2023年中考数学真题分类汇编（全国版）：三角形（7）

试卷更新日期：2023-07-23 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 如图，在平面直角坐标系中，点 $A$ 的坐标为 $(9 ， 0)$ ，点 $C$ 的坐标为 $(0 ， 3)$ ，以 $O A ， O C$ 为边作矩形 $O A B C$ ．动点 $E ， F$ 分别从点 $O ， B$ 同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿 $O A ， B C$ 向终点 $A ， C$ 移动．当移动时间为4秒时， $A C \cdot E F$ 的值为（）

A、 $\sqrt{10}$ B、 $9 \sqrt{10}$ C、 $15$ D、 $30$

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2. 如图，在 $△ A B C$ 中，分别以点A和点C为圆心，大于 $\frac{1}{2} A C$ 的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线 $M N$ 分别与边 $B C ， A C$ 相交于点D，E，连接 $A D$ ．若 $B D = D C ， A E = 4 ， A D = 5$ ，则 $A B$ 的长为（）

A、9 B、8 C、7 D、6

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3. 下列说法正确的是（　　）

A、三角形的一个外角等于两个内角的和 B、对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 C、在一组数据11，9，7，8，6，8，12，8中，众数和中位数都是8 D、甲乙两组各10名同学参加“安全知识竞赛”，若两组同学的平均成绩相同，甲组的方差 $S_{甲}^{2} = 0.25$ ，乙组的方差 $S_{乙}^{2} = 0.15$ ，则甲组同学的成绩比乙组同学的成绩稳定

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4. 如图，在等腰直角 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 ° ， A C = B C = 2 \sqrt{2}$ ，以点 $A$ 为圆心， $A C$ 为半径画弧，交 $A B$ 于点 $E$ ，以点 $B$ 为圆心， $B C$ 为半径画弧，交 $A B$ 于点 $F$ ，则图中阴影部分的面积是（　　）

A、 $π - 2$ B、 $2 π - 2$ C、 $2 π - 4$ D、 $4 π - 4$

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5. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 ° ， A C = 6 ， A B = 10$ ，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交 $A C ， A B$ 于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于 $\frac{1}{2} M N$ 的长为半径画弧，两弧在 $∠ C A B$ 的内部相交于点P，画射线 $A P$ 与 $B C$ 交于点D， $D E ⊥ A B$ ，垂足为E．则下列结论错误的是（）

A、 $∠ C A D = ∠ B A D$ B、 $C D = D E$ C、 $A D = 5 \sqrt{3}$ D、 $C D ： B D = 3 ： 5$

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6. 如图， $△ A B C$ 中， $A B = A C ， ∠ A = 40 °$ ，则 $∠ A C D$ 的度数为（）

A、 $70 °$ B、 $100 °$ C、 $110 °$ D、 $140 °$

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7. 如图， $A B$ 是半圆 $O$ 的直径，点 $C ， D$ 在半圆上， $\overset{⌢}{C D} = \overset{⌢}{D B}$ ，连接 $O C ， C A ， O D$ ，过点 $B$ 作 $E B ⊥ A B$ ，交 $O D$ 的延长线于点 $E$ ．设 $△ O A C$ 的面积为 $S_{1} ， △ O B E$ 的面积为 $S_{2}$ ，若 $\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{2}{3}$ ，则 $t a n ∠ A C O$ 的值为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{7}{5}$ D、 $\frac{3}{2}$

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8. 图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，图2由其主体图案中相邻两个直角三角形组合而成.作菱形CDEF，使点D，E，F分别在边OC，OB，BC上，过点 $E$ 作 $E H ⊥ A B$ 于点 $H$ .当 $A B = B C ， ∠ B O C =$ $3 0^{°} ， D E = 2$ 时，EH的长为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\frac{4}{3}$

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9. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，点E是 $C D$ 上一点，延长 $C B$ 至点F，使 $B F = D E$ ，连结 $A E ， A F ， E F$ ， $E F$ 交 $A B$ 于点K，过点A作 $A G ⊥ E F$ ，垂足为点H，交 $C F$ 于点G，连结 $H D ， H C$ ．下列四个结论：① $A H = H C$ ；② $H D = C D$ ；③ $∠ F A B = ∠ D H E$ ；④ $A K \cdot H D = \sqrt{2} H E^{2}$ ．其中正确结论的个数为（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

