北师大版数学九年级上册同步练习——第四章《图形的相似》综合练习（A）

试卷更新日期：2023-07-27 类型：单元试卷

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一、选择题（每题3分，共36分）

1. 若 $\frac{a}{2} = \frac{3}{b}$ ，则 $a b =$ （）

A、6 B、 $\frac{3}{2}$ C、1 D、 $\frac{2}{3}$

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2. 若两个相似三角形周长的比为 $1 ： 4$ ，则这两个三角形对应边的比是（）

A、 $1 ： 2$ B、 $1 ： 4$ C、 $1 ： 8$ D、 $1 ： 16$

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3. 如图，将三角尺直立举起靠近墙面，打开手机手电筒照射三角尺，在墙面上形成影子．则三角尺与影子之间属于以下哪种图形变换（）

A、平移 B、轴对称 C、旋转 D、位似

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4. 如图，已知 $△ A B C ∽ △ E D C$ ， $A C ： E C = 2 ： 3$ ，若 $A B$ 的长度为6，则 $D E$ 的长度为（）

A、4 B、9 C、12 D、 $13.5$

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5. 已知 $△ A B C ∽ △ D E F$ ， $\frac{A B}{D E} = \frac{1}{2}$ ，若 $B C = 2$ ，则 $E F =$ （）

A、4 B、6 C、8 D、16

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6. 已知△ABC与△A₁B₁C₁是位似图形，位似比是1：3，则△ABC与△A₁B₁C₁的面积比（）

A、1 ：3 B、1：6 C、1：9 D、3：1

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7. 如图，在△ABC中，DE∥AB，且 $\frac{C D}{B D}$ ＝ $\frac{3}{2}$ ，则 $\frac{C E}{C A}$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{3}{2}$

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8. 如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆 $B E$ 测量建筑物的高度，已知标杆 $B E$ 高 $1.5 m$ ，测得 $A B = 1.2 m$ ， $B C = 12.8 m$ ，则建筑物 $C D$ 的高是（）

A、 $17.5 m$ B、 $17 m$ C、 $16.5 m$ D、 $18 m$

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9. 如图， $△ A B C$ 为等边三角形，点 $D$ ， $E$ 分别在边 $B C$ ， $A B$ 上， $∠ A D E = 60 °$ ，若 $B D = 4 D C$ ， $D E = 2.4$ ，则 $A D$ 的长为（）

A、 $1.8$ B、 $2.4$ C、 $3$ D、 $3.2$

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10. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 ° ， A B = 3 ， B C = 4$ ，点 $D$ 在边 $A C$ 上，且 $B D$ 平分 $△ A B C$ 的周长，则 $B D$ 的长是（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{6}$ C、 $\frac{6 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{3 \sqrt{6}}{4}$

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11. 如图， $D E$ 是 $△ A B C$ 的中位线，点 $F$ 在 $D B$ 上， $D F = 2 B F .$ 连接 $E F$ 并延长，与 $C B$ 的延长线相交于点 $M .$ 若 $B C = 6$ ，则线段 $C M$ 的长为（）

A、 $\frac{13}{2}$ B、 $7$ C、 $\frac{15}{2}$ D、 $8$

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12. 如图，四边形 $A B C D$ 是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使 $D A$ 边落在 $D C$ 边上，点 $A$ 落在点 $H$ 处，折痕为 $D E$ ；使 $C B$ 边落在 $C D$ 边上，点 $B$ 落在点 $G$ 处，折痕为 $C F$ ．若矩形 $H E F G$ 与原矩形 $A B C D$ 相似， $A D = 1$ ，则 $C D$ 的长为（　　）

A、 $\sqrt{2} - 1$ B、 $\sqrt{5} - 1$ C、 $\sqrt{2} + 1$ D、 $\sqrt{5} + 1$

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二、填空题（每空3分，共18分）

13. 如图， $A B / / C D / / E F$ ．若 $\frac{A C}{C E} = \frac{1}{2}$ ， $B D = 5$ ，则 $D F =$ ．

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14. 如图，在平面直角坐标系中，四边形 $O A B C$ 的顶点坐标分别是 $O (0 ， 0) ， A (1 ， 0) ， B (2 ， 3) ， C (- 1 ， 2)$ ，若四边形 $O A^{'} B^{'} C^{'}$ 与四边形 $O A B C$ 关于原点 $O$ 位似，且四边形 $O A^{'} B^{'} C^{'}$ 的面积是四边形 $O A B C$ 面积的4倍，则第一象限内点 $B^{'}$ 的坐标为．

