2023年中考数学真题分类汇编（全国版）：三角形（10）

试卷更新日期：2023-07-23 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 《九章算术》是中国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数 $a$ ， $b$ ， $c$ 的计算公式： $a = \frac{1}{2} (m^{2} - n^{2})$ ， $b = m n$ ， $c = \frac{1}{2} (m^{2} + n^{2})$ ，其中 $m > n > 0$ ， $m$ ， $n$ 是互质的奇数．下列四组勾股数中，不能由该勾股数计算公式直接得出的是（）

A、3，4，5 B、5，12，13 C、6，8，10 D、7，24，25

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2. 第29届自贡国际恐龙灯会“辉煌新时代”主题灯组上有一幅不完整的正多边形图案，小华量得图中一边与对角线的夹角 $∠ A C B = 15 °$ ，算出这个正多边形的边数是（）

A、9 B、10 C、11 D、12

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3. 如图， $A C$ 是 $⊙ O$ 的切线， $B$ 为切点，连接 $O A ， O C$ ．若 $∠ A = 30 °$ ， $A B = 2 \sqrt{3}$ ， $B C = 3$ ，则 $O C$ 的长度是（）

A、 $3$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{13}$ D、 $6$

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4. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别在 $B C$ ， $C D$ 上，连接 $A E$ ， $A F$ ， $E F$ ， $∠ E A F = 45 °$ ．若 $∠ B A E = α$ ，则 $∠ F E C$ 一定等于（）

A、 $2 α$ B、 $90 ° - 2 α$ C、 $45 ° - α$ D、 $90 ° - α$

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5. 如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径，直线 $C D$ 与 $⊙ O$ 相切于点C，连接 $A C$ ，若 $∠ A C D = 50 °$ ，则 $∠ B A C$ 的度数为（）

A、 $30 °$ B、 $40 °$ C、 $50 °$ D、 $60 °$

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6. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C=45°，以AB为腰作等腰直角三角形BAE，顶点E恰好落在CD边上，若AD=1．则CE的长是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、2 D、1

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7. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，O为对角线 $A C$ 的中点，E为正方形内一点，连接 $B E$ ， $B E = B A$ ，连接 $C E$ 并延长，与 $∠ A B E$ 的平分线交于点F，连接 $O F$ ，若 $A B = 2$ ，则 $O F$ 的长度为（）

A、2 B、 $\sqrt{3}$ C、1 D、 $\sqrt{2}$

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二、填空题

8. 在 Rt △ABC中， ∠ACB=90°，AC=6，BC=8，D是AB的中点，则 $C D =$ .

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9. 如图，边长为2的等边 $△ A B C$ 的两个顶点 $A 、 B$ 分别在两条射线 $O M 、 O N$ 上滑动，若 $O M ⊥ O N$ ，则 $O C$ 的最大值是．

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10. 如图，在正五边形ABCDE中，连接AC，则∠BAC的度数为．

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11. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B A C = 9 0^{∘}$ ， $A B = A C$ ，点D为 $B C$ 上一点，连接 $A D$ ．过点B作 $B E ⊥ A D$ 于点E，过点C作 $C F ⊥ A D$ 交 $A D$ 的延长线于点F．若 $B E = 4$ ， $C F = 1$ ，则 $E F$ 的长度为．

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12. 如图， $⊙ O$ 是矩形 $A B C D$ 的外接圆，若 $A B = 4 ， A D = 3$ ，则图中阴影部分的面积为．（结果保留 $π$ ）

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13. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $B C = 4$ ， E为 $B C$ 的中点，连接 $A E ， D E$ ，以E为圆心， $E B$ 长为半径画弧，分别与 $A E ， D E$ 交于点M，N，则图中阴影部分的面积为．（结果保留 $π$ ）

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14. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $A D$ 是 $B C$ 边的中线，若 $A B = 5$ ， $B C = 6$ ，则 $A D$ 的长度为．

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15. 如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，∠B=∠ADB．若AB=4，则DC的长是。

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16. 如图，在 $R t △ A B C$ 纸片中， $∠ A C B = 90 °$ ， $C D$ 是 $A B$ 边上的中线，将 $△ A C D$ 沿 $C D$ 折叠，当点 $A$ 落在点 $A^{'}$ 处时，恰好 $C A^{'} ⊥ A B$ ，若 $B C = 2$ ，则 $C A^{'} =$ ．

