2023年中考数学真题分类汇编（全国版）：四边形（3）

试卷更新日期：2023-07-23 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 面积为9的正方形，其边长等于（　　）

A、9的平方根 B、9的算术平方根 C、9的立方根 D、5的算术平方根

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2. 若一个菱形的两条对角线长分别是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 10 x + m = 0$ 的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{14}$ D、 $2 \sqrt{14}$

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3. 如图， $▱ A B C D$ 的对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ， $∠ A D C$ 的平分线与边 $A B$ 相交于点 $P$ ， $E$ 是 $P D$ 中点，若 $A D = 4$ ， $C D = 6$ ，则 $E O$ 的长为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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4. 如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中．如图2是八角形空窗的示意图，它的一个外角 $∠ 1 =$ （）

A、 $45 °$ B、 $60 °$ C、 $110 °$ D、 $135 °$

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5. 如图，边长为 $3$ 的正方形 $O B C D$ 两边与坐标轴正半轴重合，点 $C$ 的坐标是（）

A、 $(3 ， - 3)$ B、 $(- 3 ， 3)$ C、 $(3 ， 3)$ D、 $(- 3 ， - 3)$

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6. 如图，在菱形ABCD中，AB=1，∠DAB=60°，则AC的长为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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7. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，点 $E ， F$ 分别是 $A B ， B C$ 上的动点，且 $A F ⊥ D E$ ，垂足为 $G$ ，将 $△ A B F$ 沿 $A F$ 翻折，得到 $△ A M F ， A M$ 交 $D E$ 于点 $P$ ，对角线 $B D$ 交 $A F$ 于点 $H$ ，连接 $H M ， C M ， D M ， B M$ ，下列结论正确的是：① $A F = D E$ ；② $B M ∥ D E$ ；③若 $C M ⊥ F M$ ，则四边形 $B H M F$ 是菱形；④当点 $E$ 运动到 $A B$ 的中点， $t a n ∠ B H F = 2 \sqrt{2}$ ；⑤ $E P \cdot D H = 2 A G \cdot B H$ ．（）

A、①②③④⑤ B、①②③⑤ C、①②③ D、①②⑤

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二、填空题

8. 如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是个．

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9. 如图，把两根钢条OA，OB的一个端点连在一起，点C，D分别是OA，OB的中点.若CD=4cm，则该工件内槽宽AB的长为cm.

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10. 如图，小宇将一张平行四边形纸片折叠，使点 $A$ 落在长边 $C D$ 上的点 $A$ 处，并得到折痕 $D E$ ，小宇测得长边 $C D = 8$ ，则四边形 $A^{'} E B C$ 的周长为．

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11. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点O，E为 $B C$ 上一点， $C E = 7$ ， F为 $D E$ 的中点，若 $△ C E F$ 的周长为32，则 $O F$ 的长为．

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12. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $A B = \sqrt{3} + 1 ， B C = 2 ， A H ⊥ C D$ ，垂足为 $H ， A H = \sqrt{3}$ ．以点 $A$ 为圆心， $A H$ 长为半径画弧，与 $A B ， A C ， A D$ 分别交于点 $E ， F ， G$ ．若用扇形 $A E F$ 围成一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为 $r_{1}$ ；用扇形 $A H G$ 围成另一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为 $r_{2}$ ，则 $r_{1} - r_{2} =$ ．（结果保留根号）

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13. 如果一个多边形每一个外角都是 $60 °$ ，那么这个多边形的边数为．

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14. 如图，点A是 $⊙ O$ 外一点，AB，AC分别与 $⊙ O$ 相切于点B，C，点D在 $\overset{⌢}{B D C}$ 上，已知 $∠ A = 50 °$ ，则 $∠ D$ 的度数是。

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15. 如图， $▱ A B C O$ 的顶点 $O 、 A 、 C$ 的坐标分别是 $(0 ， 0) 、 (3 ， 0) 、 (1 ， 2)$ ．则顶点 $B$ 的坐标是．

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16. 如图， $E$ ， $F$ 是正方形 $A B C D$ 的边 $A B$ 的三等分点， $P$ 是对角线 $A C$ 上的动点，当 $P E + P F$ 取得最小值时， $\frac{A P}{P C}$ 的值是．

