山东省济南市长清区2022-2023学年七年级下学期期末数学试题

试卷更新日期：2023-07-26 类型：期末考试

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一、单选题

1. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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2. “桃花春色暖先开，明媚谁人不看来”，每年4月橘子洲的桃花竞相开放，灿若云霞，芳香四溢，吸引众多市民和游客前来赏花踏春．桃花花粉直径约为0.00003米，其中0.00003用科学记数法表示为（）

A、 $0.3 \times 1 0^{- 4}$ B、 $3 \times 1 0^{- 5}$ C、 $0.3 \times 1 0^{- 5}$ D、 $3 \times 1 0^{- 4}$

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3. 下列事件中，是随机事件的是（）

A、画一个三角形，其内角和是 $180 °$ B、明天太阳从西方升起 C、任意选择电视的某一频道，正在播放动画片 D、在同一年出生的367名学生中，至少有两人的生日是同一天

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4. 如图，AB∥CD，且被直线l所截，若∠1=54°，则∠2的度数是（）

A、154° B、126° C、116° D、54°

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5. 下列运算结果正确的是（）

A、 $3 a \cdot 2 a^{2} = 5 a^{3}$ B、 ${(- 2 a^{3})}^{2} = - 4 a^{3}$ C、 $- 6 a^{2} \div 3 a = - 2 a$ D、 ${(b - a)}^{2} = b^{2} - a^{2}$

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6. 小静有两根长度为 $5 c m$ 和 $8 c m$ 的木条，她想钉一个三角形的木框，那她第三木条应该选择的长度为（）

A、 $2 c m$ B、 $3 c m$ C、 $8 c m$ D、 $15 c m$

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7. 历史上某地曾干旱缺水，因此在全国开展了献爱心、建母亲水窖的活动，如图是某母亲水窖的横断面示意图，如果这个母亲水窖以固定的流量注水，下面能大致表示水的深度h和时间t之间的关系的图象是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 如图， $△ A B C$ 中， $B D$ 平分 $∠ A B C$ ， $B C$ 的垂直平分线交 $B C$ 于点 $E$ ，交 $B D$ 于点 $F$ ，连接 $C F$ ．若 $∠ A = 50 °$ ， $∠ A B D = 26 °$ ，则 $∠ A C F$ 的度数为（）

A、 $66 °$ B、 $52 °$ C、 $46 °$ D、 $42 °$

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9. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 12$ ， $C B = 9$ ．以顶点 $A$ 为圆心，适当长为半径画弧，分别交 $A C$ ， $A B$ 于点 $M$ ， $N$ ，再分别以 $M$ ， $N$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} M N$ 的长为半径画弧，两弧交于 $P$ 点，作射线 $A P$ 交边 $B C$ 于点 $D$ ．若 $C D = 4$ ，则 $△ A B D$ 的面积是（）

A、 $15$ B、 $30$ C、 $45$ D、 $60$

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10. 如图，点 $E$ ， $F$ 分别为长方形纸片 $A B C D$ 的边 $A B$ ， $C D$ 上的点，将长方形纸片沿 $E F$ 翻折，点 $C$ ， $B$ 分别落在点 $C'$ ， $B'$ 处．若 $∠ D F C' = α$ ，则 $∠ F E A - ∠ A E B^{'}$ 的度数为（）

A、 $45 ° + \frac{1}{2} α$ B、 $60 ° - \frac{1}{2} α$ C、 $90 ° - \frac{1}{2} α$ D、 $90 ° - \frac{3}{2} α$

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二、填空题

11. 计算： $x (2 - x) =$ ．

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12. 如图，飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，小东向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是．

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13. 已知等腰三角形两边长为5、11，则此等腰三角形周长是．

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14. 如图，有一座小山，现要在小山A，B的两端开一条隧道，施工队要知道A，B两端的距离，于是先在平地上取一个可以直接到达点A和点B的点C，连接 $A C$ 并延长到D，使 $C D = C A$ ，连接 $B C$ 并延长到E，使 $C E = C B$ ，连接 $D E$ ．经测量 $D E$ ， $E C$ ， $D C$ 的长度分别为 $800 m$ ， $500 m$ ， $400 m$ ，则A，B之间的距离为m；

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15. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A D$ 平分 $∠ B A C$ 交 $B C$ 于点 $D$ ， $B C = 8 c m$ ， $A C = 6 c m$ ，则 $B D$ 的长为 $c m$ ．

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16. 如图，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝45°，CH⊥AB于点H，AD垂直平分BE，交BC于点F，交CH于点G，则下列结论中正确的有．
①∠EBC＝∠CAF；②AG＝DE；③BC+CG＝AB；④S_△ACG＝S_▱BFGH．