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17. 如图，直线 $y = - \frac{1}{3} x + 2$ 与x轴，y轴分别交于A，B两点，点D是线段AB上一动点，点H是直线 $y = - \frac{4}{3} x + 2$ 上的一动点，动点 $E (m ， 0) ， F (m + 3 ， 0)$ ，连接 $B E ， D F ， H D$ ．当 $B E + D F$ 取最小值时， $3 B H + 5 D H$ 的最小值是．

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三、解答题

18. 如图，菱形 $A B C D$ 的对角线 $A C 、 B D$ 相交于点 $O ， E$ 为 $A D$ 的中点， $A C = 4$ ， $O E = 2$ .求 $O D$ 的长及 $t a n ∠ E D O$ 的值.

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四、作图题

19. 学习了平行四边形后，小虹进行了拓展性研究．她发现，如果作平行四边形一条对角线的垂直平分线，那么这个平行四边形的一组对边截垂直平分线所得的线段被垂足平分．她的解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空：
用直尺和圆规，作 $A C$ 的垂直平分线交 $D C$ 于点E，交 $A B$ 于点F，垂足为点O．（只保留作图痕迹）

已知：如图，四边形 $A B C D$ 是平行四边形， $A C$ 是对角线， $E F$ 垂直平分 $A C$ ，垂足为点O．

求证： $O E = O F$ ．

证明：∵四边形 $A B C D$ 是平行四边形，

∴ $D C ∥ A B$ ．

∴ $∠ E C O =$             ▲             ．

∵ $E F$ 垂直平分 $A C$ ，

∴            ▲             ．

又 $∠ E O C =$             ▲             ．

∴ $Δ C O E ≅ Δ A O F (A S A)$ ．

∴ $O E = O F$ ．

小虹再进一步研究发现，过平行四边形对角线 $A C$ 中点的直线与平行四边形一组对边相交形成的线段均有此特征．请你依照题意完成下面命题：

过平行四边形对角线中点的直线            ▲             ．

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五、综合题

20. 如图1，一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起， $M$ ， $N$ 分别是斜边 $D E$ ， $A B$ 的中点， $D E = 2 ， A B = 4$ ．

(1)、将 $△ C D E$ 绕顶点 $C$ 旋转一周，请直接写出点 $M$ ， $N$ 距离的最大值和最小值；

(2)、将 $△ C D E$ 绕顶点 $C$ 逆时针旋转 $120 °$ （如图 $2$ ），求 $M N$ 的长．

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21. 如图， $△ A B C$ 是边长为4的等边三角形，动点E，F分别以每秒1个单位长度的速度同时从点A出发，点E沿折线 $A \to B \to C$ 方向运动，点F沿折线 $A \to C \to B$ 方向运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为t秒，点E，F的距离为y．

(1)、请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围；

(2)、在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；

(3)、结合函数图象，写出点E，F相距3个单位长度时t的值．

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22. 为了满足市民的需求，我市在一条小河 $A B$ 两侧开辟了两条长跑锻炼线路，如图；① $A - D - C - B$ ；② $A - E - B$ ．经勘测，点B在点A的正东方，点C在点B的正北方 $10$ 千米处，点D在点C的正西方 $14$ 千米处，点D在点A的北偏东 $45 °$ 方向，点E在点A的正南方，点E在点B的南偏西 $60 °$ 方向．（参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.41 ， \sqrt{3} \approx 1.73)$

(1)、求AD的长度．（结果精确到1千米）

(2)、由于时间原因，小明决定选择一条较短线路进行锻炼，请计算说明他应该选择线路①还是线路②？

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23. 如图， $△ A B C$ 是边长为4的等边三角形，动点E，F分别以每秒1个单位长度的速度同时从点A出发，点E沿折线 $A \to B \to C$ 方向运动，点F沿折线 $A \to C \to B$ 方向运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为t秒，点E，F的距离为y．

(1)、请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围；

(2)、在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；

(3)、结合函数图象，写出点E，F相距3个单位长度时t的值．

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24. 人工海产养殖合作社安排甲、乙两组人员分别前往海面A，B养殖场捕捞海产品，经测量，A在灯塔C的南偏西 $60 °$ 方向，B在灯塔C的南偏东 $45 °$ 方向，且在A的正东方向， $A C = 3600$ 米．

