陕西省渭南市大荔县2022-2023学年高二下学期期末文科数学试题

试卷更新日期：2023-07-27 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设复数 $z = \frac{2}{1 + i}$ （ $i$ 为虚数单位），则 $z$ 的虚部为（）

A、 $- i$ B、 $i$ C、 $- 1$ D、 $1$

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2. 命题“ $\forall x \in R ， e^{x} > 0$ ”的否定为（）

A、 $\exists x \in R ， e^{x} \leq 0$ B、 $\exists x \in R ， e^{x} < 0$ C、 $\forall x \in R ， e^{x} \leq 0$ D、 $\forall x \in R ， e^{x} < 0$

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3. 函数f（x）=1+sinx，其导函数为f $^{'}$ （x），则f $^{'}$ （ $\frac{π}{3}$ ）=（　　）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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4. 以下四个命题中是假命题的是（）

A、“昆虫都是6条腿，竹节虫是昆虫，所以竹节虫有6条腿”此推理属于演绎推理． B、“在平面中，对于三条不同的直线a，b，c，若 $a / / b$ ， $b / / c$ ，则 $a / / c$ ，将此结论放到空间中也成立”此推理属于合情推理． C、若命题“ $\neg p$ ”与命题“ $p \lor q$ ”都是真命题，那么命题q一定是真命题． D、若 $x \in (0 ， \frac{π}{2}]$ ，则 $s i n x + \frac{2}{s i n x}$ 的最小值为 $2 \sqrt{2}$ ．

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5. 设 $f^{'} (x_{0})$ 为函数 $f (x)$ 在 $x_{0}$ 处的导数，则满足 $f^{'} (1) < f^{'} (2) < f^{'} (3)$ 的函数 $f (x)$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 已知直线 $y = x - 1$ 与抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点，直线OM与抛物线C交于O，N，若 $| O N | = 3 | O M |$ ，则p=（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、2 D、4

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7. $(x - 2) (x + 2) > 0$ 的一个充分不必要条件是（）

A、 $x \leq 0$ B、 $x \geq 0$ C、 $x ≥ 3$ D、 $x > 2$ 或 $x < - 2$

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8. 云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续增长.已知某科技公司2018年至2022年云计算市场规模数据，且市场规模y与年份代码x的关系可以用模型 $y = c_{1} e^{c_{2} x}$ （其中e为自然对数的底数）拟合，设 $z = l n y$ ，得到数据统计表如下：
年份
2018年
2019年
2020年
2021年
2022年
年份代码x
1
2
3
4
5
云计算市场规模y/千万元
7.4
11
20
36.6
66.7
$z = l n y$
2
2.4
3
3.6
4
由上表可得经验回归方程 $z = 0.52 x + a$ ，则2025年该科技公司云计算市场规模y的估计值为（）

A、 $e^{5.08}$ B、 $e^{5.6}$ C、 $e^{6.12}$ D、 $e^{6.5}$

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9. 一次数学考试共有8道判断题，每道题5分，满分40分．规定正确的画√，错误的画╳．甲、乙、丙、丁四名同学的解答及得分情况如表所示，则m的值为（　　）
题号学生
1
2
3
4
5
6
7
8
得分
甲
╳
√
╳
√
╳
╳
√
╳
30
乙
╳
╳
√
√
√
╳
╳
√
25
丙
√
╳
╳
╳
√
√
√
╳
25
丁
╳
√
╳
√
√
╳
√
√
m

A、35 B、30 C、25 D、20

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10. 我国唐代天文学家、数学家张逐以“李白喝酒”为题材写了一道算题：“李白街上走，提壶去买酒，遇店加一倍，见花喝一斗，三遇店和花，喝光壶中酒，原有多少酒？”如图是源于其思想的一个程序框图，即当输出的 $m = 0$ 时，输入的 $m$ 的值是（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{7}{8}$ C、 $\frac{15}{16}$ D、 $4$

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11. 克罗狄斯·托勒密是希腊数学家，他博学多才，既是天文学权威，也是地理学大师．托勒密定理是平面几何中非常著名的定理，它揭示了圆内接四边形的对角线与边长的内在联系，该定理的内容为圆的内接四边形中，两对角线长的乘积等于两组对边长乘积之和．已知四边形 $A B C D$ 是圆 $O$ 的内接四边形，且 $A C = \sqrt{3} B D$ ， $∠ A D C = 2 ∠ B A D$ ．若 $A B \cdot C D + B C \cdot A D = 4 \sqrt{3}$ ，则圆 $O$ 的半径为（）

