上海市长宁区2022-2023学年八年级下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2023-07-26 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列函数中，一次函数是（）

A、 $y = 2$ B、 $y = x^{2} + 2 x + 1$ C、 $y = \frac{2}{x} + 1$ D、 $y = 3 x$

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2. 下列说法中，正确的是（）

A、 $x^{2} - 4 x = 0$ 是二项方程 B、 $\frac{x + 1}{3} + \frac{x - 1}{2} = 0$ 是分式方程 C、 $\sqrt{3} x^{2} - \sqrt{2} x - 1 = 0$ 是无理方程 D、 ${\begin{array}{l} x = 0 \\ y^{2} = 1 \end{array}$ 是二元二次方程组

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3. 下列关于向量的等式中，正确的是（）

A、 $\vec{A B} + \vec{B A} = 0$ B、 $| \vec{A B} | - | \vec{B A} | = 0$ C、 $| \vec{A B} | + | \vec{B A} | = 0$ D、 $| \vec{A B} + \vec{B A} | = \vec{0}$

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4. 下列描述的事件中，随机事件的是（）

A、方程 $\sqrt{x + 1} + 1 = 0$ ，在实数范围内有解 B、从矩形、菱形、等腰梯形中任取一个图形，它是轴对称图形 C、掷一枚均匀的硬币两次，两次都是正面朝上 D、将10个球放入3个袋子中，至少有一个袋子里的球超过3个

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5. 依次连接等腰梯形各边的中点得到的四边形是（）

A、菱形 B、矩形 C、正方形 D、等腰梯形

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6. 下列命题中，假命题的是（）

A、一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形 B、一组对边相等，一个内角为直角的四边形是矩形 C、一组对边平行，一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形是菱形 D、对角线相等的菱形是正方形

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二、填空题

7. 方程 $x^{3} - 27 = 0$ 的解是．

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8. 如果将直线 $y = - x + 3$ 向下平移 $2$ 个单位，那么平移后所得直线的表达式为．

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9. 已知方程 $\frac{x}{x^{2} - 1} + \frac{x^{2} - 1}{x} = 3$ ，如果设 $y = \frac{x}{x^{2} - 1}$ ，那么原方程转化为关于y的整式方程为．

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10. 一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是．

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11. 如果一次函数 $y = k x + b (k$ 、 $b$ 为常数， $k \neq 0$ $)$ 的图像过点 $(- 1$ ， $2)$ 且经过第一、二、三象限，那么当 $y > 2$ 时， $x$ 的取值范围是．

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12. 如图，正方形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 、 $B D$ 交于点 $O$ ，图中与 $\vec{A O}$ 相等的向量（除了 $\vec{A O}$ ）是．

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13. 如果从 $2$ 、 $6$ 、 $12$ 、 $20$ 、 $30$ 、 $42$ 这 $6$ 个数中任意选一个数，那么选到的数恰好是 $4$ 的倍数的概率是．

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14. 矩形的两条对角线的夹角为 $60 °$ ，一条对角线的长为 $2$ ，那么矩形的周长为．

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15. 已知汽车装满油之后，油箱里的剩余油量y（升）与汽车行驶路程x（千米）之间的函数图象如图所示．为了行驶安全，油箱中的油量不能少于 $5$ （升），那么这辆汽车装满油后至多行驶（千米）后需要再次加油．

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16. 已知等腰梯形的中位线长为9，对角线互相垂直，那么该梯形的一条对角线长是．

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17. 已知函数 $y = f (x)$ 满足当 $a_{1} \leq x \leq b_{1}$ 时，对应的函数值y的范围是 $a_{1} \leq y \leq b_{1}$ ，我们称该函数为关于 $a_{1}$ 和 $b_{1}$ 的方块函数．如果一次函数 $y = k x + b (k$ 、 $b$ 为常数， $k \neq 0$ $)$ 是关于 $1$ 和 $2$ 的方块函数，且它的图像不经过原点，那么该一次函数的解析式为．

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18. 如图，菱形 $A B C D$ 的边长为 $2$ ， $∠ D A B = 60 °$ ，连接 $A C$ ，将菱形 $A B C D$ 绕点 $A$ 旋转，使点 $D$ 的对应点 $E$ 落在对角线 $A C$ 上，连接 $D E$ ，那么 $△ D E C$ 的面积是．

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三、解答题

19. 解方程： $\sqrt{x + 2} - \sqrt{x} = 1$

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20. 解方程组： ${\begin{array}{l} x - y - 2 = 0 & ① \\ x^{2} + y^{2} = 10 & ② \end{array}$

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21. 如图，点 $E$ 在平行四边形 $A B C D$ 的对角线 $B D$ 的延长线上．

(1)、填空： $\vec{D A} + \vec{D C} =$ ；
$\vec{A E} - \vec{B C} =$ ；

(2)、求作： $\vec{A B} + \vec{D E}$ （不写作法，保留作图痕迹，写出结果）．

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22. 小明和小智从学校出发，到距学校路程12千米的自然博物馆，小明骑自行车先走，过了15分钟，小智乘汽车按相同路线追赶小明，结果他们同时到达目的地，已知汽车的速度是小明骑车速度的2倍多20千米/小时，求小明骑车的速度是每小时多少千米．

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23. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ，点 $E$ 在边 $B C$ 上，点 $F$ 在边 $B C$ 的延长线上，四边形 $A E F D$ 的对角线 $A F$ 分别交 $D E$ 、 $D C$ 于点 $P$ 、 $Q$ ，且 $P D = P E$ ， $D E$ 平分 $∠ A D F$ ．

(1)、求证：四边形 $A E F D$ 是菱形；

(2)、如果 $B C = E F$ ， $∠ E D C = ∠ E F P$ ，求证：四边形 $A B C D$ 为矩形．

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24. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $y = k x + b$ 与 $x$ 轴正半轴、 $y$ 轴分别交于点 $A (a$ ， $0)$ 、 $B (0$ ， $6)$ ，与双曲线 $y = \frac{m}{x} (x < 0)$ 交于点 $C (c$ ， $10)$ ， $△ A O B$ 的面积为 $9$ ．

(1)、求 $k$ 与 $m$ 的值；

(2)、点 $P$ 在线段 $A C$ 上，过点 $P$ 作 $P Q ⊥ x$ 轴，垂足为点 $Q$ ，以 $P Q$ 为对角线作正方形 $P M Q N$ ，如果点 $M$ 恰好落在上述双曲线上，求点 $P$ 的坐标．

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25. 已知在四边形 $A B C D$ 中， $A B ∥ C D$ ， $∠ A = 90 °$ ， $B E$ 平分 $∠ A B C$ ，交边 $A D$ 于点 $E$ ．

(1)、如图1，如果点 $E$ 与点 $D$ 重合， $A D = A B$ ，求证：四边形 $A B C D$ 是正方形；

(2)、如果 $A B = 5$ ， $A D = 4$ ，
①如图2，当 $B C = \frac{8}{3} \sqrt{3}$ 时，求 $∠ E B C$ 的度数；
②当 $△ B E C$ 是直角三角形时，求 $D E$ 的长．

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