2023年中考真题分类汇编（全国版）：三角形（6）

试卷更新日期：2023-07-23 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 下列长度的各组线段能组成一个三角形的是（）

A、 $1 c m ， 2 c m ， 3 c m$ B、 $3 c m ， 8 c m ， 5 c m$ C、 $4 c m ， 5 c m ， 10 c m$ D、 $4 c m ， 5 c m ， 6 c m$

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2. 如图1，在 $R t △ A B C$ 中，动点P从A点运动到B点再到C点后停止，速度为2单位/s，其中 $B P$ 长与运动时间t（单位：s）的关系如图2，则 $A C$ 的长为（）

A、 $\frac{15 \sqrt{5}}{2}$ B、 $\sqrt{427}$ C、17 D、 $5 \sqrt{3}$

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3. 第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（ $△ D A E ， △ A B F ， △ B C G ， △ C D H$ ）和中间一个小正方形 $E F G H$ 拼成的大正方形 $A B C D$ 中， $∠ A B F > ∠ B A F$ ，连接 $B E$ ．设 $∠ B A F = α ， ∠ B E F = β$ ，若正方形 $E F G H$ 与正方形 $A B C D$ 的面积之比为 $1 ： n ， t a n α = t a n^{2} β$ ，则 $n =$ （）

A、5 B、4 C、3 D、2

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4. 如图，在 $R t △ A B C$ 中，以点 $A$ 为圆心，适当长为半径作弧，交 $A B$ 于点 $F$ ，交 $A C$ 于点 $E$ ，分别以点 $E$ ， $F$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} E F$ 长为半径作弧，两弧在 $∠ B A C$ 的内部交于点 $G$ ，作射线 $A G$ 交 $B C$ 于点 $D$ ．若 $A C = 3$ ， $B C = 4$ ，则 $C D$ 的长为（）

A、 $\frac{7}{8}$ B、1 C、 $\frac{3}{2}$ D、2

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5. 如图，在 $⊙ O$ 中，弦 $A B ， C D$ 相交于点P，若 $∠ A = 48 ° ， ∠ A P D = 80 °$ ，则 $∠ B$ 的度数为（　　）

A、 $32 °$ B、 $42 °$ C、 $48 °$ D、 $52 °$

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6. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 ° ， ∠ C = 30 °$ ，以点A为圆心，以 $A B$ 的长为半径作弧交 $A C$ 于点D，连接 $B D$ ，再分别以点B，D为圆心，大于 $\frac{1}{2} B D$ 的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线 $A P$ 交 $B C$ 于点E，连接 $D E$ ，则下列结论中不正确的是（　　）

A、 $B E = D E$ B、 $A E = C E$ C、 $C E = 2 B E$ D、 $\frac{S_{△ E D C}}{S_{△ A B C}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

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7. 下列说法错误的是（）

A、成语“水中捞月”表示的事件是不可能事件 B、一元二次方程 $x^{2} + x + 3 = 0$ 有两个相等的实数根 C、任意多边形的外角和等于 $360 °$ D、三角形三条中线的交点叫作三角形的重心

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8. 如图， $B D$ 是等边 $△ A B C$ 的边 $A C$ 上的高，以点 $D$ 为圆心， $D B$ 长为半径作弧交 $B C$ 的延长线于点 $E$ ，则 $∠ D E C =$ （）

A、 $20 °$ B、 $25 °$ C、 $30 °$ D、 $35 °$

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9. 如图，将矩形 $A B C D$ 对折，使边 $A B$ 与 $D C$ ， $B C$ 与 $A D$ 分别重合，展开后得到四边形 $E F G H$ ．若 $A B = 2$ ， $B C = 4$ ，则四边形 $E F G H$ 的面积为（）

A、2 B、4 C、5 D、6

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二、填空题

10. 如图，在平面直角坐标系中，已知点 $A (1 ， 0)$ ，点 $B (0 ， - 3)$ ，点 $C$ 在 $x$ 轴上，且点 $C$ 在点 $A$ 右方，连接 $A B$ ， $B C$ ，若 $t a n ∠ A B C = \frac{1}{3}$ ，则点 $C$ 的坐标为．