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17. 若七边形的内角中有一个角为 $100 °$ ，则其余六个内角之和为．

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18. 如图，分别以a，b，m，n为边长作正方形，已知m>n且满足am-bn=2．an+bm=4．

(1)、若a=3，b=4，则图1阴影部分的面积是；

(2)、若图1阴影部分的面积为3．图2四边形ABCD的面积为5，则图2阴影部分的面积是。

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19. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $A B = 6$ ， $B C = 8$ ， $∠ A B C = 120 °$ ，点 $E$ 是 $A D$ 上一动点，将 $△ A B E$ 沿 $B E$ 折叠得到 $△ A^{^{'}} B E$ ，当点 $A^{'}$ 恰好落在 $E C$ 上时， $D E$ 的长为．

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三、解答题

20. 莲花湖湿地公园是当地人民喜爱的休闲景区之一，里面的秋千深受孩子们喜爱．如图所示，秋千链子的长度为 $3 m$ ，当摆角 $∠ B O C$ 恰为 $26 °$ 时，座板离地面的高度 $B M$ 为 $0.9 m$ ，当摆动至最高位置时，摆角 $∠ A O C$ 为 $50 °$ ，求座板距地面的最大高度为多少 $m$ ？（结果精确到 $0.1 m$ ；参考数据： $s i n 26 ° \approx 0.44$ ， $c o s 26 ° \approx 0.9$ ， $t a n 26 ° \approx 0.49$ ， $s i n 50 ° \approx 0.77$ ， $c o s 50 ° \approx 0.64$ ， $t a n 50 ° \approx 1.2$ ）

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21. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，点 $E$ 、 $F$ 分别在边 $A D$ 和 $B C$ 上，且 $B F = D E$ ．求证： $A F = C E$ ．

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四、综合题

22. 为了美化环境，提高民众的生活质量，市政府在三角形花园 $A B C$ 边上修建一个四边形人工湖泊 $A B D E$ ，并沿湖泊修建了人行步道．如图，点 $C$ 在点 $A$ 的正东方向170米处，点 $E$ 在点 $A$ 的正北方向，点 $B 、 D$ 都在点 $C$ 的正北方向， $B D$ 长为100米，点 $B$ 在点 $A$ 的北偏东 $30 °$ 方向，点 $D$ 在点 $E$ 的北偏东 $58 °$ 方向．

(1)、求步道 $D E$ 的长度．

(2)、点 $D$ 处有一个小商店，某人从点 $A$ 出发沿人行步道去商店购物，可以经点 $B$ 到达点 $D$ ，也可以经点 $E$ 到达点 $D$ ，请通过计算说明他走哪条路较近．结果精确到个位）（参考数据： $s i n 58 ° \approx 0.85 ， c o s 58 ° \approx 0.53 ， t a n 58 ° \approx 1.60 ， \sqrt{3} \approx 1.73$ ）

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23. 定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角．

(1)、如图1，在四边形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C ， ∠ A = 90 °$ ，对角线 $B D$ 平分 $∠ A D C$ ．求证：四边形 $A B C D$ 为邻等四边形．

(2)、如图2，在6×5的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形 $A B C D$ 是邻等四边形，请画出所有符合条件的格点D．

(3)、如图3，四边形 $A B C D$ 是邻等四边形， $∠ D A B = ∠ A B C = 90 °$ ， $∠ B C D$ 为邻等角，连接 $A C$ ，过B作 $B E ∥ A C$ 交 $D A$ 的延长线于点E．若 $A C = 8 ， D E = 10$ ，求四边形 $E B C D$ 的周长．

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24. 超速容易造成交通事故．高速公路管理部门在某隧道内的 $C 、 E$ 两处安装了测速仪，该段隧道的截面示意图如图所示，图中所有点都在同一平面内，且 $A 、 D 、 B 、 F$ 在同一直线上．点 $C$ 、点 $E$ 到 $A B$ 的距离分别为 $C D 、 E F$ ，且 $C D = E F = 7 m ， C E = 895 m$ ，在 $C$ 处测得 $A$ 点的俯角为 $30 °$ ，在 $E$ 处测得 $B$ 点的俯角为 $45 °$ ，小型汽车从点 $A$ 行驶到点 $B$ 所用时间为 $45 s$ ．

