广东省佛山市禅城区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题

试卷更新日期：2023-07-25 类型：期末考试

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一、单选题

1. 据我市气象台预报，2023年7月某日最高气温 $32 ℃$ ，最低气温 $26 ℃$ ，则当天气温 $t$ （℃）的变化范围是（）

A、 $t \geq 26$ B、 $t \leq 32$ C、 $26 < t < 32$ D、 $26 \leq t \leq 32$

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2. 音乐陶冶人的美．我国著名音乐家冼星海说过：“音乐是人生最大的快乐，音乐是生活中的一股清泉”，音符是传达音乐的基本元素．下列音符中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 已知分式 $\frac{m + n}{n}$ （ $m$ ， $n$ 均为正数），若分式中每个字母的值都扩大为原来的3倍，则分式的值（）

A、扩大为原来3倍 B、缩小为原来的 $\frac{1}{3}$ C、不变 D、缩小为原来的 $\frac{1}{9}$

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4. 下列各式中，能进行因式分解的是（）

A、 $x^{2} + y^{2}$ B、 $x^{2} + x - 1$ C、 $x - y$ D、 $x^{2} - y^{2}$

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5. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ B = 30 °$ ， $A C = 2$ ，则 $A B$ 边的长度是（）

A、3 B、4 C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{5}$

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6. 在 $▱ A B C D$ 中， $∠ A ： ∠ B = 1 ： 2$ ，则 $∠ A$ 的度数是（）

A、 $60 °$ B、 $80 °$ C、 $120 °$ D、 $140 °$

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7. 如图，直线 $y = k x + b$ 经过点 $(0 ， 3)$ 和点 $(2 ， 0)$ ，则关于 $x$ 的不等式 $k x + b < 0$ 的解集是（）

A、 $x > 2$ B、 $x < 2$ C、 $x > 3$ D、 $x < 3$

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8. 若 $a^{2} - a b = 0$ （b≠0），则 $\frac{a}{a + b}$ =（）

A、0 B、 $\frac{1}{2}$ C、0或 $\frac{1}{2}$ D、1或 2

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9. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 4$ ， $B C = 7$ ， $D E$ 是 $A C$ 的中垂线，则 $△ A B D$ 的周长为（）

A、10 B、11 C、12 D、13

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10. 体育锻炼能促进青少年享受乐趣、增强体质、健全人格、锻炼意志．某校积极开展“阳光体育”活动．在一次体育活动中，小超和小明进行1000米测试，小超的速度是小明的1.25倍，小超比小明快30秒到达终点．若设小明的速度是 $x$ 米/秒，则所列方程正确的是（）

A、 $\frac{1250}{x} - \frac{1000}{x} = 30$ B、 $30 \times 1.25 x - 30 x = 1000$ C、 $\frac{1000}{x} - \frac{1000}{1.25 x} = 30$ D、 $\frac{1000}{1.25 x} - \frac{1000}{x} = 30$

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二、填空题

11. 若分式 $\frac{1}{x}$ 有意义，则 $x$ 满足的条件是．

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12. 因式分解： $x^{2} - 4 x y + 4 y^{2} =$ ．

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13. “岭南四大名园”之一的佛山“梁园”里不仅有秀水、奇石、名帖，还有随处可见的古典窗棂（如图①所示），这也是岭南建筑艺术之一、图②是这种窗棂中的部分图案．其中 $∠ 1$ 、 $∠ 2$ 、 $∠ 3$ 、 $∠ 4$ 是五边形 $A B C D E$ 的4个外角，若 $∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 + ∠ 4 = 280 °$ ，则 $∠ D$ 的度数是．

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14. 如图，点 $A$ 、 $B$ 在直线 $l$ 上， $D$ 为直线 $l$ 外一点，连接 $A D$ ，分别以点 $B$ 、 $D$ 为圆心， $A D$ 、 $A B$ 的长为半径画弧，两弧交于点 $C$ ，连接 $C D$ 、 $B C$ ，则可以判定四边形 $A B C D$ 是平行四边形的理由是．