(1)、求B养殖场与灯塔C的距离（结果精确到个位）；

(2)、甲组完成捕捞后，乙组还未完成捕捞，甲组决定前往B处协助捕捞，若甲组航行的平均速度为600米/每分钟，请计算说明甲组能否在9分钟内到达B处？（参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.414$ ， $\sqrt{3} \approx 1.732$ ）

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25. 如图1，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 ° ， A B = A C ， D$ 是 $A B$ 边上不与 $A ， B$ 重合的一个定点． $A O ⊥ B C$ 于点 $O$ ，交 $C D$ 于点 $E$ ． $D F$ 是由线段 $D C$ 绕点 $D$ 顺时针旋转 $90 °$ 得到的， $F D ， C A$ 的延长线相交于点 $M$ ．

(1)、求证： $△ A D E ∽ △ F M C$ ；

(2)、求 $∠ A B F$ 的度数；

(3)、若 $N$ 是 $A F$ 的中点，如图2．求证： $N D = N O$ ．

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26. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $A B = 2 \sqrt{10}$ ， $⊙ O$ 的弦 $C D ⊥ A B$ 于点 $E$ ， $C D = 6$ ．过点 $C$ 作 $⊙ O$ 的切线交 $A B$ 的延长线于点 $F$ ，连接 $B C$ ．

(1)、求证： $B C$ 平分 $∠ D C F$ ；

(2)、 $G$ 为 $\overset{⌢}{A D}$ 上一点，连接 $C G$ 交 $A B$ 于点 $H$ ，若 $C H = 3 G H$ ，求 $B H$ 的长．

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27. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ B = 60 °$ ，点 $D$ 为线段 $A B$ 上一动点，连接 $C D$ ．

(1)、如图1，若 $A C = 9$ ， $B D = \sqrt{3}$ ，求线段 $A D$ 的长．

(2)、如图2，以 $C D$ 为边在 $C D$ 上方作等边 $△ C D E$ ，点 $F$ 是 $D E$ 的中点，连接 $B F$ 并延长，交 $C D$ 的延长线于点 $G$ ．若 $∠ G = ∠ B C E$ ，求证： $G F = B F + B E$ ．

(3)、在 $C D$ 取得最小值的条件下，以 $C D$ 为边在 $C D$ 右侧作等边 $△ C D E$ ．点 $M$ 为 $C D$ 所在直线上一点，将 $△ B E M$ 沿 $B M$ 所在直线翻折至 $△ A B C$ 所在平面内得到 $△ B N M$ ．连接 $A N$ ，点 $P$ 为 $A N$ 的中点，连接 $C P$ ，当 $C P$ 取最大值时，连接 $B P$ ，将 $△ B C P$ 沿 $B C$ 所在直线翻折至 $△ A B C$ 所在平面内得到 $△ B C Q$ ，请直接写出此时 $\frac{N Q}{C P}$ 的值．

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28. 如图，在等边 $△ A B C$ 中， $A D ⊥ B C$ 于点 $D$ ， $E$ 为线段 $A D$ 上一动点（不与 $A$ ， $D$ 重合），连接 $B E$ ， $C E$ ，将 $C E$ 绕点 $C$ 顺时针旋转 $60 °$ 得到线段 $C F$ ，连接 $A F$ ．

(1)、如图1，求证： $∠ C B E = ∠ C A F$ ；

(2)、如图2，连接 $B F$ 交 $A C$ 于点 $G$ ，连接 $D G$ ， $E F$ ， $E F$ 与 $D G$ 所在直线交于点 $H$ ，求证： $E H = F H$ ；

(3)、如图3，连接 $B F$ 交 $A C$ 于点 $G$ ，连接 $D G$ ， $E G$ ，将 $△ A E G$ 沿 $A G$ 所在直线翻折至 $△ A B C$ 所在平面内，得到 $△ A P G$ ，将 $△ D E G$ 沿 $D G$ 所在直线翻折至 $△ A B C$ 所在平面内，得到 $△ D Q G$ ，连接 $P Q$ ， $Q F$ ．若 $A B = 4$ ，直接写出 $P Q + Q F$ 的最小值．

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