2023年中考数学真题分类汇编（全国版）：三角形（5）

试卷更新日期：2023-07-23 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 若某三角形的三边长分别为3，4，m，则m的值可以是（）

A、1 B、5 C、7 D、9

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2. 阅读以下作图步骤：
①在 $O A$ 和 $O B$ 上分别截取 $O C ， O D$ ，使 $O C = O D$ ；②分别以 $C ， D$ 为圆心，以大于 $\frac{1}{2} C D$ 的长为半径作弧，两弧在 $∠ A O B$ 内交于点 $M$ ；③作射线 $O M$ ，连接 $C M ， D M$ ，如图所示．根据以上作图，一定可以推得的结论是（）

A、 $∠ 1 = ∠ 2$ 且 $C M = D M$ B、 $∠ 1 = ∠ 3$ 且 $C M = D M$ C、 $∠ 1 = ∠ 2$ 且 $O D = D M$ D、 $∠ 2 = ∠ 3$ 且 $O D = D M$

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3. 如图， $⊙ O$ 是 $△ A B C$ 的外接圆，弦 $B D$ 交 $A C$ 于点E， $A E = D E$ ， $B C = C E$ ，过点O作 $O F ⊥ A C$ 于点F，延长 $F O$ 交 $B E$ 于点G，若 $D E = 3$ ， $E G = 2$ ，则 $A B$ 的长为（）

A、 $4 \sqrt{3}$ B、7 C、8 D、 $4 \sqrt{5}$

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4. 如图，已知点C为圆锥母线 $S B$ 的中点， $A B$ 为底面圆的直径， $S B = 6$ ， $A B = 4$ ，一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从A点爬到C点，则蚂蚁爬行的最短路程为（）

A、5 B、 $3 \sqrt{3}$ C、 $3 \sqrt{2}$ D、 $6 \sqrt{3}$

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5. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B ∥ C D ， A D ⊥ A B$ ，以 $D$ 为圆心， $A D$ 为半径的弧恰好与 $B C$ 相切，切点为 $E$ ．若 $\frac{A B}{C D} = \frac{1}{3}$ ，则 $s i n C$ 的值是（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{7}}{4}$

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6. 如图， $O A ， O B ， O C$ 都是 $⊙ O$ 的半径， $A C ， O B$ 交于点D．若 $A D = C D = 8 ， O D = 6$ ，则 $B D$ 的长为（）．

A、5 B、4 C、3 D、2

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7. 如图，矩形 $A B C D$ 的对角线 $A C ， B D$ 相交于点 $O$ ．若 $∠ A O B = 60 °$ ，则 $\frac{A B}{B C} =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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二、填空题

8. 如图，CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，E为AC的中点．若 $A C = 8$ ， $C D = 5$ ，则DE= ．

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9. 如图，∠AOB=60^o ，点C在OB上，OC= $2 \sqrt{3}$ ， P为∠AOB内一点．根据图中尺规作图痕迹推断，点P到OA的距离为．

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10. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = 3 c m$ ， $∠ B = 60 °$ ．将 $△ A B C$ 绕点 $A$ 逆时针旋转，得到 $△ A B^{'} C^{'}$ ，若点 $B$ 的对应点 $B^{'}$ 恰好落在线段 $B C$ 上，则点 $C$ 的运动路径长是cm（结果用含 $π$ 的式子表示）．

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11. 如图， $A D$ 是 $⊙ O$ 的直径， $A B$ 是 $⊙ O$ 的弦， $B C$ 与 $⊙ O$ 相切于点 $B$ ，连接 $O B$ ，若 $∠ A B C = 65 °$ ，则 $∠ B O D$ 的大小为．

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12. 如图所示，点A、B、C是 $⊙ O$ 上不同的三点，点O在 $△ A B C$ 的内部，连接 $B O$ 、 $C O$ ，并延长线段 $B O$ 交线段 $A C$ 于点D．若 $∠ A = 60 ° ， ∠ O C D = 40 °$ ，则 $∠ O D C =$ 度．

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13. 《周礼考工记》中记载有：“……半矩谓之宣（xuān），一宣有半谓之欘（zhú）……”意思是：“……直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘……”．即：1宣 $= \frac{1}{2}$ 矩，1欘 $= 1 \frac{1}{2}$ 宣（其中，1矩 $= 90 °$ ），问题：图（1）为中国古代一种强弩图，图（2）为这种强弩图的部分组件的示意图，若 $∠ A = 1$ 矩， $∠ B = 1$ 欘，则 $∠ C =$ 度．

