广东省深圳市龙岗区2022-2023学年八年级下学期7月期末数学试题

试卷更新日期：2023-07-25 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 下列标志中，既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 若分式 $\frac{x - 1}{x + 1}$ 的值为0，则 $x =$ （）

A、 $- 1$ B、1 C、 $\pm 1$ D、0

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3. 下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的（）

A、 $x^{2} + x - 2 = (x + 2) (x - 1)$ B、 $2 (x - 3 y) = 2 x - 6 y$ C、 $(x + 2)^{2} = x^{2} + 4 x + 4$ D、 $a x + b x + c = x (a + b) + c$

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4. 如图，足球的表面是由正五边形和正六边形拼接而成，其中黑皮的正五边形有12块，白皮的正六边形有20块．如图，足球图片中的一块黑色皮块的内角和是（）

A、180° B、360° C、540° D、720°

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5. 由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小颖同学设计一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后秦进衣服后松开即可．如图①，衣架杆 $O A = O B = 18 c m$ （ $O$ 为衣架的固定点）；如图②，若衣架收拢时， $∠ A O B = 60 °$ ，则此时 $A$ ， $B$ 两点之间的距离是（）

A、 $9 c m$ B、 $9 \sqrt{3} c m$ C、 $18 c m$ D、 $18 \sqrt{3} c m$

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6. 如图，数轴上的点A与点 $B$ 所表示的数分别为 $a$ ， $b$ ，则下列不等式成立的是（）

A、 $- a < - b$ B、 $a + 3 > b + 3$ C、 $\frac{a}{2} > \frac{b}{2}$ D、 $a - c < b - c$

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7. 下列命题中，假命题是（）

A、两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B、一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形 C、两组对角相等的四边形是平行四边形 D、对角线互相平分的四边形是平行四边形

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8. 市政府为了贯彻落实“把绿水青山变成金山银山，用绿色杠杆撬动经济转型”发展理念，开展荒山绿化，打造美好家园，促进旅游发展．某工程队承接了90万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了任务．设原计划每天绿化的面积为x万平方米，则所列方程正确的是（）

A、 $\frac{90}{x} - \frac{90}{(1 + 25 %) x} = 30$ B、 $\frac{90}{x} - \frac{90}{25 % x} = 30$ C、 $\frac{90}{(1 + 25 %) x} - \frac{90}{x} = 30$ D、 $\frac{90}{(1 - 25 %) x} - \frac{90}{x} = 30$

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9. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 30 °$ ， $∠ C = 50 °$ ，请观察尺规作图的痕迹（ $D$ ， $E$ ， $F$ 分别是连线与 $△ A B C$ 边的交点），则 $∠ D A E$ 的度数是（）

A、 $25 °$ B、 $30 °$ C、 $35 °$ D、 $40 °$

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10. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = 1$ ， $D$ 是 $B C$ 边上一点，将 $△ A C D$ 沿 $A D$ 折叠得 $△ A E D$ ，连接 $B E$ ，若四边形 $A B E D$ 为平行四边形，则 $A E$ 的值是（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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二、填空题

11. 分解因式： $a^{3} - 9 a =$ ．

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12. 如图，将一根有弹性的皮筋 $A B$ 自然伸直固定在水平面上，然后把皮筋中点 $C$ 竖直向上拉升 $5 c m$ 到点 $D$ ，如果皮筋自然长度为 $24 c m$ （即 $A B = 24 c m$ ），则此时 $A D =$ $c m$ ．

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13. 若关于x的方程 $\frac{m - 1}{x - 1} - \frac{x}{x - 1}$ =0有增根，则m的值是．

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14. 如图，在等腰 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ C = 25 °$ ，将 $△ A B C$ 绕点 $B$ 逆时针旋转至 $△ D B E$ 且点 $A$ 的对应点 $D$ 落在 $C A$ 延长线上，则 $∠ C B E =$ ．

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15. 如图，在 $△ A B C$ 中， $E$ 是 $A C$ 的中点， $D$ 在 $A B$ 上且 $A D = 2 B D$ ，连接 $B E$ ， $C D$ 相交于点 $F$ ，则 $\frac{S_{△ B C F}}{S_{四边形 A D F E}} =$ ．

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三、解答题

16. 解不等式组 ${\begin{array}{l} x - 2 \leq 2 x ① \\ x - 1 < \frac{1 + x}{3} ② \end{array}$ ，并把解集在数轴上表示出来．

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17. 先化简，再求值： $(\frac{x}{x - 1} - 1) \div \frac{x^{2} - x}{x^{2} - 2 x + 1}$ ，再从不等式 $- 1 \leq x \leq 1$ 的整数解中选择一个适当的数代入求值．

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18. 如图，在 $△ A B C$ 中， $C D$ 平分 $∠ A C B$ 交 $A B$ 于点 $D$ ， $E$ 为 $A C$ 上一点，且 $D E ∥ B C$ ．

