2023年中考数学真题分类汇编（全国版）：三角形（8）

试卷更新日期：2023-07-23 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 如图， $⊙ O$ 的圆心O与正方形的中心重合，已知 $⊙ O$ 的半径和正方形的边长都为4，则圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为（）．

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $4 + 2 \sqrt{2}$ D、 $4 - 2 \sqrt{2}$

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2. 如图，锐角三角形ABC中， $A B = A C$ ，点D，E分别在边AB，AC上，连接BE，CD．下列命题中，假命题是（）．

A、若 $C D = B E$ ，则 $∠ D C B = ∠ E B C$ B、若 $∠ D C B = ∠ E B C$ ，则 $C D = B E$ C、若 $B D = C E$ ，则 $∠ D C B = ∠ E B C$ D、若 $∠ D C B = ∠ E B C$ ，则 $B D = C E$

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3. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 10 ， B C = 6 ， A C = 8$ ，点P为线段 $A B$ 上的动点，以每秒1个单位长度的速度从点A向点B移动，到达点B时停止．过点P作 $P M ⊥ A C$ 于点M、作 $P N ⊥ B C$ 于点N，连接 $M N$ ，线段 $M N$ 的长度y与点P的运动时间t（秒）的函数关系如图所示，则函数图象最低点E的坐标为（）

A、 $(5 ， 5)$ B、 $(6 ， \frac{24}{5})$ C、 $(\frac{32}{5} ， \frac{24}{5})$ D、 $(\frac{32}{5} ， 5)$

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4. 如图2，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为边BC的中点，连结OE．若 $A C = 6 ， B D = 8$ ，则 $O E =$ （）

A、2 B、 $\frac{5}{2}$ C、3 D、4

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5. 我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形面积为25，小正方形面积为1，则 $s i n θ =$ （）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{1}{5}$

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6. 《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图， $\overset{⌢}{A B}$ 是以点O为圆心、 $O A$ 为半径的圆弧，N是 $A B$ 的中点， $M N ⊥ A B$ ． “会圆术”给出 $\overset{⌢}{A B}$ 的弧长 $l$ 的近似值计算公式： $l = A B + \frac{M N^{2}}{O A}$ ．当 $O A = 4$ ， $∠ A O B = 60 °$ 时，则 $l$ 的值为（　　）

A、 $11 - 2 \sqrt{3}$ B、 $11 - 4 \sqrt{3}$ C、 $8 - 2 \sqrt{3}$ D、 $8 - 4 \sqrt{3}$

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7. 如图5，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $y = - x - 2$ 与x轴、y轴分别交于A、B两点，C、D是半径为1的 $⊙ O$ 上两动点，且 $C D = \sqrt{2}$ ， P为弦CD的中点．当C、D两点在圆上运动时， $△ P A B$ 面积的最大值是（）

A、8 B、6 C、4 D、3

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8. 如图，边长为6的正方形 $A B C D$ 中，M为对角线 $B D$ 上的一点，连接 $A M$ 并延长交 $C D$ 于点P．若 $P M = P C$ ，则 $A M$ 的长为（　　）

A、 $3 (\sqrt{3} - 1)$ B、 $3 (3 \sqrt{3} - 2)$ C、 $6 (\sqrt{3} - 1)$ D、 $6 (3 \sqrt{3} - 2)$

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9. 如图， $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 是以点 $A$ 为直角顶点的等腰直角三角形，把 $△ A D E$ 以 $A$ 为中心顺时针旋转，点 $M$ 为射线 $B D$ 、 $C E$ 的交点．若 $A B = \sqrt{3}$ ， $A D = 1$ ．以下结论：
① $B D = C E$ ；② $B D ⊥ C E$ ；

③当点 $E$ 在 $B A$ 的延长线上时， $M C = \frac{3 - \sqrt{3}}{2}$ ；

④在旋转过程中，当线段 $M B$ 最短时， $△ M B C$ 的面积为 $\frac{1}{2}$ ．

其中正确结论有（　　）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

10. 如图， $△ A B C$ 中， $A D$ 是中线，分别以点A，点B为圆心，大于 $\frac{1}{2} A B$ 长为半径作弧，两孤交于点M，N．直线 $M N$ 交 $A B$ 于点E．连接 $C E$ 交 $A D$ 于点F．过点D作 $D G ∥ C E$ ，交 $A B$ 于点G．若 $D G = 2$ ，则 $C F$ 的长为．

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11. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $∠ D A B = 4 0^{°}$ ，连结 $A C$ ，以点 $A$ 为圆心， $A C$ 长为半径作弧，交直线 $A D$ 于点 $E$ ，连结 $C E$ ，则 $∠ A E C$ 的度数是.

