2023年中考数学真题分类汇编（全国版）：圆（2）

试卷更新日期：2023-07-23 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 如图，在 $⊙ O$ 中，若 $∠ A C B = 30 °$ ， $O A = 6$ ，则扇形 $O A B$ (阴影部分)的面积是（）

A、 $12 π$ B、 $6 π$ C、 $4 π$ D、 $2 π$

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2. 为增强班级凝聚力，吴老师组织开展了一次主题班会．班会上，他设计了一个如图的飞镖靶盘，靶盘由两个同心圆构成，小圆半径为 $10 c m$ ，大圆半径为 $20 c m$ ，每个扇形的圆心角为60度．如果用飞镖击中靶盘每一处是等可能的，那么小全同学任意投掷飞镖1次（击中边界或没有击中靶盘，则重投1次），投中“免一次作业”的概率是（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{8}$ C、 $\frac{1}{10}$ D、 $\frac{1}{12}$

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3. 如图，已知点 $A 、 B 、 C$ 在 $⊙ O$ 上， $C$ 为 $\overset{⌢}{A B}$ 的中点．若 $∠ B A C = 35 °$ ，则 $∠ A O B$ 等于（　　）

A、 $140 °$ B、 $120 °$ C、 $110 °$ D、 $70 °$

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4. 如图，在 $⊙ O$ 中， $O A ⊥ B C ， ∠ A D B = 30 ° ， B C = 2 \sqrt{3}$ ，则 $O C =$ （）

A、1 B、2 C、 $2 \sqrt{3}$ D、4

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5. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，点 $D$ 在斜边 $A B$ 上，以 $A D$ 为直径的半圆 $O$ 与 $B C$ 相切于点 $E$ ，与 $A C$ 相交于点 $F$ ，连接 $D E$ ．若 $A C = 8$ ， $B C = 6$ ，则 $D E$ 的长是（）

A、 $\frac{4 \sqrt{10}}{9}$ B、 $\frac{8 \sqrt{10}}{9}$ C、 $\frac{80}{27}$ D、 $\frac{8}{3}$

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二、填空题

6. 如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的外弧分别交于点A，B，C，D，连接 $A B$ ，则 $∠ B A D$ 的度数为．

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7. 如图1，我国是世界上最早制造使用水车的国家.1556年兰州人段续的第一架水车创制成功后，黄河两岸人民纷纷仿制，车水灌田，水渠纵横，沃土繁丰．而今，兰州水车博览园是百里黄河风情线上的标志性景观，是兰州“水车之都”的象征．如图2是水车舀水灌溉示意图，水车轮的辐条（圆的半径） $O A$ 长约为6米，辐条尽头装有刮板，刮板间安装有等距斜挂的长方体形状的水斗，当水流冲动水车轮刮板时，驱使水车徐徐转动，水斗依次舀满河水在点 $A$ 处离开水面，逆时针旋转 $150 °$ 上升至轮子上方 $B$ 处，斗口开始翻转向下，将水倾入木槽，由木槽导入水渠，进而灌溉，那么水斗从 $A$ 处（舀水）转动到 $B$ 处（倒水）所经过的路程是米．（结果保留 $π$ ）

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8. 若扇形的圆心角为 $4 0^{°}$ ，半径为18，则它的弧长为。

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9. 如图，四边形 $A B C D$ 内接于圆 $O$ ，若 $∠ D = 10 0^{°}$ ，则 $∠ B$ 的度数是.

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10. 用半径为 $24 c m$ ，面积为 $120 π c m^{2}$ 的扇形纸片，围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为 $c m$ ．

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11. 如图，圆锥形烟囱帽的底面半径为 $30 c m$ ，母线长为 $50 c m$ ，则烟囱帽的侧面积为 $c m^{2}$ ．（结果保留 $π$ ）

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12. 图1是 $4 \times 4$ 方格绘成的七巧板图案，每个小方格的边长为 $\sqrt{2}$ ，现将它前拼成一个“房子”造型（如图2），过左侧的三个端点作圆，并在圆内右侧部分留出矩形CDEF作为题字区域（点A，E，D，B在圆上，点C，F在AB上），形成一幅装饰画，则圆的半径为.若点A，N，M在同一直线上， $A B / / P N ， D E = \sqrt{6} E F$ ，则题字区域的面积为.

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三、作图题

13. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，以 $A B$ 为直径的 $⊙ O$ 交边 $A C$ 于点 $D$ ，连接 $B D$ ，过点 $C$ 作 $C E / / A B$ .

(1)、请用无刻度的直尺和圆规作图：过点 $B$ 作 $⊙ O$ 的切线，交 $C E$ 于点 $F$ ；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）

(2)、在（1）的条件下，求证： $B D = B F$ .