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14. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $∠ D = 60 °$ ．以点 $B$ 为圆心，以 $B A$ 的长为半径作弧交边 $B C$ 于点 $E$ ，连接 $A E$ ．分别以点 $A ， E$ 为圆心，以大于 $\frac{1}{2} A E$ 的长为半径作弧，两弧交于点 $P$ ，作射线 $B P$ 交 $A E$ 于点 $O$ ，交边 $A D$ 于点 $F$ ，则 $\frac{O F}{O E}$ 的值为．

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15. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ B C D = 90 °$ ，对角线 $A C ， B D$ 相交于点 $O$ ．若 $A B = A C = 5 ， B C = 6 ， ∠ A D B = 2 ∠ C B D$ ，则 $A D$ 的长为．

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16. 如图，矩形 $A B C D$ 的对角线 $A C ， B D$ 相交于点 $O$ ，点 $E ， F$ 分别是线段 $O B ， O A$ 上的点．若 $A E = B F ， A B = 5 ， A F = 1 ， B E = 3$ ，则 $B F$ 的长为．

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17. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2 ， A D = \sqrt{7}$ ，动点 $P$ 在矩形的边上沿 $B \to C \to D \to A$ 运动．当点 $P$ 不与点 $A 、 B$ 重合时，将 $△ A B P$ 沿 $A P$ 对折，得到 $△ A B^{'} P$ ，连接 $C B^{'}$ ，则在点 $P$ 的运动过程中，线段 $C B^{'}$ 的最小值为．

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三、解答题

18. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 50 °$ ， $∠ C = 20 ° .$ 过点 $A$ 作 $A E ⊥ B C$ ，垂足为 $E$ ，延长 $E A$ 至点 $D .$ 使 $A D = A C .$ 在边 $A C$ 上截取 $A F = A B$ ，连接 $D F .$ 求证： $D F = C B$ ．

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四、作图题

19. 如图是由小正方形组成的 $8 \times 6$ 网格，每个小正方形的顶点叫做格点，正方形 $A B C D$ 四个顶点都是格点， $E$ 是 $A D$ 上的格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．

(1)、在图（1）中，先将线段 $B E$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $90 °$ ，画对应线段 $B F$ ，再在 $C D$ 上画点 $G$ ，并连接 $B G$ ，使 $∠ G B E = 45 °$ ；

(2)、在图（2）中， $M$ 是 $B E$ 与网格线的交点，先画点 $M$ 关于 $B D$ 的对称点 $N$ ，再在 $B D$ 上画点 $H$ ，并连接 $M H$ ，使 $∠ B H M = ∠ M B D$ ．

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五、综合题

20. 如图，在四边形 $A B C D$ 中，点E是边 $B C$ 上一点，且 $B E = C D$ ， $∠ B = ∠ A E D = ∠ C$ ．

(1)、求证： $∠ E A D = ∠ E D A$ ；

(2)、若 $∠ C = 60 °$ ， $D E = 4$ 时，求 $△ A E D$ 的面积．

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21. 如图，在 $⊙ O$ 中， $A B$ 是直径，点 $C$ 是圆上一点．在 $A B$ 的延长线上取一点 $D$ ，连接 $C D$ ，使 $∠ B C D = ∠ A$ ．

(1)、求证：直线 $C D$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $∠ A C D = 120 °$ ， $C D = 2 \sqrt{3}$ ，求图中阴影部分的面积（结果用含 $π$ 的式子表示）．

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22. 如图所示，在 $△ A B C$ 中，点D、E分别为 $A B 、 A C$ 的中点，点H在线段 $C E$ 上，连接 $B H$ ，点G、F分别为 $B H 、 C H$ 的中点．

(1)、求证：四边形 $D E F G$ 为平行四边形

(2)、 $D G ⊥ B H ， B D = 3 ， E F = 2$ ，求线段 $B G$ 的长度．

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23. 如图，已知一次函数 $y = k x + 6$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{m}{x} (m > 0)$ 的图象交于 $A (3 ， 4)$ ， B两点，与x轴交于点C，将直线 $A B$ 沿y轴向上平移3个单位长度后与反比例函数图象交于点D，E．

(1)、求k，m的值及C点坐标；

(2)、连接 $A D$ ， $C D$ ，求 $△ A C D$ 的面积．

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24. 如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径，C为 $⊙ O$ 上一点，连接 $A C ， B C$ ，过点C作 $⊙ O$ 的切线交 $A B$ 延长线于点D， $O F ⊥ B C$ 于点E，交 $C D$ 于点F．