(1)、求证： $D E = C E$ ；

(2)、若 $∠ A = 90 °$ ， $A D = 4$ ， $B C = 12$ ，求 $△ B C D$ 的面积．

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19. 如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的三个顶点分别为 $A (- 1 ， 4)$ ， $B (- 4 ， 2)$ ， $C (- 3 ， 5)$ ，（每个方格的边长均为1个单位长度）

⑴若 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 和 $△ A B C$ 关于原点 $O$ 成中心对称，请画出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；
⑵将 $△ A B C$ 绕点 $O$ 逆时针旋转 $90 °$ 得到 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ，请画出 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ；
⑶将 $△ A B C$ 进行平移得到 $△ A_{3} B_{3} C_{3}$ ，若 $A_{3}$ 的坐标为 $(4 ， 2)$ ，则 $B_{3}$ 坐标为 ▲ ；
⑷以 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 为顶点的四边形是平行四边形且点 $D$ 是 $y$ 轴上一点，则点 $D$ 的坐标是 ▲ ．

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20. 某超市用1200元购进一批甲玩具，用500元购进一批乙玩具，所购甲玩具件数是乙玩具件数的2倍，已知甲玩具的进货单价比乙玩具的进货单价多1元．

(1)、求甲、乙玩具的进货单价格是多少元？

(2)、玩具售完后，超市决定再次购进甲、乙玩具（甲、乙玩具的进货单价不变），购进乙玩具的件数比甲玩具件数的2倍多40件，求该超市用不超过1400元最多可以采购甲玩具多少件？

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21. 数学小组在学习“一元一次不等式与一次函数”这一节课后，尝试解决“一元一次不等式与其它函数”的关系问题．他们确定以函数 $y = | x + 1 |$ 为研究对象，通过作图，观察图象，归纳性质等探究过程，进一步理解一元一次不等式与函数的关系．

请根据以下探究过程，回答问题．

(1)、作出函数 $y = | x + 1 |$ 的图象．
①列表：

          $x$
…
          $- 4$
          $- 3$
          $- 2$
          $- 1$
0
1
2
…
          $y$
…
3
          $a$
1
0
1
2
3
…
其中，表格中 $a$ 的值为      ▲            ；
②描点，连线：
根据表格的数据，请在直角坐标系中描出对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；

(2)、观察函数 $y = | x + 1 |$ 的图象，回答下列问题：
①当 $x =$ 时，函数 $y = | x + 1 |$ 有最小值，最小值为；
②当时（填自变量 $x$ 的取值范围）， $y$ 随 $x$ 的增大而增大；

(3)、已知直线 $y = - \frac{1}{3} x + 1$ ，请结合图象，直接写出不等式 $- \frac{1}{3} x + 1 > | x + 1 |$ 的解集是；

(4)、若直线 $y = k x + \frac{1}{2}$ 与 $y = | x + 1 |$ 有2个交点，则 $k$ 的取值范围是．

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22. 数学活动课上，老师组织数学小组的同学进行以“三角形卡片拼接与变换”为主题的数学学习活动．他们准备若干个 $30 °$ ， $45 °$ 的特殊直角三角形卡片，其中在三角形卡片 $A B D$ 中， $∠ A D B = 90 °$ ， $∠ A B D = 30 °$ ， $A D = 2$ ．

(1)、如图1，将一个与 $△ A B D$ 全等的 $△ C D B$ 沿较长的直角边重合，拼成一个四边形 $A B C D$ ．
①求证：四边形 $A B C D$ 是平行四边形；
②连接 $A C$ 交 $B D$ 于点 $O$ ，求 $△ A O D$ 的面积；

(2)、在（1）的条件下，将一条直角边与 $A C$ 重合的等腰直角三角形卡片 $A C E (∠ A C E = 9 0^{∘})$ 与四边形 $A B C D$ 拼成如图2所示的平面图形，请求出点 $E$ 到 $A B$ 的距离；

(3)、一个斜边长度与 $A D$ 相等的 $30 °$ 三角板 $A D E$ （ $∠ E = 90 °$ ， $∠ A D E = 30 °$ ）如图3摆放，将 $△ A D E$ 绕点Ａ顺时针旋转，旋转角为 $α (0 ° < α < 180 °)$ ， $△ A D E$ 旋转后的三角形记为 $△ A D^{'} E^{'}$ ．在旋转过程中，直线 $D^{'} E^{'}$ 所在的直线与直线 $B D$ ， $A B$ 交于 $P$ ， $Q$ 两点，当 $△ B P Q$ 为等腰三角形时，请直接写出 $E^{'} Q$ 的长．

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$x$	…	$- 4$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	0	1	2	…
$y$	…	3	$a$	1	0	1	2	3	…