2023-2024学年北师大版数学七年级上册3.5探究与表达规律（复习卷）

试卷更新日期：2023-07-24 类型：同步测试

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一、选择题

1. 如图，各网格中四个数之间都有相同的规律，则第7个网格中右下角的数为（）

A、62 B、79 C、88 D、98

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2. 如图所示的运算程序中，若开始输入的x的值为 $- 48$ ，我们发现第1次输出的结果为 $- 24$ ，第2次输出的结果为 $- 12$ ， …，第2023次输出的结果为（）

A、 $- 6$ B、 $- 3$ C、 $- 24$ D、 $- 12$

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3. 1883年，康托尔用以下的方法构造的这个分形，称做康托尔集.如图，取一条长度为1的线段，将它三等分，去掉中间一段，留剩下两段，这称为第一阶段；然后将剩下的两段再三等分，各去掉中间一段，剩下更短的四段，这称为第二阶段…将这样的操作无限地重复下去，余下的无穷点就称做康托尔集.那么经过第四个阶段后，留下的线段的长度之和为（）

A、 $\frac{4}{27}$ B、 $\frac{16}{81}$ C、 $\frac{8}{243}$ D、 $\frac{16}{243}$

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4. 已知整数 $a_{1} ， a_{2} ， a_{3} ， a_{4}$ ……满足下列条件： $a_{1} = 0$ ， $a_{2} = - | a_{1} + 1 |$ ， $a_{3} = - | a_{2} + 2 |$ ， $a_{4} = - | a_{3} + 3 |$ ……依次类推，则 $a_{2017}$ 的值为（）

A、 $- 1009$ B、 $- 1008$ C、 $- 2017$ D、 $- 2016$

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5. 正整数按如图所示的规律排列，则第9行、第 $10$ 列的数字是（）

A、 $90$ B、 $86$ C、 $92$ D、 $10$

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6. 有一个正方体骰子，放在桌面上，将骰子沿如图所示的顺时针方向滚动，每滚动90°算一次，则滚动第2022次后，骰子朝下一面的点数是（）

A、5 B、3 C、4 D、2

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7. 按如图所示的运算程序，若开始输入x的值为343，则第2022次输出的结果为（）

A、343 B、1 C、7 D、49

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8. 将一列有理数 $- 1 ， 2 ， - 3 ， 4 ， - 5 ， 6$ ， ……，如图所示有序排列.根据图中的排列规律可知，“峰1”中峰顶的位置（ $C$ 的位置）是有理数4，那么，“峰6”中 $C$ 的位置是有理数____，2022应排在 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 、 $E$ 中____的位置.正确的选项是（）

A、-29， $A$ B、30， $D$ C、029， $B$ D、-31， $A$

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9. 下图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的黑白两种颜色的小正方形组成的．按照这样的规律，第505个图案中有黑色小正方形（）

A、2021个 B、2022个 C、2023个 D、2024个

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10. 定义一种对正整数 $n$ 的“ $F$ ”运算：①当 $n$ 为奇数时， $F (n) = 5 n + 3$ ；②当 $n$ 为偶数时， $F (n) = \frac{n}{2^{k}}$ （其中， $k$ 是使 $F (n)$ 为奇数的正整数）， $\dots \dots$ ，两种运算交替重复进行，例如，取 $n = 20$ ，则运算过程如图所示：若 $n = 3$ ，则第2023次“ $F$ ”运算的结果是（）

A、3 B、9 C、18 D、48

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二、填空题

11. 将相同的长方形卡片按如图方式摆放在一个直角上，每个长方形卡片长为2，宽为1，依此类推，摆放2023个时，实线部分长为.

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12. 观察图形并填表（单位： $c m$ ）
梯形个数
1
2
3
4
5
6
…
n
图形周长
$5 a$
$8 a$
$11 a$
$14 a$
$20 a$
…

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13. 如图，观察下列的“蜂窝图”，则第n个图案中的正六边形的个数是（用含n的代数式表示）.

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14. 如图是用正三角形、正方形、正六边形设计的一组图案，按照规律，第 $n$ 个图案中正三角形的个数是.

