o s n π$ ，数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和记为 $T_{n}$ ，试判断是否存在正整数 $m$ ，使得 $T_{m} = 2023$ ？若存在，求出 $m$ 的值；若不存在，说明理由.

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21. 已知椭圆 $Γ ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦距为2，且过点 $(1 ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

(1)、求椭圆 $Γ$ 的标准方程；

(2)、 $A$ 、 $B$ 分别为椭圆 $Γ$ 的上、下顶点， $O$ 为坐标原点，过椭圆 $Γ$ 的左焦点 $F$ 作直线 $l$ 交椭圆 $Γ$ 于 $C$ 、 $D$ 两点，与 $y$ 轴交于 $M$ 点.
①若点 $Q$ 是线段 $C D$ 的中点，求点 $Q$ 的轨迹方程；

②设直线 $A D$ 与直线 $B C$ 交于点 $N$ ，求证： $\vec{O M} \cdot \vec{O N}$ 为定值.

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