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11. 在 $△ A B C$ 中， $∠ A 、 ∠ B 、 ∠ C$ 的对边分别为a、b、c，且满足 $a^{2} + | c - 10 | + \sqrt{b - 8} = 12 a - 36$ ，则 $s i n B$ 的值为．

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12. 出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一、如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 5$ ， $A D = 12$ ，对角线 $A C$ 与 $B D$ 交于点O，点E为 $B C$ 边上的一个动点， $E F ⊥ A C$ ， $E G ⊥ B D$ ，垂足分别为点F，G，则 $E F + E G =$ ．

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13. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $A B = 10 ， ∠ B = 60 °$ ，则 $A C$ 的长为．

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14. 在某次数学探究活动中，小明将一张斜边为4的等腰直角三角形 $A B C (∠ A = 90 °)$ 硬纸片剪切成如图所示的四块（其中D，E，F分别为 $A B$ ， $A C$ ， $B C$ 的中点，G，H分别为 $D E$ ， $B F$ 的中点），小明将这四块纸片重新组合拼成四边形（相互不重叠，不留空隙），则所能拼成的四边形中周长的最小值为，最大值为．

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15. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 ° ， A C = 8 ， B C = 6$ ， D为 $A C$ 上一点，若 $B D$ 是 $∠ A B C$ 的角平分线，则 $A D =$ ．

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16. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 5 ， A D = 4$ ， M是边 $A B$ 上一动点（不含端点），将 $△ A D M$ 沿直线 $D M$ 对折，得到 $△ N D M$ ．当射线 $C N$ 交线段 $A B$ 于点P时，连接 $D P$ ，则 $△ C D P$ 的面积为； $D P$ 的最大值为．

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17. 如图， $D E$ 平分等边 $△ A B C$ 的面积，折叠 $△ B D E$ 得到 $△ F D E ， A C$ 分别与 $D F ， E F$ 相交于 $G ， H$ 两点．若 $D G = m ， E H = n$ ，用含 $m ， n$ 的式子表示 $G H$ 的长是．

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18. 如图， $∠ A C B = 45 °$ ，半径为2的 $⊙ O$ 与角的两边相切，点P是⊙O上任意一点，过点P向角的两边作垂线，垂足分别为E，F，设 $t = P E + \sqrt{2} P F$ ，则t的取值范围是．

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19. 如图，四边形 $A B C D$ 是边长为4的正方形， $△ B P C$ 是等边三角形，则阴影部分的面积为．

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三、解答题

20. 如图，BD是等边△ABC的中线，以D为圆心，DB的长为半径画弧，交BC的延长线于E，连接DE．求证：CD=CE．

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四、作图题

21. 如图，在方格纸中按要求画图，并完成填空．

⑴画出线段 $O A$ 绕点O顺时针旋转 $90 °$ 后得到的线段 $O B$ ，连接 $A B$ ；

⑵画出与 $△ A O B$ 关于直线 $O B$ 对称的图形，点A的对称点是C；

⑶填空： $∠ O C B$ 的度数为 ▲ ．

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五、综合题

22. 如图， $O A ， O B ， O C$ 都是 $⊙ O$ 的半径， $∠ A C B = 2 ∠ B A C$ ．

(1)、求证： $∠ A O B = 2 ∠ B O C$ ；

(2)、若 $A B = 4 ， B C = \sqrt{5}$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

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23. 在边长为 $1$ 的正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ 在边 $A D$ 上（不与点 $A$ ， $D$ 重合），射线 $B E$ 与射线 $C D$ 交于点 $F$ ．

(1)、若 $E D = \frac{1}{3}$ ，求 $D F$ 的长．

(2)、求证： $A E \cdot C F = 1$ ．

(3)、以点 $B$ 为圆心， $B C$ 长为半径画弧，交线段 $B E$ 于点 $G$ ．若 $E G = E D$ ，求 $E D$ 的长．

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24. 如图， $A D$ 和 $B C$ 相交于点 $O$ ， $∠ A B O = ∠ D C O = 90 °$ ， $O B = O C$ ．点 $E$ 、 $F$ 分别是 $A O$ 、 $D O$ 的中点．