A、4 B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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12. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左焦点为 $F_{1}$ ，直线 $y = k x (k > 0)$ 与双曲线 $C$ 交于 $P ， Q$ 两点，且 $∠ P F_{1} Q = \frac{2 π}{3}$ ， $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{F_{1} Q} = 4$ ，则当 $\frac{1}{2} a^{2} + \frac{b^{2}}{a^{2}}$ 取得最小值时，双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、3 B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{2}$

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二、填空题

13. 已知实数x，y满足约束条件 ${\begin{array}{l} x - y \leq 0 \\ x + y \leq 1 \\ x \geq 0 \end{array}$ ，则 $z = x + 2 y$ 的最大值为.

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14. 已知 $i$ 是虚数单位，复数 $z = (m^{2} - 8 m + 15) + (m^{2} - 6 m + 8) i$ ， $m \in R$ ．若复平面内表示 $z$ 的点 $Z$ 位于第二象限，实数 $m$ 的取值范围为．

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15. 写出一个满足以下三个条件的函数： $f (x) =$ ．
①定义域为R；② $f (x)$ 不是周期函数；③ $f^{'} (x)$ 是周期为 $2 π$ 的函数．

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16. 已知实数 $a > 0 > b$ ，且 $a - b = 5$ ，则 $\frac{1}{a + 1} + \frac{1}{2 - b}$ 的最小值为.

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三、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 是公差不为零的等差数列， $a_{2} + a_{4} = 14$ ，且 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{6}$ 成等比数列．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ ．

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18. 已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $c - \sqrt{3} b s i n A = \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 c} - b$ ．

(1)、求A；

(2)、若 $b = \frac{1}{4} c$ ，且BC边上的高为 $2 \sqrt{3}$ ，求a．

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19. 在直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = \frac{\sqrt{3}}{2} t \\ y = \frac{1}{2} t \end{array}$ （ $t$ 为参数），以 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ^{2} + 8 ρ^{2} s i n^{2} θ - 9 = 0$ ．

(1)、求 $l$ 的极坐标方程和 $C$ 的直角坐标方程；

(2)、若 $l$ 与 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，求 $| O A | + | O B |$ 的值．

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20. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，短轴长为4.

(1)、求椭圆方程；

(2)、过 $P (2, 1)$ 作弦且弦被P平分，求此弦所在的直线方程及弦长.

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21. 某学校为研究高三学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校400名高三学生（其中女生220名）平均每天体育锻炼时间进行调查，得到下表：

平均每天体育锻炼时间（分钟）	$[0 ， 10)$	$[10 ， 20)$	$[20 ， 30)$	$[30 ， 40)$	$[40 ， 50)$	$[50 ， 60)$
人数	40	72	88	100	80	20

将日平均体育锻炼时间在40分钟以上的学生称为“锻炼达标生”，调查知女生有40人为“锻炼达标生”.

(1)、完成下面

2 \times 2

列联表，试问：能否有99.9%以上的把握认为“锻炼达标”与性别有关？

	锻炼达标	锻炼不达标	合计
男
女
合计			400

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .

$P (K^{2} \geq K_{0})$	0.100	0.050	0.010	0.001
$K_{0}$	2.706	3.841	6.635	10.828

(2)、在“锻炼达标生”中用分层抽样方法抽取5人进行体育锻炼体会交流，再从这5人中随机选2人作重点发言，求发言的2人恰好为1男1女的概率.

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22. 已知函数 $f (x) = x^{2} - a l n x (a \in R)$ ，

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若函数 $y = f (x)$ 在区间 $(1 ， e]$ 上存在两个不同零点，求实数 $a$ 的取值范围．

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年份	2018年	2019年	2020年	2021年	2022年
年份代码x	1	2	3	4	5
云计算市场规模y/千万元	7.4	11	20	36.6	66.7
$z = l n y$	2	2.4	3	3.6	4

题号学生	1	2	3	4	5	6	7	8	得分
甲	╳	√	╳	√	╳	╳	√	╳	30
乙	╳	╳	√	√	√	╳	╳	√	25
丙	√	╳	╳	╳	√	√	√	╳	25
丁	╳	√	╳	√	√	╳	√	√	m