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15. 如图是用棋子摆成的图形，按照这种摆法，第 $n$ 个图形中共有个棋子．

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三、解答题

16. 我校七年级数学兴趣小组成员们自主开展数学微项目研究.结合本阶段学内容特点，他们决定研究数的一些“神秘”性质.

探索数的神秘性质
素材	尼科马霍斯是古希腊数学家，他的著作 $《$ 算术入门 $》$ 中记载了各种数分门别类的整理成果，其中任何一个整数 $m$ 的立方都可以写成 $m$ 个连续奇数之和.	举例论证： $1^{3} = 1$ ； $2^{3} = 3 + 5$ ； $3^{3} = 7 + 9 + 11$ ；请你按规律写出： $4^{3} =$ ▲ .
规律总结	当 $m$ 是奇数7时，则等号右边式子中的中间数 $($ 即第4个数 $)$ 为 ▲ ；	当 $m$ 为偶数10时，则等号右边式子中的中间两个数 $($ 即第5和第6个数 $)$ 为 ▲ .
综合应用	利用上面结论计算： $1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + \dots + 9^{3} + 1 0^{3} + 1 1^{3}$ .
拓展延伸	我们还发现以下规律：已知 $m \geq 2$ ， $n \geq 3$ ，且 $m$ ， $n$ 均为正整数，如果将 $m^{n}$ 进行如图所示的“分解”：若 $m^{n} ($ 且 $m$ ， $n$ 均为不大于 $7$ 的正整数 $)$ 的分解中有奇数31，则 $m^{n}$ 的值为 ▲ .

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17. 观察下列三行数并按规律填空：
－1，2，－3，4，－5，  ▲   ，   ▲   ， …；

1，4，9，16，25，  ▲   ，   ▲   ， …；

0，3，8，15，24，  ▲   ，   ▲   ， ….

（ 1 ）第一行数按什么规律排列？

（ 2 ）第二行数、第三行数分别与第一行数有什么关系？

（ 3 ）取每行数的第10个数，计算这三个数的和．

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18. 图1中，有一个平行四边形；
图2中，由2个相同的平行四边形拼成一排的图形，这图形中可以找到3个平行四边形；
图3中，由3个相同的平行四边形拼成一排的图形，这图形中可以找到6个平行四边形；
由此我们可以提出一个这样的问题：
图4中，由4个相同的平行四边形拼成一排的图形中，可以找到几个平行四边形？
答：10个
请你根据以上事实，将一些相同的平行四边形横向或纵向拼接，由此提出一个数学问题，并写出答案．

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19. 3²－1²＝8×1
5²－3²＝8×2

7²－5²＝8×3

9²－7²＝8×4

……

观察上面的一系列等式，你能发现什么规律？用代数式表示这个规律，并用这个规律计算2001²－1999²的值.

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20. （阅读材料）观察下列图形与等式的关系，并填空：
⇒ $\frac{1}{2}$ +（ $\frac{1}{2}$ ）²＝1﹣（ $\frac{1}{2}$ ）²；

⇒ $\frac{1}{2}$ +（ $\frac{1}{2}$ ）²+（ $\frac{1}{2}$ ）³=

⇒ $\frac{1}{2}$ +（ $\frac{1}{2}$ ）²+（ $\frac{1}{2}$ ）³+（ $\frac{1}{2}$ ）⁴＝

（规律探究）观察下图：

根据以上发现，用含n的代数式填空： $\frac{1}{2}$ +（ $\frac{1}{2}$ ）²+（ $\frac{1}{2}$ ）³+（ $\frac{1}{2}$ ）⁴+（ $\frac{1}{2}$ ）⁵+…+（ $\frac{1}{2}$ ）ⁿ＝．

（解决问题）根据以上发现，计算： $\frac{1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} + 2^{5} + \dots + 2^{2017}}{1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} + 2^{5} + \dots + 2^{2016}}$ = ．

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梯形个数	1	2	3	4	5	6	…	n
图形周长	$5 a$	$8 a$	$11 a$	$14 a$		$20 a$	…