2023年中考数学真题分类汇编（全国版）：四边形（2）

试卷更新日期：2023-07-23 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（）

A、 $A C = B D$ B、 $O A = O C$ C、 $A C ⊥ B D$ D、 $∠ A D C = ∠ B C D$

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2. 中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为 $A$ ，曲线终点为 $B$ ，过点 $A ， B$ 的两条切线相交于点 $C$ ，列车在从 $A$ 到 $B$ 行驶的过程中转角 $α$ 为 $60 °$ ．若圆曲线的半径 $O A = 1.5 k m$ ，则这段圆曲线 $\overset{⌢}{A B}$ 的长为（）．

A、 $\frac{π}{4} k m$ B、 $\frac{π}{2} k m$ C、 $\frac{3 π}{4} k m$ D、 $\frac{3 π}{8} k m$

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3. 如图，半径为 $5$ 的扇形 $A O B$ 中， $∠ A O B = 90 °$ ， $C$ 是 $\overset{⌢}{A B}$ 上一点， $C D ⊥ O A$ ， $C E ⊥ O B$ ，垂足分别为 $D$ ， $E$ ，若 $C D = C E$ ，则图中阴影部分面积为(　　)

A、 $\frac{25 π}{16}$ B、 $\frac{25 π}{8}$ C、 $\frac{25 π}{6}$ D、 $\frac{25 π}{4}$

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4. 如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架 $A B C D$ ，然后向左扭动框架，观察所得四边形的变化．下面判断错误的是（）

A、四边形 $A B C D$ 由矩形变为平行四边形 B、对角线 $B D$ 的长度减小 C、四边形 $A B C D$ 的面积不变 D、四边形 $A B C D$ 的周长不变

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5. 如图，在四边形ABCD中，BC∥AD，添加下列条件，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）

A、AB＝CD B、AB∥CD C、∠A＝∠C D、BC＝AD

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6. 如图1，正方形 $A B C D$ 的边长为4， $E$ 为 $C D$ 边的中点．动点 $P$ 从点 $A$ 出发沿 $A B \to B C$ 匀速运动，运动到点 $C$ 时停止．设点 $P$ 的运动路程为 $x$ ，线段 $P E$ 的长为 $y$ ， $y$ 与 $x$ 的函数图象如图2所示，则点 $M$ 的坐标为（）

A、 $(4 ， 2 \sqrt{3})$ B、 $(4 ， 4)$ C、 $(4 ， 2 \sqrt{5})$ D、 $(4 ， 5)$

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7. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $O$ 为对角线 $B D$ 的中点， $∠ A B D = 6 0^{°}$ .动点 $E$ 在线段 $O B$ 上，动点 $F$ 在线段 $O D$ 上，点 $E ， F$ 同时从点 $O$ 出发，分别向终点 $B ， D$ 运动，且始终保持 $O E = O F$ .点 $E$ 关于 $A D ， A B$ 的对称点为 $E_{1} ， E_{2}$ ；点 $F$ 关于 $B C ， C D$ 的对称点为 $F_{1} ， F_{2}$ .在整个过程中，四边形 $E_{1} E_{2} F_{1} F_{2}$ 形状的变化依次是（）

A、菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形 B、菱形→正方形→平行四边形→菱形→平行四边形 C、平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形 D、平行四边形→菱形→正方形→平行四边形→菱形

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二、填空题

8. 如图，在四边形ABCD中， $A D = B C$ ， $A C ⊥ B D$ 于点O.请添加一个条件：，使四边形ABCD成为菱形.

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9. 点 $E$ 是菱形 $A B C D$ 的对称中心， $∠ B = 56 °$ ，连接 $A E$ ，则 $∠ B A E$ 的度数为．

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10. 一块面积为 $5 m^{2}$ 的正方形桌布，其边长为．

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11. 边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），则图中阴影部分的面积为．

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12. 如图，在矩形 $O A B C$ 和正方形 $C D E F$ 中，点 $A$ 在 $y$ 轴正半轴上，点 $C$ ， $F$ 均在 $x$ 轴正半轴上，点 $D$ 在边 $B C$ 上， $B C = 2 C D$ ， $A B = 3 .$ 若点 $B$ ， $E$ 在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式是．

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13. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $O$ 为 $B D$ 的中点， $E F$ 过点 $O$ 且分别交 $A B ， C D$ 于点 $E ， F$ ．若 $A E = 10$ ，则 $C F$ 的长为．

