2023年中考数学真题分类汇编（全国版）：图形的相似

试卷更新日期：2023-07-23 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 若 $\frac{a}{2} = \frac{3}{b}$ ，则 $a b =$ （）

A、6 B、 $\frac{3}{2}$ C、1 D、 $\frac{2}{3}$

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2. 若两个相似三角形周长的比为 $1 ： 4$ ，则这两个三角形对应边的比是（）

A、 $1 ： 2$ B、 $1 ： 4$ C、 $1 ： 8$ D、 $1 ： 16$

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3. 如图，已知 $△ A B C ∽ △ E D C$ ， $A C ： E C = 2 ： 3$ ，若 $A B$ 的长度为6，则 $D E$ 的长度为（）

A、4 B、9 C、12 D、 $13.5$

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4. 常言道：失之毫厘，谬以千里．当人们向太空发射火箭或者描述星际位置时，需要非常准确的数据． $1^{″}$ 的角真的很小．把整个圆等分成360份，每份这样的弧所对的圆心角的度数是 $1 °$ ． $1 ° = 6 0^{'} = 360 0^{″}$ ．若一个等腰三角形的腰长为1千米，底边长为4.848毫米，则其顶角的度数就是 $1^{″}$ ．太阳到地球的平均距离大约为 $1.5 \times 1 0^{8}$ 千米．若以太阳到地球的平均距离为腰长，则顶角为 $1^{″}$ 的等腰三角形底边长为（　　）

A、24.24千米 B、72.72千米 C、242.4千米 D、727.2千米

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5. 如图，在 $△ A B C$ 中，点D在边 $A B$ 上，过点D作 $D E ∥ B C$ ，交 $A C$ 于点E．若 $A D = 2 ， B D = 3$ ，则 $\frac{A E}{A C}$ 的值是（）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{2}{3}$

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6. 我国著名数学家华罗庚曾为普及优选法作出重要贡献，优选法中有一种0.618法应用了（）

A、黄金分割数 B、平均数 C、众数 D、中位数

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7. 如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为 $1.6 m$ ，同时量得小菲与镜子的水平距离为 $2 m$ ，镜子与旗杆的水平距离为 $10 m$ ，则旗杆高度为（）

A、 $6.4 m$ B、 $8 m$ C、 $9.6 m$ D、 $12.5 m$

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8. 在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点 $△ A B C 、 △ D E F$ 成位似关系，则位似中心的坐标为（）

A、 $(- 1 ， 0)$ B、 $(0 ， 0)$ C、 $(0 ， 1)$ D、 $(1 ， 0)$

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9. 如图，在直角坐标系中， $△ A B C$ 的三个顶点分别为 $A (1 ， 2) ， B (2 ， 1) ， C (3 ， 2)$ ，现以原点O为位似中心，在第一象限内作与 $△ A B C$ 的位似比为2的位似图形 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，则顶点 $C^{'}$ 的坐标是（）

A、 $(2 ， 4)$ B、 $(4 ， 2)$ C、 $(6 ， 4)$ D、 $(5 ， 4)$

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二、填空题

10. 如图，一束光线从点 $A (- 2 ， 5)$ 出发，经过y轴上的点 $B (0 ， 1)$ 反射后经过点 $C (m ， n)$ ，则 $2 m - n$ 的值是．

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11. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A₁B₁C₁位似，原点O是位似中心，且 $\frac{A B}{A_{1} B_{1}} = 3$ ．若A（9，3），则A₁点的坐标是．

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12. 如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 与 $△ A B^{'} C^{'}$ 的相似比为1∶2，点A是位似中心，已知点 $A (2 ， 0)$ ，点 $C (a ， b)$ ， $∠ C = 90 °$ .则点 $C^{'}$ 的坐标为.（结果用含a，b的式子表示）

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13. 如图，乐器上的一根弦 $A B = 80 c m$ ，两个端点 $A ， B$ 固定在乐器板面上，支撑点 $C$ 是靠近点 $B$ 的黄金分割点，支撑点 $D$ 是靠近点 $A$ 的黄金分割点， $C ， D$ 之间的距离为．

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14. 小慧同学在学习了九年级上册“4.1比例线段”3节课后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，请在横线上填写适当的数值+感受这种特殊化的学习过程．

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三、解答题

15. 综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪ABCD为正方形，AB=30cm，顶点A处挂了一个铅锤M．如图是测量树高的示意图，测高仪上的点D，A与树顶E在一条直线上，铅垂线AM交BC于点H．经测量，点A距地面1.8m，到树EC的距离 $A F = 11$ m， $B H = 20$ cm．求树EG的高度（结果精确到0.1m）．

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四、综合题

16. 阅读下列材料，回答问题

任务：测量一个扁平状的小水池的最大宽度，该水池东西走向的最大度 $A B$ 远大于南北走向的最大宽度，如图1．

工具：一把皮尺（测量长度略小于 $A B$ ）和一台测角仪，如图2．皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度）；测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点 $O$ 处，对其视线可及的 $P ， Q$ 两点，可测得 $∠ P O Q$ 的大小，如图3．

小明利用皮尺测量，求出了小水池的最大宽度 $A B$ ，其测量及求解过程如下：测量过程：

（ⅰ）在小水池外选点 $C$ ，如图4，测得 $A C = a m ， B C = b m$ ；

（ⅱ）分别在 $A C ， B C$ 上测得 $C M = \frac{a}{3} m ， C N = \frac{b}{3} m$ ；测得 $M N = c m$ ．求解过程：

由测量知， $A C = a ， B C = b ， C M = \frac{a}{3} ， C N = \frac{b}{3}$ ，

$∴ \frac{C M}{C A} = \frac{C N}{C B} = \frac{1}{3}$ ，又 $∵$ ①____，

$∴ △ C M N ∽ △ C A B ， ∴ \frac{M N}{A B} = \frac{1}{3}$ ．

又 $∵ M N = c ， ∴ A B =$ ②____（ $m)$ ．

故小水池的最大宽度为____ $m$ ．

(1)、补全小明求解过程中①②所缺的内容；

(2)、小明求得

A B

用到的几何知识是；

(3)、小明仅利用皮尺，通过5次测量，求得

A B

．请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，并利用解直角三角形的知识求小水池的最大宽度

A B

，写出你的测量及求解过程．

要求：测量得到的长度用字母 $a ， b ， c ⋯$ 表示，角度用 $α ， β ， γ ⋯$ 表示；测量次数不超过4次（测量的几何量能求出 $A B$ ，且测量的次数最少，才能得满分）．

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17. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，E，F分别是边 $A D$ ， $A B$ 上的点，连接 $C E$ ， $E F$ ， $C F$ ．

(1)、若正方形 $A B C D$ 的边长为2，E是 $A D$ 的中点．
①如图1，当 $∠ F E C = 90 °$ 时，求证： $△ A E F ∽ △ D C E$ ；
②如图2，当 $t a n ∠ F C E = \frac{2}{3}$ 时，求 $A F$ 的长；

(2)、如图3，延长 $C F$ ， $D A$ 交于点G，当 $G E = D E ， s i n ∠ F C E = \frac{1}{3}$ 时，求证： $A E = A F$ ．

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