10. 如图，在 $△ A B C$ 中，若 $A B = A C$ ， $A D = B D$ ， $∠ C A D = 24 °$ ，则 $∠ C =$ $°$ ．

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11. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 ° ， A C = 8 ， B C = 6$ ．以点C为圆心，r为半径作圆，当所作的圆与斜边 $A B$ 所在的直线相切时，r的值为．

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12. 如图，菱形 $A B C D$ 中， $∠ D A B = 60 °$ ， $B E ⊥ A B$ ， $D F ⊥ C D$ ，垂足分别为 $B$ ， $D$ ，若 $A B = 6 c m$ ，则 $E F =$ $c m$ ．

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13. 如图， $∠ B A C = 90 ° ， A B = A C = 3 \sqrt{2}$ ．过点 $C$ 作 $C D ⊥ B C$ ，延长 $C B$ 到 $E$ ，使 $B E = \frac{1}{3} C D$ ，连接 $A E ， E D$ ．若 $E D = 2 A E$ ，则 $B E =$ ．（结果保留根号）

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14. 如图，在边长为3的正方形 $A B C D$ 的外侧，作等腰三角形 $A D E$ ， $E A = E D = \frac{5}{2}$ ．

(1)、 $△ A D E$ 的面积为；

(2)、若F为 $B E$ 的中点，连接 $A F$ 并延长，与 $C D$ 相交于点G，则 $A G$ 的长为．

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15. 我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成．如图，直角三角形的直角边长为a、b，斜边长为c，若 $b - a = 4 ， c = 20$ ，则每个直角三角形的面积为．

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16. 如图， $△ A B C$ 中， $∠ A = 90 ° ， A B = 8 ， A C = 15$ ，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交 $B A 、 B C$ 于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于 $\frac{1}{2} M N$ 的长为半径画弧，两弧交于点E，作射线 $B E$ 交 $A C$ 于点D，则线段 $A D$ 的长为．

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17. 如图，已知正方形 $A B C D$ 的边长为1，点E、F分别在边 $A D 、 B C$ 上，将正方形沿着 $E F$ 翻折，点B恰好落在 $C D$ 边上的点 $B^{'}$ 处，如果四边形 $A B F E$ 与四边形 $E F C D$ 的面积比为3∶5，那么线段 $F C$ 的长为．

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三、解答题

18. 如图， $O A = O C ， O B = O D ， ∠ A O D = ∠ C O B$ ．

求证： $A B = C D$ ．

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四、作图题

19. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，等边三角形 $A B C$ 内接于圆，且顶点A，B均在格点上．

(1)、线段 $A B$ 的长为；

(2)、若点D在圆上， $A B$ 与 $C D$ 相交于点P．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点Q，使 $△ C P Q$ 为等边三角形，并简要说明点Q的位置是如何找到的（不要求证明）．

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五、综合题

20. 如图，一次函数 $y = m x + n$ 的图象与 $y$ 轴交于点 $A$ ，与反比例函数 $y = \frac{6}{x} (x > 0)$ 的图象交于点 $B (3 ， a)$ ．

(1)、求点 $B$ 的坐标；

(2)、用 $m$ 的代数式表示 $n$ ；

(3)、当 $△ O A B$ 的面积为9时，求一次函数 $y = m x + n$ 的表达式．

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21. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C ， A D$ 为 $△ A B C$ 的角平分线．以点 $A$ 圆心， $A D$ 长为半径画弧，与 $A B ， A C$ 分别交于点 $E ， F$ ，连接 $D E ， D F$ ．

(1)、求证： $△ A D E ≌ △ A D F$ ；

(2)、若 $∠ B A C = 80 °$ ，求 $∠ B D E$ 的度数．

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22. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，点D是 $A B$ 上一点，且 $∠ B C D = \frac{1}{2} ∠ A$ ，点O在 $B C$ 上，以点O为圆心的圆经过C、D两点．

(1)、试判断直线 $A B$ 与 $⊙ O$ 的位置关系，并说明理由；

(2)、若 $s i n B = \frac{3}{5} ， ⊙ O$ 的半径为3，求 $A C$ 的长．

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23. 如图，一次函数 $y = k x + \frac{9}{4}$ （ $k$ 为常数， $k \neq 0$ ）的图象与反比例函数 $y = \frac{m}{x} (m$ 为常数， $m \neq 0)$ 的图象在第一象限交于点 $A (1 ， n)$ ，与 $x$ 轴交于点 $B (- 3 ， 0)$ ．