(1)、求证： $∠ B C D = ∠ B O E$ ；

(2)、若 $s i n ∠ C A B = \frac{3}{5}$ ， $A B = 10$ ，求 $B D$ 的长．

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25. 已知 $△ A B C$ 是等边三角形，点 $D$ 是射线 $A B$ 上的一个动点，延长 $B C$ 至点 $E$ ，使 $C E = A D$ ，连接 $D E$ 交射线 $A C$ 于点 $F$ ．

(1)、如图1，当点 $D$ 在线段 $A B$ 上时，猜测线段 $C F$ 与 $B D$ 的数量关系并说明理由；

(2)、如图2，当点 $D$ 在线段 $A B$ 的延长线上时，
①线段 $C F$ 与 $B D$ 的数量关系是否仍然成立？请说明理由；
②如图3，连接 $A E$ ．设 $A B = 4$ ，若 $∠ A E B = ∠ D E B$ ，求四边形 $B D F C$ 的面积．

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26. 如图，点 $E$ 是 $△ A B C$ 的内心， $A E$ 的延长线与边 $B C$ 相交于点 $F$ ，与 $△ A B C$ 的外接圆相交于点 $D$ ．

(1)、求证： $S_{△ A B F} ： S_{△ A C F} = A B ： A C$ ；

(2)、求证： $A B ： A C = B F ： C F$ ；

(3)、求证： $A F^{2} = A B \cdot A C - B F \cdot C F$ ；

(4)、猜想：线段 $D F ， D E ， D A$ 三者之间存在的等量关系．（直接写出，不需证明．）

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27. 如图所示，四边形 $A B C D$ 是半径为R的 $⊙ O$ 的内接四边形， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $∠ A B D = 45 °$ ，直线l与三条线段 $C D$ 、 $C A$ 、 $D A$ 的延长线分别交于点E、F、G．且满足 $∠ C F E = 45 °$ ．

(1)、求证：直线 $l ⊥$ 直线 $C E$ ；

(2)、若 $A B = D G$ ；
①求证： $△ A B C ≌ △ G D E$ ；
②若 $R = 1 ， C E = \frac{3}{2}$ ，求四边形 $A B C D$ 的周长．

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28. 问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为 $△ A B C$ 和 $△ D F E$ ，其中 $∠ A C B = ∠ D E F = 90 ° ， ∠ A = ∠ D$ ．将 $△ A B C$ 和 $△ D F E$ 按图2所示方式摆放，其中点 $B$ 与点 $F$ 重合（标记为点 $B$ ）．当 $∠ A B E = ∠ A$ 时，延长 $D E$ 交 $A C$ 于点 $G$ ．试判断四边形 $B C G E$ 的形状，并说明理由．


(1)、数学思考：谈你解答老师提出的问题；

(2)、深入探究：老师将图2中的 $△ D B E$ 绕点 $B$ 逆时针方向旋转，使点 $E$ 落在 $△ A B C$ 内部，并让同学们提出新的问题．


①“善思小组”提出问题：如图3，当 $∠ A B E = ∠ B A C$ 时，过点 $A$ 作 $A M ⊥ B E$ 交 $B E$ 的延长线于点 $M ， B M$ 与 $A C$ 交于点 $N$ ．试猜想线段 $A M$ 和 $B E$ 的数量关系，并加以证明．请你解答此问题；



②“智慧小组”提出问题：如图4，当 $∠ C B E = ∠ B A C$ 时，过点 $A$ 作 $A H ⊥ D E$ 于点 $H$ ，若 $B C = 9 ， A C = 12$ ，求 $A H$ 的长．请你思考此问题，直接写出结果．



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29. 如图1，已知线段 $A B$ ， $A C$ ，线段 $A C$ 绕点 $A$ 在直线 $A B$ 上方旋转，连接 $B C$ ，以 $B C$ 为边在 $B C$ 上方作 $R t △ B D C$ ，且 $∠ D B C = 30 °$ ．

(1)、若 $∠ B D C = 90 °$ ，以 $A B$ 为边在 $A B$ 上方作 $R t △ B A E$ ，且 $∠ A E B = 90 °$ ， $∠ E B A = 30 °$ ，连接 $D E$ ，用等式表示线段 $A C$ 与 $D E$ 的数量关系是　　；

(2)、如图2，在(1)的条件下，若 $D E ⊥ A B$ ， $A B = 4$ ， $A C = 2$ ，求 $B C$ 的长；

(3)、如图3，若 $∠ B C D = 90 °$ ， $A B = 4$ ， $A C = 2$ ，当 $A D$ 的值最大时，求此时 $t a n ∠ C B A$ 的值．

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