(1)、求 $A ， B$ 两点之间的距离（结果精确到 $1 m$ ）；

(2)、若该隧道限速80千米/小时，判断小型汽车从点 $A$ 行驶到点 $B$ 是否超速？并通过计算说明理由．（参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.4 ， \sqrt{3} \approx 1.7$ ）

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25. 如图，四边形 $A B C D$ 是边长为 $4$ 的菱形， $∠ A = 60 °$ ，点 $Q$ 为 $C D$ 的中点， $P$ 为线段 $A B$ 上的动点，现将四边形 $P B C Q$ 沿 $P Q$ 翻折得到四边形 $P B^{'} C^{'} Q$ ．

(1)、当 $∠ Q P B = 45 °$ 时，求四边形 $B B^{'} C^{'} C$ 的面积；

(2)、当点 $P$ 在线段 $A B$ 上移动时，设 $B P = x$ ，四边形 $B B^{'} C^{'} C$ 的面积为 $S$ ，求 $S$ 关于 $x$ 的函数表达式．

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26. 如图，在平面直角坐标系中，四边形 $O A B C$ 是矩形，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象分别与 $A B ， B C$ 交于点 $D (4 ， 1)$ 和点 $E$ ，且点 $D$ 为 $A B$ 的中点．

(1)、求反比例函数的表达式和点 $E$ 的坐标；

(2)、若一次函数 $y = x + m$ 与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象相交于点 $M$ ，当点 $M$ 在反比例函数图象上 $D ， E$ 之间的部分时（点 $M$ 可与点 $D ， E$ 重合），直接写出 $m$ 的取值范围．

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27. 在平行四边形 $A B C D$ 中（顶点 $A ， B ， C ， D$ 按逆时针方向排列） $A B = 12 ， A D = 10$ ， ∠ $B$ 为锐角，且 $s i n B = \frac{4}{5}$ .

(1)、如图1，求 $A B$ 边上的高 $C H$ 的长.

(2)、 $P$ 是边 $A B$ 上的一动点，点 $C ， D$ 同时绕点 $P$ 按逆时针方向旋转 $9 0^{°}$ 得点 $C^{^{'}} ， D^{^{'}}$ .
①如图2，当点 $C^{^{'}}$ 落在射线 $C A$ 上时，求 $B P$ 的长.

②当 $Δ A C^{^{'}} D^{^{'}}$ 当是直角三角形时，求 $B P$ 的长.

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28.

(1)、【问题情境建构函数】
如图1，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 4 ， M$ 是 $C D$ 的中点， $A E ⊥ B M$ ，垂足为 $E$ .设 $B C = x ， A E = y$ ，试用含 $x$ 的代数式表示 $y$ .

(2)、【由数想形新知初探】
在上述表达式中， $y$ 与 $x$ 成函数关系，其图像如图2所示.若 $x$ 取任意实数，此时的函数图象是否具有对称性？若有，请说明理由，并在图2上补全函数图象.

(3)、【数形结合深度探究】
在“ $x$ 取任意实数”的条件下，对上述函数继续探究，得出以下结论：①函数值 $y$ 随 $x$ 的增大而增大；②函数值 $y$ 的取值范围是 $- 4 \sqrt{2} < y < 4 \sqrt{2}$ ；③存在一条直线与该函数图象有四个交点；④在图像上存在四点 $A 、 B 、 C 、 D$ ，使得四边形 $A 、 B 、 C 、 D$ 是平行四边形.其中正确的是.（写出所有正确结论的序号）

(4)、【抽象回归扩展总结】
若将（1）中的“AB=4”改成“ $A B = 2 k$ ”，此时 $y$ 关于 $x$ 的函数表达式是 .一般地，当 $k \neq 0 ， x$ 取任意实数时，类比一次函数、反比例函数、二次函数的研究过程，探究此类函数的相关性质（直接写出3条即可）.

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