2023-2024学年北师大版数学七年级上册5.3 应用一元一次方程——水箱变高了（基础卷）

试卷更新日期：2023-07-26 类型：同步测试

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一、选择题

1. 如图是一种正方形地砖的花型设计图，为了求这个正方形地砖的边长，可根据图示列方程（）

A、 $4 - 2 x = 6 x$ B、 $2 + 4 x = 6 x$ C、 $2 + 6 x = 4 x$ D、 $4 + 2 x = 6 x$

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2. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．现有一个长方形的周长为 $30 c m$ ，这个长方形的长减少 $1 c m$ ，宽增加 $2 c m$ ，就可以变成一个正方形，设长方形的宽为 $x c m$ ，可列方程为（）

A、 $x - 2 = (30 - x) + 1$ B、 $x - 2 = (\frac{30}{2} - x) + 1$ C、 $x + 2 = (\frac{30}{2} - x) - 1$ D、 $x + 2 = (30 - x) - 1$

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3. 长方形的长是宽的3倍，如果宽增加了4m而长减少了5m，那么面积增加15m² ，设长方形原来的宽为xm，所列方程是（）

A、（x+4）（3x-5）+15= $3 x^{2}$ B、（x+4）（3x-5）-15= $3 x^{2}$ C、（x-4）（3x+5）-15= $3 x^{2}$ D、（x-4）（（3x+5）+15= $3 x^{2}$

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4. 将一个正方体钢坯锻造成长方体，它们的（）

A、体积相等，表面积不相等 B、体积不相等，表面积相等 C、体积和表面积都相等 D、表面积相等，体积不相等

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5. 如图，大长方形是由5个完全相同的小长方形和一个边长为 $1.5 c m$ 的正方形拼成，则大长方形的面积是（）

A、 $2.25 c m^{2}$ B、 $4 c m^{2}$ C、 $6 c m^{2}$ D、 $10 c m^{2}$

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6. 将边长为5的正方形分成若干个长方形，如果这若干个长方形恰好能拼成三个宽为1.5，长为a的长方形，则a的值为（）

A、 $\frac{25}{3}$ B、 $\frac{50}{3}$ C、 $\frac{25}{9}$ D、 $\frac{50}{9}$

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7. 一张长为a，宽为b的长方形纸片（a＞3b），分成两个正方形和一个长方形共三部分（如图所示），现将前两部分图形对折，折痕为AB，再将后两部分图形对折，折痕为CD，则长方形ABCD的周长为（）

A、4b B、2（a-b） C、2a D、a+b

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8. 下图所示的长方形（长为14，宽为8）硬纸板，剪掉阴影部分后，将剩余的部分沿虚线折叠，制作成底面为正方形的长方体箱子，则长方体箱子的体积为（）

A、56 B、40 C、28 D、20

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9. 如图，小明将一个正方形纸片剪去一个宽为4cm的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为5cm的长条，如果两次剪下的长条面积正好相等，那么每一个长条的面积为（）

A、16 $c m^{2}$ B、20 $c m^{2}$ C、80 $c m^{2}$ D、160 $c m^{2}$

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10. 长方形ABCD可以分割成如图所示的七个正方形．若AB＝10，则AD的长为（）

A、13 B、11 C、 $\frac{40}{3}$ D、 $\frac{100}{9}$

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11. 如图，A、O、B两点在数轴上对应的数分别为﹣20、0、40，C点在A、B之间，在A、B两点处各放一个挡板，M、N两个小球同时从C处出发，M以2个单位/秒的速度向数轴负方向运动，N以4个单位/秒的速度向数轴正方向运动，碰到挡板后则反方向运动，速度大小不变．设两个小球运动的时间为t秒钟（0＜t＜40），当M小球第一次碰到A挡板时，N小球刚好第一次碰到B挡板．则：①C点在数轴上对应的数为0；②当10＜t＜25时，N在数轴上对应的数可以表示为80﹣4t；③当25＜t＜40时，2MA+NB始终为定值160；④只存在唯一的t值，使3MO＝NO，以上结论正确的有（　　）

A、①②③④ B、①③ C、②③ D、①②④

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12. 在长方形 $A B C D$ 中，放入6个形状大小完全相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则小长方形的宽 $A E$ 的长度为（） cm .

A、1 B、1.6 C、2 D、2.5

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13. 如图，啤酒瓶高为h，瓶内液体高为a，若将瓶盖好后倒置，液体高为a′（a′+b=h），则酒瓶的容积与瓶内酒的体积之比为（）

A、 $1 + \frac{b}{a^{/}}$ B、 $1 + \frac{a^{/}}{b}$ C、 $1 + \frac{b}{a}$ D、 $1 + \frac{a}{b}$

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14. 将6张小长方形纸片（如图1所示）按图2所示的方式不重叠的放在长方形ABCD内，未被覆盖的部分恰好分割为两个长方形，面积分别为S₁和S₂ ．已知小长方形纸片的长为a，宽为b，且a＞b．当AB长度不变而BC变长时，将6张小长方形纸片还按照同样的方式放在新的长方形ABCD内，S₁与S₂的差总保持不变，则a，b满足的关系是（）