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12. 如图，点C，D在线段AB上（点C在点A，D之间），分别以AD，BC为边向同侧作等边三角形ADE与等边三角形CBF，边长分别为a，b．CF与DE交于点H，延长AE，BF交于点G，AG长为c．

(1)、若四边形EHFG的周长与△CDH的周长相等，则a，b，c之间的等量关系为．

(2)、若四边形EHFG的面积与△CDH的面积相等，则a，b，c之间的等量关系为．

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13. 如图，矩形ABCD中， $A B = 4$ ， $A D = 6$ ．在边AD上取一点E，使 $B E = B C$ ，过点C作 $C F ⊥ B E$ ，垂足为点F，则BF的长为．

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14. 若三角形三个内角的比为1：2：3，则这个三角形按角分类是三角形．

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15. 如图，在等边 $△ A B C$ 中，过点C作射线 $C D ⊥ B C$ ，点M，N分别在边 $A B$ ， $B C$ 上，将 $△ A B C$ 沿 $M N$ 折叠，使点B落在射线 $C D$ 上的点 $B ′$ 处，连接 $A B^{'}$ ，已知 $A B = 2$ ．给出下列四个结论：① $C N + N B^{'}$ 为定值；②当 $B N = 2 N C$ 时，四边形 $B M B^{'} N$ 为菱形；③当点N与C重合时， $∠ A B^{'} M = 18 °$ ；④当 $A B^{'}$ 最短时， $M N = \frac{7 \sqrt{21}}{20}$ ．其中正确的结论是（填写序号）

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16. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点B的坐标为 $(- 8 ， 6)$ ，过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点C、点A，直线 $y = - 2 x - 6$ 与 $A B$ 交于点D．与y轴交于点E．动点M在线段 $B C$ 上，动点N在直线 $y = - 2 x - 6$ 上，若 $△ A M N$ 是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，则点M的坐标为

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17. 如图，以 $△ A B C$ 的边 $A B$ 、 $A C$ 为腰分别向外作等腰直角 $△ A B E$ 、 $△ A C D$ ，连结 $E D$ 、 $B D$ 、 $E C$ ，过点 $A$ 的直线 $l$ 分别交线段 $D F$ 、 $B C$ 于点 $M$ 、 $N$ ，以下说法：①当 $A B = A C = B C$ 时， $∠ A E D = 30 °$ ；② $E C = B D$ ；③若 $A B = 3$ ， $A C = 4$ ， $B C = 6$ ，则 $D E = 2 \sqrt{3}$ ；④当直线 $l ⊥ B C$ 时，点 $M$ 为线段 $D E$ 的中点．正确的有． (填序号)

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三、作图题

18. 如图，在 $2 \times 4$ 的方格纸ABCD中，每个小方格的边长为1.已知格点 $P$ ，请按要求画格点三角形（顶点均在格点上）.

(1)、在图1中画一个等腰三角形PEF，使底边长为 $\sqrt{2}$ ，点 $E$ 在BC上，点 $F$ 在AD上，再画出该三角形绕矩形ABCD的中心旋转 $18 0^{°}$ 后的图形.

(2)、在图2中画一个Rt $△ P Q R$ ，使 $∠ P = 4 5^{°}$ ，点 $Q$ 在 $B C$ 上，点 $R$ 在AD上，再画出该三角形向右平移1个単位后的图形.

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四、综合题

19. 如图，已知矩形ABCD，点 $E$ 在CB延长线上，点 $F$ 在BC延长线上，过点 $F$ 作 $F H ⊥ E F$ 交ED的延长线于点 $H$ ，连结AF交EH于点 $G ， G E = G H$ .

(1)、求证： $B E = C F$ .

(2)、当 $\frac{A B}{F H} = \frac{5}{6} ， A D = 4$ 时，求EF的长.