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四、综合题

14. 如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径，点C是 $\overset{⌢}{A D}$ 的中点，过点C做射线 $B D$ 的垂线，垂足为E．

(1)、求证： $C E$ 是 $⊙ O$ 切线；

(2)、若 $B E = 3 ， A B = 4$ ，求 $B C$ 的长；

(3)、在（2）的条件下，求阴影部分的面积（用含有 $π$ 的式子表示）．

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15. 如图， $△ A B C$ 是 $⊙ O$ 的内接三角形， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $A C = \sqrt{5} ， B C = 2 \sqrt{5}$ ，点 $F$ 在 $A B$ 上，连接 $C F$ 并延长，交 $⊙ O$ 于点 $D$ ，连接 $B D$ ，作 $B E ⊥ C D$ ，垂足为 $E$ ．

(1)、求证： $△ D B E ∽ △ A B C$ ；

(2)、若 $A F = 2$ ，求 $E D$ 的长．

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16. 在 $⊙ O$ 中，半径 $O C$ 垂直于弦 $A B$ ，垂足为D， $∠ A O C = 60 °$ ， E为弦 $A B$ 所对的优弧上一点．

(1)、如图①，求 $∠ A O B$ 和 $∠ C E B$ 的大小；

(2)、如图②， $C E$ 与 $A B$ 相交于点F， $E F = E B$ ，过点E作 $⊙ O$ 的切线，与 $C O$ 的延长线相交于点G，若 $O A = 3$ ，求 $E G$ 的长．

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17. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $C$ ， $F$ 是 $⊙ O$ 上的点，且 $∠ C B F = ∠ B A C$ ，连接 $A F$ ，过点 $C$ 作 $A F$ 的垂线，交 $A F$ 的延长线于点 $D$ ，交 $A B$ 的延长线于点 $E$ ，过点 $F$ 作 $F G ⊥ A B$ 于点 $G$ ，交 $A C$ 于点 $H$ ．

(1)、求证： $C E$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $t a n E = \frac{3}{4}$ ， $B E = 4$ ，求 $F H$ 的长．

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18. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $P$ 是 $⊙ O$ 外一点， $P A$ 与 $⊙ O$ 相切于点 $A$ ，点 $C$ 为 $⊙ O$ 上的一点．连接 $P C$ 、 $A C$ 、 $O C$ ，且 $P C = P A$ ．

(1)、求证： $P C$ 为 $⊙ O$ 的切线；

(2)、延长 $P C$ 与 $A B$ 的延长线交于点D，求证： $P D \cdot O C = P A \cdot O D$ ；

(3)、若 $∠ C A B = 30 ° ， O D = 8$ ，求阴影部分的面积．

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19. 如图1，AB为半圆 $O$ 的直径， $C$ 为BA延长线上一点，CD切半圆于点 $D ， B E ⊥ C D$ ，交CD延长线于点 $E$ ，交半圆于点 $F$ ，已知 $O A = \frac{3}{2} ， A C = 1$ .如图2，连结AF，P为线段AF上一点，过点 $P$ 作BC的平行线分别交CE，BE于点M，N，过点 $P$ 作 $P H ⊥ A B$ 于点 $H$ .设 $P H = x ， M N = y$ .

(1)、求CE的长和 $y$ 关于 $x$ 的函数表达式.

(2)、当 $P H < P N$ ，且长度分别等于 $P H ， P N$ ， $a$ 的三条线段组成的三角形与 $△ B C E$ 相似时，求 $a$ 的值.

(3)、延长 $P N$ 交半圆 $O$ 于点 $Q$ ，当 $N Q = \frac{15}{4} x - 3$ 时，求 $M N$ 的长.

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20. 我们可以通过中心投影的方法建立圆上的点与直线上点的对应关系，用直线上点的位置刻画圆上点的位置，如图，AB是 $⊙ O$ 的直径，直线l是 $⊙ O$ 的切线，B为切点．P，Q是圆上两点（不与点A重合，且在直径AB的同侧），分别作射线AP，AQ交直线l于点C，点D．

(1)、如图1，当 $A B = 6$ ， $\overset{⌢}{B P}$ 长为 $π$ 时，求BC的长．

(2)、如图2，当 $\frac{A Q}{A B} = \frac{3}{4}$ ， $\overset{⌢}{B P} = \overset{⌢}{P Q}$ 时，求 $\frac{B C}{C D}$ 的值．

(3)、如图3，当 $s i n ∠ B A Q = \frac{\sqrt{6}}{4}$ ， $B C = C D$ 时，连接BP，PQ，直接写出 $\frac{P Q}{B P}$ 的值．

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