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14. 如图，在菱形 $A B C D$ 中，点E，F，G，H分别是 $A B$ ， $B C$ ， $C D$ ， $A D$ 上的点，且 $B E = B F = C G = A H$ ，若菱形的面积等于24， $B D = 8$ ，则 $E F + G H =$ ．

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15. 如图，将 $45 °$ 的∠AOB按图摆放在一把刻度尺上，顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数为2cm，若按相同的方式将 $37 °$ 的∠AOC放置在该尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为cm
（结果精确到0.1cm，参考数据： $s i n 37 ° \approx 0.60$ ， $c o s 37 ° \approx 0.80$ ， $t a n 37 ° \approx 0.75$ ）

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16. 矩形纸片ABCD中， $A B = 3$ ， $B C = 5$ ，点M在AD边所在的直线上，且 $D M = 1$ ，将矩形纸片ABCD折叠，使点B与点M重合，折痕与AD，BC分别交于点E，F，则线段EF的长度为.

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17. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 3$ ， $B C = 4 .$ 点 $E$ 在边 $A D$ 上，且 $E D = 3$ ， $M$ 、 $N$ 分别是边 $A B$ 、 $B C$ 上的动点，且 $B M = B N$ ， $P$ 是线段 $C E$ 上的动点，连接 $P M$ ， $P N .$ 若 $P M + P N = 4 .$ 则线段 $P C$ 的长为．

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三、解答题

18. 东昌湖西岸的明珠大剧院，隔湖与远处的角楼、城门楼、龙堤、南关桥等景观遥相呼应．如图所示，城门楼B在角楼A的正东方向 $520 m$ 处，南关桥C在城门楼B的正南方向 $1200 m$ 处．在明珠大剧院P测得角楼A在北偏东 $68.2 °$ 方向，南关桥C在南偏东 $56.31 °$ 方向（点A，B，C，P四点在同一平面内）．求明珠大剧院到龙堤 $B C$ 的距离（结果精确到 $1 m$ ）．
（参考数据： $s i n 68.2 ° \approx 0.928$ ， $c o s 68.2 ° \approx 0.371$ ， $t a n 68.2 ° \approx 2.50$ ， $s i n 56.31 ° \approx 0.832$ ， $c o s 56.31 ° \approx 0.555$ ， $t a n 56.31 ° \approx 1.50$ ）

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19. 某中学依山而建，校门A处有一坡角 $α = 30 °$ 的斜坡 $A B$ ，长度为30米，在坡顶B处测得教学楼 $C F$ 的楼顶C的仰角 $∠ C B F = 45 °$ ，离B点4米远的E处有一个花台，在E处测得C的仰角 $∠ C E F = 60 °$ ， $C F$ 的延长线交水平线 $A M$ 于点D，求 $D C$ 的长（结果保留根号）．

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四、作图题

20. 如图，将边长为4的等边三角形纸片沿边 $B C$ 上的高 $A D$ 剪成两个三角形，用这两个三角形拼成一个平行四边形．

(1)、画出这个平行四边形（画出一种情况即可）；

(2)、根据（1）中所画平行四边形求出两条对角线长．

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五、综合题

21. 如图，矩形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点O， $D E ∥ A C ， C E ∥ B D$ ．

(1)、求证：四边形 $O C E D$ 是菱形；

(2)、若 $B C = 3 ， D C = 2$ ，求四边形 $O C E D$ 的面积．

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22. 问题提出：如图（1）， $E$ 是菱形 $A B C D$ 边 $B C$ 上一点， $△ A E F$ 是等腰三角形， $A E = E F$ ， $∠ A E F = ∠ A B C = α (a \geq 90 °) ， A F$ 交 $C D$ 于点 $G$ ，探究 $∠ G C F$ 与 $α$ 的数量关系．

(1)、问题探究：
先将问题特殊化，如图（2），当 $α = 90 °$ 时，直接写出 $∠ G C F$ 的大小；

(2)、再探究一般情形，如图（1），求 $∠ G C F$ 与 $α$ 的数量关系．
问题拓展：

(3)、将图（1）特殊化，如图（3），当 $α = 120 °$ 时，若 $\frac{D G}{C G} = \frac{1}{2}$ ，求 $\frac{B E}{C E}$ 的值．

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23. 如图，平行四边形 $A B C D$ 的对角线 $A C ， B D$ 相交于点 $O$ ，点 $E ， F$ 在对角线 $B D$ 上，且 $B E = E F = F D$ ，连接 $A E ， E C$ ， $C F ， F A$ ．