(1)、求一次函数和反比例函数的解析式．

(2)、点 $P$ 在 $x$ 轴上， $△ A B P$ 是以 $A B$ 为腰的等腰三角形，请直接写出点 $P$ 的坐标．

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24. 如图，一次函数图象与反比例函数图象交于点 $A (- 1 ， 6)$ ， $B (\frac{3}{a} ， a - 3)$ ，与x轴交于点C，与y轴交于点D．

(1)、求反比例函数与一次函数的解析式；

(2)、点M在x轴上，若 $S_{△ O A M} = S_{△ O A B}$ ，求点M的坐标．

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25. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $y = k x + b$ 与x轴交于点 $A (4 ， 0)$ ，与y轴交于点 $B (0 ， 2)$ ，与反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 在第四象限内的图象交于点 $C (6 ， a)$ ．

(1)、求反比例函数的表达式：

(2)、当 $k x + b > \frac{m}{x}$ 时，直接写出x的取值范围；

(3)、在双曲线 $y = \frac{m}{x}$ 上是否存在点P，使 $△ A B P$ 是以点A为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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26.

(1)、【模型建立】如图1， $△ A B C$ 和 $△ B D E$ 都是等边三角形，点 $C$ 关于 $A D$ 的对称点 $F$ 在 $B D$ 边上．
①求证： $A E = C D$ ；
②用等式写出线段 $A D$ ， $B D$ ， $D F$ 的数量关系，并说明理由．

(2)、【模型应用】
如图2， $△ A B C$ 是直角三角形， $A B = A C$ ， $C D ⊥ B D$ ，垂足为 $D$ ，点 $C$ 关于 $A D$ 的对称点 $F$ 在 $B D$ 边上．用等式写出线段 $A D$ ， $B D$ ， $D F$ 的数量关系，并说明理由．

(3)、【模型迁移】
在（2）的条件下，若 $A D = 4 \sqrt{2}$ ， $B D = 3 C D$ ，求 $c o s ∠ A F B$ 的值．

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27. 【问题情境】
在综合实践活动课上，李老师让同桌两位同学用相同的两块含 $30 °$ 的三角板开展数学探究活动，两块三角板分别记作 $△ A D B$ 和 $△ A^{'} D^{'} C ， ∠ A D B = ∠ A^{'} D^{'} C = 90 ° ， ∠ B = ∠ C = 30 °$ ，设 $A B = 2$ ．
【操作探究】
如图1，先将 $△ A D B$ 和 $△ A^{^{'}} D^{^{'}} C$ 的边 $A D$ 、 $A^{'} D^{'}$ 重合，再将 $△ A^{^{'}} D^{^{'}} C$ 绕着点A按顺时针方向旋转，旋转角为 $α (0 ° \leq α \leq 360 °)$ ，旋转过程中 $△ A D B$ 保持不动，连接 $B C$ ．

(1)、当 $α = 60 °$ 时， $B C =$ ；当 $B C = 2 \sqrt{2}$ 时， $α =$ $°$ ；

(2)、当 $α = 90 °$ 时，画出图形，并求两块三角板重叠部分图形的面积；

(3)、如图2，取 $B C$ 的中点F，将 $△ A^{^{'}} D^{^{'}} C$ 绕着点A旋转一周，点F的运动路径长为．

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28. 如图，正方形 $A B C D$ 中，点 $M$ 在边 $B C$ 上，点 $E$ 是 $A M$ 的中点，连接 $E D$ ， $E C$ ．

(1)、求证： $E D = E C$ ；

(2)、将 $B E$ 绕点 $E$ 逆时针旋转，使点 $B$ 的对应点 $B^{'}$ 落在 $A C$ 上，连接 $M B^{'}$ ．当点 $M$ 在边 $B C$ 上运动时（点 $M$ 不与 $B$ ， $C$ 重合），判断 $△ C M B^{'}$ 的形状，并说明理由．

(3)、在（2）的条件下，已知 $A B = 1$ ，当 $∠ D E B^{'} = 45 °$ 时，求 $B M$ 的长．

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