A、 b= $\frac{1}{2}$ a B、 b= $\frac{1}{2} a$ C、 b= D、 b=

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15. 如图，点O在直线 $A B$ 上，过O作射线 $O C$ ， $∠ B O C = 100 °$ ，一直角三角板的直角顶点与点O重合，边 $O M$ 与 $O B$ 重合，边 $O N$ 在直线 $A B$ 的下方．若三角板绕点O按每秒 $10 °$ 的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线 $O N$ 恰好平分锐角 $∠ A O C$ ，则t的值为（）

A、5 B、4 C、5或23 D、4或22

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二、填空题

16. 如图，在直线 $m$ 上顺次取 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点，使得 $A B = 3 c m$ ， $B C = 1 c m$ ，取线段 $A C$ 的中点 $D$ ，若动点 $P$ 从点 $A$ 出发以 $2 c m / s$ 的速度沿射线 $A C$ 方向运动，设运动时间为 $t s$ ，当 $D P = 5 D B$ 时， $t$ 的值为 $s$ ．

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17. 已知长方形的长比宽大5，其周长为50，求其长、宽各是多少．设宽为x，列方程为．

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18. 将一个边长为10 cm正方形，沿粗黑实线剪下4个边长为 cm的小正方形，拼成一个大正方形，余下部分按虚线折叠成一个无盖长方体；最后把两部分拼在一起，组成一个完整的长方体，它的表面积等于原正方形的面积.

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19. 老张在装修新房时想在客厅的地面按照图1所示的正方形图案铺贴仿古地板砖，图1是由四块尺寸完全相同的长方形砖拼成的一个正方形，中间还可另外嵌一个面积为 $0.1 m \times 0.1 m$ 的小正方形花砖（花砖老张已另买）.但老张买砖时只看中了如图2所示的一款较大的正方形地砖，于是只能将其按照图3的方式切割出图1所需的长方形砖在进行铺贴，经过计算这样切割会让每块地砖产生 $0.12 m^{2}$ 废料.已知老张家客厅的面积为 $30 m^{2}$ ，请你帮老张算一下他需购买图2这款地砖块.

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20. 如图，把一块长为 $40 c m$ 的长方形硬纸板的四角剪去四个边长为 $5 c m$ 的小正方形，然后把纸板沿虚线折起，做成一个无盖长方体纸盒．若纸盒的体积是 $1500 c m^{3}$ ，则长方形硬纸板的宽为 $c m$ ．

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21. 如图，已知A，B两点在数轴上，点A表示的数为 $- 10$ ，点B表示的数为30，点M以每6个单位长度的速度从点A向右运动，点N以每秒2个单位长度的速度从点O向右运动，其中点M、点N同时出发，经过秒，点M、点N分别到点B的距离相等.

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22. 如图，一个盛有水的长方体玻璃容器的内底面为边长为4cm的正方形，容器内水的高度为2cm，把一根长方体玻璃棒垂直放入容器中，其中玻璃棒底面为边长是2cm的正方形，则容器内的水将升高cm（假设水不会溢出）.

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23. 如图，宽为50 cm的长方形图案是由10个相同的小长方形拼成的，其中一个小长方形的面积为cm² ．

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三、解答题

24. 一个正方形花圃边长增加2cm，所得新正方形花圃的周长是28cm，则：原正方形花圃的边长是多少?

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25. 一根长 $24$ 米的铁丝围成一个长是宽的 $2$ 倍的长方形，求这个长方形的宽．

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26. 如图，用直径为200mm的钢柱锻造成一块长、宽、高分别为350mm，314mm，180mm的长方体坯底板.问应截取钢柱多长？（不计耗损，π取3.14）

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27. 如图1是边长为6的正方形硬纸版，在每个角上都剪去一个边长相等的小正方形，将其做成如图2的底面周长为16的正方形无盖纸盒，则这个无盖纸盒的高等于多少？

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28. 已知一个角的余角是这个角的补角的 $\frac{1}{4}$ ，求这个角的度数.

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29. 小明在学习了正方体的展开图后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他在家用剪刀剪开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪开了一条棱，把纸盒剪成了两部分，如图1、图2所示．请根据你所学的知识，回答下类问题：
观察判断：
小明共剪开了 ▲ 条棱；
动手操作：
现在小明想将剪断的图2重新粘贴到图1上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒（如图3），请你帮助小明在图1中补全图形：
解决问题：
经过测量，小明发现这个纸盒的底面是一个正方形，其边长是长方体的高的5倍，并且纸盒所有棱长的和是 $880 c m$ ，求这个纸盒的体积．

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30.
实验室里，水平桌面上甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为1：2：1，用两个相同的管子在容器的5cm高度处连通（即管子底端离容器底5cm），现三个容器中，只有甲中有水，水位高1cm，如图所示，若每分钟同时向乙和丙注入相同量的水，开始注水1分钟，乙的水位上升 $\frac{5}{6}$ cm，求开始注入多少分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是0.5cm？

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