(1)、求证：四边形 $A E C F$ 是平行四边形．

(2)、若 $△ A B E$ 的面积等于2，求 $△ C F O$ 的面积．

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24. 综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度．
如图，塔 $A B$ 前有一座高为 $D E$ 的观景台，已知 $C D = 6 m ， ∠ D C E = 30 °$ ，点E，C，A在同一条水平直线上．

某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为 $45 °$ ，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为 $27 °$ ．

(1)、求 $D E$ 的长；

(2)、设塔 $A B$ 的高度为h（单位：m）．
①用含有h的式子表示线段 $E A$ 的长（结果保留根号）；
②求塔 $A B$ 的高度（ $t a n 27 °$ 取0.5， $\sqrt{3}$ 取1.7，结果取整数）．

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25. 如图，点E、F、G、H分别是 $▱ A B C D$ 各边的中点，连接 $A F 、 C E$ 相交于点M，连接 $A G 、 C H$ 相交于点N．

(1)、求证：四边形 $A M C N$ 是平行四边形；

(2)、若 $▱ A M C N$ 的面积为4，求 $▱ A B C D$ 的面积．

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26. 如图，在平面直角坐标系中，菱形 $A O C B$ 的边 $O C$ 在x轴上， $∠ A O C = 60 °$ ， $O C$ 的长是一元二次方程 $x^{2} - 4 x - 12 = 0$ 的根，过点C作x轴的垂线，交对角线 $O B$ 于点D，直线 $A D$ 分别交x轴和y轴于点F和点E，动点M从点O以每秒1个单位长度的速度沿 $O D$ 向终点D运动，动点N从点F以每秒2个单位长度的速度沿 $F E$ 向终点E运动．两点同时出发，设运动时间为t秒．

(1)、求直线 $A D$ 的解析式．

(2)、连接 $M N$ ，求 $△ M D N$ 的面积S与运动时间t的函数关系式．

(3)、点N在运动的过程中，在坐标平面内是否存在一点Q．使得以A，C，N，Q为顶点的四边形是矩形．若存在，直接写出点Q的坐标，若不存在，说明理由．

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27.

(1)、[问题探究]
如图1，在正方形 $A B C D$ 中，对角线 $A C 、 B D$ 相交于点O．在线段 $A O$ 上任取一点P（端点除外），连接 $P D 、 P B$ ．

①求证： $P D = P B$ ；

②将线段 $D P$ 绕点P逆时针旋转，使点D落在 $B A$ 的延长线上的点Q处．当点P在线段 $A O$ 上的位置发生变化时， $∠ D P Q$ 的大小是否发生变化？请说明理由；

③探究 $A Q$ 与 $O P$ 的数量关系，并说明理由．

(2)、[迁移探究]
如图2，将正方形 $A B C D$ 换成菱形 $A B C D$ ，且 $∠ A B C = 60 °$ ，其他条件不变．试探究 $A Q$ 与 $C P$ 的数量关系，并说明理由．

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28. 在平面直角坐标系中，O为原点，菱形 $A B C D$ 的顶点 $A (\sqrt{3} ， 0) ， B (0 ， 1) ， D (2 \sqrt{3} ， 1)$ ，矩形 $E F G H$ 的顶点 $E (0 ， \frac{1}{2}) ， F (- \sqrt{3} ， \frac{1}{2}) ， H (0 ， \frac{3}{2})$ ．

(1)、填空：如图①，点C的坐标为，点G的坐标为；

(2)、将矩形 $E F G H$ 沿水平方向向右平移，得到矩形 $E^{'} F^{'} G^{'} H^{'}$ ，点E，F，G，H的对应点分别为 $E^{'}$ ， $F^{'}$ ， $G^{'}$ ， $H^{'}$ ．设 $E E^{'} = t$ ，矩形 $E^{'} F^{'} G^{'} H^{'}$ 与菱形 $A B C D$ 重叠部分的面积为S．

①如图②，当边 $E^{'} F^{'}$ 与 $A B$ 相交于点M、边 $G^{'} H^{'}$ 与 $B C$ 相交于点N，且矩形 $E^{'} F^{'} G^{'} H^{'}$ 与菱形 $A B C D$ 重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围：

②当 $\frac{2 \sqrt{3}}{3} \leq t \leq \frac{11 \sqrt{3}}{4}$ 时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．

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