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三、解答题

17. 计算：

(1)、 $(8 a^{3} - 4 a^{2} b) \div (2 a)^{2}$ ；

(2)、 $(- 1)^{2023} - (π - 3.14)^{0} + (\frac{1}{2})^{- 1}$ ．

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18. 化简求值： $(2 y + x) (2 y - x) + {(x - y)}^{2} - {(2 y)}^{2}$ ，其中 $x = 1$ ， $y = - 2$ ．

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19. 如图， $E F ∥ A D$ ， $∠ D G A + ∠ B A C = 180 °$ ，求证： $∠ 1 = ∠ 2$ ．

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20. 在一个不透明的口袋里装有白、红、黑三种颜色的小球，其中白球 $2$ 个，红球 $5$ 个，黑球 $7$ 个，它们除了颜色之外没有其它区别．

(1)、从袋中随机地摸出 $1$ 个球，求出摸出白球的概率；

(2)、若向袋中加 $x$ 个黑球后，使摸出红球的概率变为 $\frac{1}{6}$ ，求出 $x$ 的值．

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21. 方格纸中每个小方格都是边长为 $1$ 的正方形，我们把以格点的连线为边的多边形称为“格点多边形”，如图 $△ A B C$ 就是一个“格点三角形”．

(1)、画出 $△ A B C$ 关于直线 $M N$ 的对称图形 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、若网格上最小正方形的边长为 $1$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

(3)、若在 $M N$ 上存在一点 $Q$ ，使得 $Q A + Q C$ 最小，请在图中画出点 $Q$ 的位置．

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22. 明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地……”翻译成现代文为：如图，秋千 $O A$ 静止的时候，踏板离地高一尺（ $A C = 1$ 尺）．将它往前推进两步（ $E B = 10$ 尺），此时踏板升高离地五尺（ $B D = 5$ 尺），求秋千绳索（ $O A$ ）的长度．

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23. 如图，已知，EC＝AC，∠BCE＝∠DCA，∠A＝∠E.

(1)、求证：BC＝DC；

(2)、若∠A＝25°，∠D＝15°，求∠ACB的度数.

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24. 某工厂安排甲、乙两组工人加工一批疫苗试剂，甲组工人加工1小时后，乙组工人参与加工疫苗试剂．甲组工人加工中因机器故障停产一段时间，然后以原来的工作效率的2倍继续加工；由于时间紧任务重，乙组工人加工若于小时后也开始提速，速度变为200百盒/小时．其中甲、乙两组工人加工疫苗试剂的数量y(百盒)与甲组加工时间t(小时)之间的关系如图所示．请根据图象解答下列问题：

(1)、填空：甲组停产前的加工速度为百盒/小时，乙组提速前的加工速度为百盒/小时；

(2)、甲组停产多长时间？

(3)、乙组共加工了多少疫苗试剂？

(4)、求甲、乙两组工人加工的疫苗试剂数量相等时 $t$ 的值．

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25. 【阅读材料】
我们知道，图形也是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题．

若 $x$ 满足 $(x - 3) (x - 5) = 16$ ，求 $(x - 3)^{2} + (x - 5)^{2}$ 的值．

解：设 $x - 3 = a$ ， $x - 5 = b$ ，则 $a b = (x - 3) (x - 5) = 16$ ， $a - b = (x - 3) - (x - 5) = 2$ ，

$∴ (x - 3)^{2} + (x - 5)^{2} = a^{2} + b^{2} = (a - b)^{2} + 2 a b = 2^{2} + 2 \times 16 = 36$ ．

(1)、【应用】请仿照上面的方法求解下面问题：
若 $x$ 满足 $(x - 2) (x - 5) = 10$ ，求 $(x - 2)^{2} + (x - 5)^{2}$ 的值；

(2)、【拓展】
已知正方形 $A B C D$ 的边长为， $E$ ， $F$ 分别是 $A D$ 、 $D C$ 上的点，且 $A E = 1$ ， $C F = 3$ ，分别以 $M F$ 、 $D F$ 为边长作正方形 $M F R N$ 和正方形 $D F G H$ ．

① $M F =$ ▲ ， $D F =$ ▲ ；（用含 $x$ 的式子表示）

②若阴影部分的面积为 $16$ ，求长方形 $E M F D$ 的面积．

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26. 在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有AB=AC，且满足∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α.

(1)、如图1，当α=90°时，猜想线段DE，BD，CE之间的数量关系是；

(2)、如图2，当0°＜α＜180°时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；

(3)、拓展与应用：如图3，当α=120°时，点F为∠BAC平分线上的一点，且AB=AF，分别连接FB，FD，FE，FC，试判断△DEF的形状，并说明理由.

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