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20. 如图，四边形ABCD中， $A D ∥ B C$ ， $∠ A = ∠ C$ ， BD为对角线．

(1)、证明：四边形ABCD是平行四边形．

(2)、已知 $A D > A B$ ，请用无刻度的直尺和圆规作菱形BEDF，顶点E，F分别在边BC，AD上（保留作图痕迹，不要求写作法）．

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21. 如图9，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，点D为AB边上任意一点（不与点A、B重合），过点D作 $D E ∥ B C$ ， $D F ∥ A C$ ，分别交AC、BC于点E、F，连结EF．

(1)、求证：四边形ECFD是矩形；

(2)、若 $C F = 2 ， C E = 4$ ，求点C到EF的距离．

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22. 如图，一次函数 $y = k x + b$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{4}{x}$ 的图象交于点 $A (m ， 4)$ ，与x轴交于点B，与y轴交于点 $C (0 ， 3)$ ．

(1)、求m的值和一次函数的表达式；

(2)、已知P为反比例函数 $y = \frac{4}{x}$ 图象上的一点， $S_{△ O B P} = 2 S_{△ O A C}$ ，求点P的坐标．

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23. 如图，已知 $⊙ O$ 是 $R t △ A B C$ 的外接圆， $∠ A C B = 90 °$ ， D是圆上一点，E是DC延长线上一点，连结AD，AE，且 $A D = A E ， C A = C E$ ．

(1)、求证：直线AE是 $⊙ O$ 是的切线；

(2)、若 $s i n E = \frac{2}{3}$ ， $⊙ O$ 的半径为3，求AD的长．

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24. 如图，在菱形ABCD中， $A E ⊥ B C$ 于点E， $A F ⊥ C D$ 于点F，连结EF。

(1)、求证： $A E = A F$ ；

(2)、若 $∠ B = 60 °$ ，求 $∠ A E F$ 的度数。

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25. 在学习完《图形的旋转》后，刘老师带领学生开展了一次数学探究活动
【问题情境】

刘老师先引导学生回顾了华东师大版教材七年级下册第121页“探索”部分内容：

如图，将一个三角形纸板 $△ A B C$ 绕点A逆时针旋转 $θ$ 到达 $△ A B^{'} C^{'}$ 的位置，那么可以得到：

$A B = A B^{'} ， A C = A C^{'} ， B C = B^{'} C^{'}$ ； $∠ B A C = ∠ B^{'} A C^{'} ， ∠ A B C = ∠ A B^{'} C^{'} ， ∠ A C B = ∠ A C^{'} B^{'}$ （）

刘老师进一步谈到：图形的旋转蕴含于自然界的运动变化规律中，即“变”中蕴含着“不变”，这是我们解决图形旋转的关键故数学就是一门哲学．

(1)、【问题解决】
上述问题情境中“（）”处应填理由：；

(2)、如图，小王将一个半径为 $4 c m$ ，圆心角为 $60 °$ 的扇形纸板ABC绕点O逆时针旋转 $90 °$ 到达扇形纸板 $A^{'} B^{'} C^{'}$ 的位置．

①请在图中作出点O；

②如果 $B B^{'} = 6 c m$ ，则在旋转过程中，点B经过的路径长为；

(3)、【问题拓展】小李突发奇想，将与（2）中完全相同的两个扇形纸板重叠，一个固定在墙上，使得一边位于水平位置另一个在孤的中点处固定，然后放开纸板，使其摆动到竖直位置时静止此时，两个纸板重叠部分的面积是多少呢？如图所示，请你帮助小李解决这个问题．

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26. 如图，以 $A B$ 为直径的 $⊙ O$ 上有两点 $E$ 、 $F$ ， $\overset{⌢}{B E} = \overset{⌢}{E F}$ ，过点 $E$ 作直线 $C D ⊥ A F$ 交 $A F$ 的延长线于点 $D$ ，交 $A B$ 的延长线于点 $C$ ，过 $C$ 作 $C M$ 平分 $∠ A C D$ 交 $A E$ 于点 $M$ ，交 $B E$ 于点 $N$ ．

(1)、求证： $C D$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、求证： $E M = E N$ ；

(3)、如果 $N$ 是 $C M$ 的中点，且 $A B = 9 \sqrt{5}$ ，求 $E N$ 的长．

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27. 已知，AB是半径为1的 $⊙ O$ 的弦， $⊙ O$ 的另一条弦CD满足 $C D = A B$ ，且 $C D ⊥ A B$ 于点H（其中点H在圆内，且 $A H > B H ， C H > D H$ ）．

(1)、在图1中用尺规作出弦CD与点H（不写作法，保留作图痕迹）．

(2)、连结AD，猜想，当弦AB的长度发生变化时，线段AD的长度是否变化？若发生变化，说明理由：若不变，求出AD的长度，

(3)、如图2，延长AH至点F，使得 $H F = A H$ ，连结CF， $∠ H C F$ 的平分线CP交AD的延长线于点P，点M为AP的中点，连结HM，若 $P D = \frac{1}{2} A D$ ．求证： $M H ⊥ C P$ ．

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