(1)、求证： $O E = O F$ ；

(2)、当 $∠ A = 30 °$ 时，求证：四边形 $B E C F$ 是矩形．

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25. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $A C$ 是一条弦，D是 $\overset{⌢}{A C}$ 的中点， $D E ⊥ A B$ 于点E，交 $A C$ 于点F，交 $⊙ O$ 于点H， $D B$ 交 $A C$ 于点G．

(1)、求证： $A F = D F$ ．

(2)、若 $A F = \frac{5}{2} ， s i n ∠ A B D = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

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26. 如图，矩形 $A B C D$ 中，过对角线 $B D$ 的中点 $O$ 作 $B D$ 的垂线 $E F$ ，分别交 $A D$ ， $B C$ 于点 $E$ ， $F$ ．

(1)、证明： $△ B O F ≌ △ D O E$ ；

(2)、连接 $B E$ 、 $D F$ ，证明：四边形 $E B F D$ 是菱形．

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27. 如图， $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $D$ 是 $⊙ O$ 上的一点， $C O$ 平分 $∠ B C D$ ， $C E ⊥ A D$ ，垂足为 $E$ ， $A B$ 与 $C D$ 相交于点 $F$ ．

(1)、求证： $C E$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、当 $⊙ O$ 的半径为 $5$ ， $s i n B = \frac{3}{5}$ 时，求 $C E$ 的长．

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28. 1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题．

(1)、下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点）
当 $△ A B C$ 的三个内角均小于 $120 °$ 时，

如图1，将 $△ A P C$ 绕，点C顺时针旋转 $60 °$ 得到 $△ A^{'} P^{'} C$ ，连接 $P P^{'}$ ，

由 $P C = P^{'} C ， ∠ P C P^{'} = 60 °$ ，可知 $△ P C P^{'}$ 为三角形，故 $P P^{'} = P C$ ，又 $P^{'} A^{'} = P A$ ，故 $P A + P B + P C = P A^{'} + P B + P P^{'} \geq A^{'} B$ ，

由可知，当B，P， $P^{'}$ ， A在同一条直线上时， $P A + P B + P C$ 取最小值，如图2，最小值为 $A^{'} B$ ，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有 $∠ A P C = ∠ B P C = ∠ A P B =$ ；

已知当 $△ A B C$ 有一个内角大于或等于 $120 °$ 时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若 $∠ B A C \geq 120 °$ ，则该三角形的“费马点”为点．

(2)、如图4，在 $△ A B C$ 中，三个内角均小于 $120 °$ ，且 $A C = 3 ， B C = 4 ， ∠ A C B = 30 °$ ，已知点P为 $△ A B C$ 的“费马点”，求 $P A + P B + P C$ 的值；

(3)、如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知 $A C = 4 k m ， B C = 2 \sqrt{3} k m ， ∠ A C B = 60 °$ ．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为a元/ $k m$ ， a元/ $k m$ ， $\sqrt{2} a$ 元/ $k m$ ，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为元．（结果用含a的式子表示）

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29. 问题情境：如图1，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 17 ， B C = 30$ ， $A D$ 是 $B C$ 边上的中线．如图2，将 $△ A B C$ 的两个顶点B，C分别沿 $E F ， G H$ 折叠后均与点D重合，折痕分别交 $A B ， A C ， B C$ 于点E，G，F，H．

(1)、猜想证明：
如图2，试判断四边形 $A E D G$ 的形状，并说明理由．

(2)、问题解决；
如图3，将图2中左侧折叠的三角形展开后，重新沿 $M N$ 折叠，使得顶点B与点H重合，折痕分别交 $A B ， B C$ 于点M，N， $B M$ 的对应线段交 $D G$ 于点K，求四边形 $M K G A$ 的面积．

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30. 如图，在菱形 $A B C D$ 中，对角线 $A C ， B D$ 相交于点 $E ， ⊙ O$ 经过 $A ， D$ 两点，交对角线 $A C$ 于点 $F$ ，连接 $O F$ 交 $A D$ 于点 $G$ ，且 $A G = G D$ ．

(1)、求证： $A B$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、已知 $⊙ O$ 的半径与菱形的边长之比为 $5 ： 8$ ，求 $t a n ∠ A D B$ 的值．

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