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15. 如图，将形状大小完全相同的“○”按照一定的规律（如下图所示）摆放，其中图①的“○”的个数为 $a_{1}$ ，图②中的“○”的个数为 $a_{2}$ ，图③中的“○”的个数为 $a_{3}$ ， ……以此类推，则 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \frac{1}{a_{3}} + \cdot \cdot \cdot \frac{1}{a_{n}}$ 的值是．（ $n$ 为正整数）

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三、解答题

16. 解不等式组： ${\begin{array}{l} 2 (x + 1) > 4 \\ 3 x \leq x + 5 \end{array}$

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17. 先化简，再求值： $\frac{x - 2}{x - 1} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 4 x + 4}$ ，并在1，2，3中选择一个合适的值代入求值．

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18. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系， $△ A B C$ 的顶点都在格点上．

⑴将 $△ A B C$ 向右平移6个单位长度得到 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，请画出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；
⑵画出 $△ A B C$ 关于点 $O$ 的中心对称图形 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ．

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19. 角平分线的性质定理“角平分线上的点到角两边的距离相等．”是一条常用定理，灵活应用这个定理解决实际问题，往往能起到事半功倍的效果；如图，在 $△ A B C$ 中， $A C = B C$ ， $∠ C = 90 °$ ， $A D$ 是 $△ A B C$ 的角平分线．

(1)、若 $C D = 6 c m$ ，求 $B C$ 的长；

(2)、判断 $A B$ 、 $B C$ 、 $C D$ 之间的数量关系，并说明理由．

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20. 阅读塑造精神，阅读滋养情感，阅读增长智慧．在“书香校园”的系列活动中，某校计划购进一批图书．已知购买2本科技类图书和3本文学类图书共需156元，购买4本科技类图书和5本文学类图书共需284元．

(1)、每本科技类图书与每本文学类图书的价格分别为多少元？

(2)、学校计划购进科技类图书和文学类图书共60本，且总费用不超过2100元，那么最多可购进科技类图书多少本？

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21. 已知，如图，点 $A$ 、 $G$ 、 $H$ 、 $C$ 在同一条直线上， $A B ∥ D C$ ， $A B = D C$ ， $A H = C G$ ．求证：

(1)、 $△ A B G ≌ △ C D H$

(2)、四边形 $G B H D$ 是平行四边形．

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22. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”．请你利用“数形结合”的思想解决以下问题．如图1，边长为 $a$ 的正方形中有一个边长为 $b$ 的小正方形，图2题由图1外阴影部分排成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为 $S_{1}$ ，图2中阴影部分面积为 $S_{2}$ ．

(1)、请直接用含 $a$ 和 $b$ 的代数式表示 $S_{1} =$ ， $S_{2} =$ ；写出利用图形的面积关系所得到的公式：（用式子表达）．

(2)、请依据（1）得到的公式计算： $(2 + 1) (2^{2} + 1) (2^{4} + 1) (2^{8} + 1) + 1$ ．

(3)、请用（1）中的公式证明任意两个相邻奇数的平方差必是8的倍数．

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23. 如图1，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A = 90 °$ ， $A B = A C$ ，点 $D$ ， $E$ 分别在边 $A C$ ， $A B$ 上， $A D = A E$ ，连接 $D E$ ， $B D$ ，点 $F$ ， $P$ ， $G$ 分别为 $D E$ ， $B D$ ， $B C$ 的中点．

(1)、线段 $P F$ 与 $P G$ 的数量关系是，位置关系是；

(2)、把 $△ A D E$ 绕点 $A$ 顺时针方向旋转到图2的位置，连接 $P F$ ， $P G$ ， $F G$ ，判断 $△ F P G$ 的形状，并说明理由；

(3)、若 $A D = 3$ ， $A B = 7$ ， $△ A D E$ 绕点 $A$ 在平面内旋转过程中，请直接写出 $△ F P G$ 的面积取得最大值时 $B D$ 的长．

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