福建省福州市福清市2022-2023学年七年级下册数学期末试卷

试卷更新日期：2023-07-25 类型：期末考试

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一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）

1. 下列实数中，属于无理数的是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、0.6 C、 $\frac{16}{7}$ D、 $\sqrt{4}$

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2. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $P (- 2 ， - 3)$ 所在的象限是（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 数轴上表示不等式的解集正确的是（）

A、 $x > 2$ B、 $x < 2$ C、 $x ⩾ 2$ D、 $x ⩽ 2$

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4. 如图，下列条件中，不能判定 $A B ∥ C D$ 的是（）

A、 $∠ 3 = ∠ 4$ B、 $∠ 1 = ∠ 5$ C、 $∠ 2 + ∠ 5 = 180 °$ D、 $∠ 1 + ∠ 4 = 180 °$

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5. 为了配合全科大阅读活动，学校团委对全校学生阅读兴趣调查的数据进行整理.欲反映学生感兴趣的各类图书所占百分比，最适合的统计图是（）

A、频数分布直方图 B、扇形统计图 C、折线统计图 D、条形统计图

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6. 如图，坐标平面上有原点 $O$ 与 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 四点.若有一直线 $l$ 经过点 $(- 3 ， 4)$ 且与 $y$ 轴垂直，则 $l$ 也会经过下列（）

A、点 $A$ B、点 $B$ C、点 $C$ D、点 $D$

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7. 将一副三角尺（厚度不计）按如图所示摆放，使有刻度的两条边互相平行，则图中 $∠ 1$ 的大小为（）

A、 $75 °$ B、 $105 °$ C、 $120 °$ D、 $135 °$

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8. 若 $a < b$ ，则下列各式中不一定成立的是（）

A、 $a - 1 < b - 1$ B、 $\frac{a}{2} < \frac{b}{2}$ C、 $a c < b c$ D、 $- a > - b$

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9. 我们约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数，如图1，有 $2 + 3 = 5$ ，在图2中，若 $k$ 的值为8，则 $x$ 的值为（）

A、 $\frac{11}{5}$ B、 $- 1$ C、1 D、任意实数

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10. 已知关于 $x$ ， $y$ 的方程组 ${\begin{array}{l} x + 2 y = a + 3 ， \\ 2 x - y = 6 - 3 a \end{array}$ ，其中 $- 1 \leq a \leq 2$ ，下列说法正确的是（）
①当 $a = 0$ 时， $x$ 与 $y$ 相等； ② ${\begin{array}{l} x = 0 \\ y = 3 \end{array}$ 是原方程组的解；

③无论 $a$ 为何值时， $x + y = 3$ ； ④若 $x \geq \frac{3}{2}$ ， $m = 2 x - 3 y$ ，则 $m$ 的最大值为11；

A、①③ B、②③ C、②③④ D、③④

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二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分）

11. $| - 5 |$ 的相反数是．

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12. 如图，直线 $A B$ ， $C D$ 相交于点 $O$ ，如果 $∠ 1 = 37 °$ ，那么 $∠ 2 =$ °.

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13. 现在很多市民都在用手机里“微信运动”软件记录自己每天走路的步数，为了调查我市45岁60岁市民每天走路的步数情况，适合采取调查（“全面”或“抽样”）.

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14. 小明同学仿照我国古代经典的“鸡兔同笼”问题给小石同学出了一道题目：“今有鸡兔同笼，上有十二头，下有四十足，问鸡兔各几何？”．若小石同学设笼中有鸡x只，兔y只，则根据题意可列方程组为．

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15. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，以 $O$ ， $A$ ， $B$ ， $C$ 为顶点的正方形的边长为6，若点 $A$ 在 $x$ 轴上，点 $C$ 在 $y$ 轴的正半轴上，则点 $B$ 的坐标为.

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16. 阅读下列材料：“为什么 $\sqrt{2}$ 不是有理数”，完成问题.
证明：假设 $\sqrt{2}$ 是有理数，

那么存在两个互质的正整数 $p$ 、 $q$ ，使得 $\sqrt{2} = \frac{p}{q}$ ，于是 $p = \sqrt{2} q$ ，

∴      ▲

∵ $2 q^{2}$ 是偶数，可得 $p^{2}$ 是偶数.

∵只有偶数的平方才是偶数，∴ $p$ 也是偶数.

∴可设 $p = 2 s$ ，代入，得      ▲      .可得      ▲

∴      ▲      .这样， $p$ 和 $q$ 都是偶数，不互质，这与假设 $p$ ， $q$ 互质矛盾.

这个矛盾说明， $\sqrt{2}$ 不能写成分数的形式，即 $\sqrt{2}$ 不是有理数.

将下列选项依次填入材料中的画线处，正确的顺序是.（填上序号）

① $4 s^{2} = 2 q^{2}$ ；    ② $p^{2} = 2 q^{2}$ ；    ③ $q$ 是偶数；    ④ $q^{2} = 2 s^{2}$ .

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三、解答题（本题共9小题，满分86分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 计算： $\sqrt{{(- 2)}^{2}} + | \sqrt{3} - 2 | - \sqrt[3]{- 1}$ .