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15. 如图， $△ A B C$ 和 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 是以点 $O$ 为位似中心的位似图形，点 $A$ 在线段 $O A^{^{'}}$ 上．若 $O A ： A A^{'} = 1 ： 2$ ，则 $△ A B C$ 和 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 的周长之比为．

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16. 如图，在Rt $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 9 0^{°} ， A C = 3 ， B C = 1$ ，将 $△ A B C$ 绕点 $A$ 逆时针方向旋转 $9 0^{°}$ ，得到 $△ A B^{^{'}} C^{^{'}}$ .连接 $B B^{^{'}}$ ，交AC于点 $D$ ，则 $\frac{A D}{D C}$ 的值为.

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17. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ B C D = 90 °$ ，对角线 $A C ， B D$ 相交于点 $O$ ．若 $A B = A C = 5 ， B C = 6 ， ∠ A D B = 2 ∠ C B D$ ，则 $A D$ 的长为．

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18. 如图， $D E$ 平分等边 $△ A B C$ 的面积，折叠 $△ B D E$ 得到 $△ F D E ， A C$ 分别与 $D F ， E F$ 相交于 $G ， H$ 两点．若 $D G = m ， E H = n$ ，用含 $m ， n$ 的式子表示 $G H$ 的长是．

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三、解答题（共7题，共66分）

19. 如图，在 $△ A B C$ 与 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 中，点 $D$ 、 $D^{'}$ 分别在边 $B C$ 、 $B^{^{'}} C^{^{'}}$ 上，且 $△ A C D ∽ △ A^{'} C^{'} D^{'}$ ，若 ▲ ，则 $△ A B D ∽ △ A^{'} B^{'} D^{'}$ ．请从① $\frac{B D}{C D} = \frac{B^{'} D^{'}}{C^{'} D^{'}}$ ；② $\frac{A B}{C D} = \frac{A^{'} B^{'}}{C^{'} D^{'}}$ ；③ $∠ B A D = ∠ B^{'} A^{'} D^{'}$ 这三个选项中选择一个作为条件（写序号），并加以证明．

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20. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， E是边AC上一点，且 $B E = B C$ ，过点A作BE的垂线，交BE的延长线于点D，求证： $△ A D E ∽ △ A B C$ ．

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21. 如图，△ABC是一块锐角三角形的材料，边BC＝120mm ，高AD＝80mm ，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少mm ．

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22. 如图，将边长为3的正方形 $A B C D$ 沿直线 $E F$ 折叠，使点 $B$ 的对应点 $M$ 落在边 $A D$ 上（点 $M$ 不与点 $A ， D$ 重合），点 $C$ 落在点 $N$ 处， $M N$ 与 $C D$ 交于点 $P$ ，折痕分别与边 $A B$ ， $C D$ 交于点 $E ， F$ ，连接 $B M$ ．

(1)、求证： $∠ A M B = ∠ B M P$ ；

(2)、若 $D P = 1$ ，求 $M D$ 的长．

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23. 如图， $C A ⊥ A D ， E D ⊥ A D$ ，点 $B$ 是线段 $A D$ 上的一点，且 $C B ⊥ B E$ ．已知 $A B = 8 ， A C = 6 ， D E = 4$ ．

(1)、证明： $△ A B C ∽ △ D E B$ ．

(2)、求线段 $B D$ 的长．

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24. △ABC在边长为l的正方形网格中如图所示．

①以点C为位似中心，作出△ABC的位似图形△A₁B₁C，使其位似比为1：2．且△A₁B₁C位于点C的异侧，并表示出A₁的坐标．

②作出△ABC绕点C顺时针旋转90°后的图形△A₂B₂C．

③在②的条件下求出点B经过的路径长．

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25. 如图，用四根木条钉成矩形框 $A B C D$ ，把边 $B C$ 固定在地面上，向右推动矩形框，矩形框的形状会发生改变（四边形具有不稳定性）.

(1)、通过观察分析，我们发现图中线段存在等量关系，如线段 $E B$ 由 $A B$ 旋转得到，所以 $E B = A B$ .我们还可以得到 $F C$ = ， $E F$ = ；

(2)、进一步观察，我们还会发现 $E F$ ∥ $A D$ ，请证明这一结论；

(3)、已知 $B C = 30 c m ， D C = 80 c m$ ，若 $B E$ 恰好经过原矩形 $D C$ 边的中点 $H$ ，求 $E F$ 与 $B C$ 之间的距离.

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