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18. 解方程组： ${\begin{cases} x - y = 1 \\ 2 x + 3 y = 7 \end{cases}$

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19. 解不等式组： ${\begin{array}{l} 3 (x - 1) ⩽ 5 x + 1 ， \\ 2 x < 1 + \frac{9 - x}{4} . \end{array}$

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20. 完成下面的证明：
如图，点 $D$ ， $E$ ， $F$ 分别是三角形 $A B C$ 的边 $B C$ ， $A C$ ， $A B$ 上的点，连接 $D E$ ， $D F$ ， $D E ∥ A B$ ， $∠ F D E = ∠ A$ .

求证： $D F ∥ A C$ .

证明：∵ $D E ∥ A B$ （已知），

∴ $∠ B F D =$ ▲ （）

∵ $∠ F D E = ∠ A$ （已知）.

∴ $∠ A =$ ▲ （等量代换），

∴ $D F ∥ A C$ （）

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21. 如图，三角形 $A B C$ （记作 $△ A B C$ ）三个顶点的坐标分别是 $A (1 ， 1)$ ， $B (- 1 ， - 2)$ ， $C (3 ， - 3)$ ，先将 $△ A B C$ 向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ .

(1)、在图中画出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，则点 $A_{1}$ 的坐标为 ▲ ，点 $B_{1}$ 的坐标为 ▲

(2)、若点 $P (m ， n)$ 为 $△ A B C$ 内部一点，则经过平移后得到对应点 $P_{1} (2 m - 2 ， - n)$ ，则 $m + n =$

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22. 某校为了了解初三年级600名学生的身体健康情况，从该年级随机抽取了若干名学生，将他们按体重（均为整数，单位： $k g$ ）分成五组（ $A$ ： $39.5 \sim 46.5$ ； $B$ ： $46.5 \sim 53.5$ ； $C$ ： $53.5 \sim 60.5$ ； $D$ ： $60.5 \sim 67.5$ ； $E$ ： $67.5 \sim 74.5$ ），并依据统计数据绘制了如下两幅尚不完整的统计图.

解答下列问题：

(1)、这次抽样调查的样本容量是，并补全频数分布直方图；

(2)、 $C$ 组学生的频率为，在扇形统计图中 $D$ 组的圆心角是度；

(3)、请你估计该校初三年级体重超过 $60.5 k g$ 的学生大约有多少名？

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23. 为降低空气污染，福清市公交公司决定全部更换节能环保的燃气公交车，计划购买

A

型和

B

型两种公交车共10辆，其中每台的价格，年载客量如表：

	$A$ 型	$B$ 型
价格（万元/辆）	$a$	$b$
年载客量（万人/年）	60	100

若购买 $A$ 型公交车1辆， $B$ 型公交车2辆，共需400万元；若购买 $A$ 型公交车2辆， $B$ 型公交车1辆，共需350万元.

(1)、求

a

，

b

的值；

(2)、如果该公司购买

A

型和

B

型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于680万人次.请你利用方程组或不等式组设计一个总费用最少的方案，并说明总费用最少的理由.

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24. 如图，直线 $E F ∥ M N$ ，点 $A$ 、 $B$ 分别在直线 $E F$ 、 $M N$ 上，点 $C$ 在 $E F$ 和 $M N$ 之间，且满足 $∠ C B N = 2 ∠ F A C$ ， $∠ C A F < 30 °$ ，点 $P$ 为线段 $B C$ 上一点（端点除外）， $∠ E A P$ 的平分线与 $∠ B P A$ 的平分线交于点 $K$ .

(1)、当 $∠ A C B = 45 °$ 时，求 $∠ C B N$ ；

(2)、请用等式表示 $∠ A K P$ 与 $∠ C A F$ 的数量关系；

(3)、若 $2 ∠ A K P - ∠ P A F = 90 °$ 时，判断线段 $A P$ 与 $A C$ 的大小关系，并说明理由.

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25. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，以点 $A (a ， b)$ ， $B (a + 4 ， b - 2)$ ， $C (a + 4 ， m)$ ， $D (a ， n)$ 为顶点的四边形位于第一象限内，其中 $a$ 、 $b$ 满足 $| a - 1 | + \sqrt{6 - b} = 0$ .

(1)、求出 $a$ 与 $b$ 的值；

(2)、若点 $P$ 坐标为 $(0 ， \frac{13}{2})$ ，线段 $A B$ 上是否存在点 $E$ ，使得三角形 $O P E$ 面积等于13，若存在，请求出点 $E$ 坐标，若不存在，请说明理由；

(3)、如图，连接 $O B$ 交线段 $C D$ 于 $M$ 点，点 $N$ 为线段 $A B$ 上一点，连接 $A M$ 、 $M N$ 、 $N C$ ，若 $m$ 、 $n$ 满足方程 ${\begin{array}{l} 2 m + n + 3 t = 14 ， \\ m + n = 10 - 2 t \end{array}$ ，且 $\frac{S_{△ M C N}}{S_{△ A M B}} = \frac{2}{3}$ ，求点 $M$ 到直线 $A D$ 的距离.

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