2023年中考数学真题分类汇编（全国版）：三角形（4）

试卷更新日期：2023-07-23 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（ $\overset{⌢}{A C}$ ），点O是这段弧所在圆的圆心，B为 $\overset{⌢}{A C}$ 上一点，OB⊥AC于D. 若AC= $300 \sqrt{3}$ m，BD=150m，则 $\overset{⌢}{A C}$ 的长为（）

A、 $300 π$ m B、 $200 π$ m C、 $150 π$ m D、 $100 \sqrt{3} π$ m

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2. 如图，该几何体是由一个大圆锥截去上部的小圆锥后剩下的部分．若该几何体上、下两个圆的半径分别为1和2，原大圆锥高的剩余部分 $O O_{1}$ 为 $\sqrt{2}$ ，则其侧面展开图的面积为（）

A、 $\sqrt{3} π$ B、 $2 \sqrt{3} π$ C、 $3 \sqrt{3} π$ D、 $4 \sqrt{3} π$

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3. 已知点 $P$ 是等边 $△ A B C$ 的边 $B C$ 上的一点，若 $∠ A P C = 104 °$ ，则在以线段 $A P ， B P ， C P$ 为边的三角形中，最小内角的大小为（　　）

A、 $14 °$ B、 $16 °$ C、 $24 °$ D、 $26 °$

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4. 如图，某玩具品牌的标志由半径为 $1 c m$ 的三个等圆构成，且三个等圆 $⊙ O_{1} ， ⊙ O_{2} ， ⊙ O_{3}$ 相互经过彼此的圆心，则图中三个阴影部分的面积之和为（　　）

A、 $\frac{1}{4} π c m^{2}$ B、 $\frac{1}{3} π c m^{2}$ C、 $\frac{1}{2} π c m^{2}$ D、 $π c m^{2}$

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5. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $∠ A = 60 °$ ， $A B = 4$ ，动点M，N同时从A点出发，点M以每秒2个单位长度沿折线A-B-C向终点C运动；点N以每秒1个单位长度沿线段 $A D$ 向终点D运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动.设运动时间为x秒， $△ A M N$ 的面积为y个平方单位，则下列正确表示y与x函数关系的图象是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，点E为边 $C D$ 的中点，连接 $A E$ ，过点B作 $B F ⊥ A E$ 于点F，连接 $B D$ 交 $A E$ 于点G， $F H$ 平分 $∠ B F G$ 交 $B D$ 于点H.则下列结论中，正确的个数为（）
① $A B^{2} = B F \cdot A E$ ② $S_{△ B G F} ： S_{△ B A F} = 2 ： 3$ ③当 $A B = a$ 时， $B D^{2} - B D \cdot H D = a^{2}$

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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7. 如图，已知等腰直角 $△ A B C$ ， $∠ A C B = 90 °$ ， $A B = \sqrt{2}$ ，点C是矩形 $E C G F$ 与 $△ A B C$ 的公共顶点，且 $C E = 1$ ， $C G = 3$ ；点D是 $C B$ 延长线上一点，且 $C D = 2$ ．连接 $B G$ ， $D F$ ，在矩形 $E C G F$ 绕点C按顺时针方向旋转一周的过程中，当线段 $B G$ 达到最长和最短时，线段 $D F$ 对应的长度分别为m和n，则 $\frac{m}{n}$ 的值为（）

A、2 B、3 C、 $\sqrt{10}$ D、 $\sqrt{13}$

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二、填空题

8. 如图，钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其数学道理是．

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9. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，分别以点B和点C为圆心，大于 $\frac{1}{2} B C$ 的长为半径作弧，两孤交于点D，作直线 $A D$ 交 $B C$ 于点E．若 $∠ B A C = 110 °$ ，则 $∠ B A E$ 的大小为度．

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10. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 ° ， B C < A C$ ．点 $D$ ， $E$ 分别在边 $A B$ ， $B C$ 上，连接 $D E$ ，将 $△ B D E$ 沿 $D E$ 折叠，点 $B$ 的对应点为点 $B^{'}$ ．若点 $B^{'}$ 刚好落在边 $A C$ 上， $∠ C B^{'} E = 30 ° ， C E = 3$ ，则 $B C$ 的长为．

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11. 如图，在Rt $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 9 0^{°} ， A C = 3 ， B C = 1$ ，将 $△ A B C$ 绕点 $A$ 逆时针方向旋转 $9 0^{°}$ ，得到 $△ A B^{^{'}} C^{^{'}}$ .连接 $B B^{^{'}}$ ，交AC于点 $D$ ，则 $\frac{A D}{D C}$ 的值为.

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12. 如图， $R t △ O A B$ 与 $R t △ O B C$ 位于平面直角坐标系中， $∠ A O B = ∠ B O C = 30 °$ ， $B A ⊥ O A$ ， $C B ⊥ O B$ ，若 $A B = \sqrt{3}$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 恰好经过点C，则 $k =$ ．

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13. 如图，正八边形的边长为 $2$ ，对角线 $A B$ 、 $C D$ 相交于点 $E .$ 则线段 $B E$ 的长为．

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14. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $t a n B = \frac{3}{4}$ ，点D为 $B C$ 上一动点，连接 $A D$ ，将 $△ A B D$ 沿 $A D$ 翻折得到 $△ A D E$ ， $D E$ 交 $A C$ 于点G， $G E < D G$ ，且 $A G ： C G = 3 ： 1$ ，则 $\frac{S_{三角形 A G E}}{S_{三角形 A D G}} =$ ．

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15. 如图， $⊙ O$ 的半径为2 $c m$ ， $A B$ 为 $⊙ O$ 的弦，点C为 $\overset{⌢}{A B}$ 上的一点，将 $\overset{⌢}{A B}$ 沿弦 $A B$ 翻折，使点C与圆心O重合，则阴影部分的面积为.（结果保留π与根号）

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16. 已知等腰 $△ A B C$ ， $∠ A = 120 °$ ， $A B = 2$ .现将 $△ A B C$ 以点B为旋转中心旋转45°，得到 $△ A^{'} B C^{'}$ ，延长 $C^{'} A^{'}$ 交直线 $B C$ 于点D.则 $A^{'} D$ 的长度为.

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17. 如图， $△ A B C$ 是边长为6的等边三角形，点E为高 $B D$ 上的动点.连接 $C E$ ，将 $C E$ 绕点C顺时针旋转60°得到 $C F$ .连接 $A F$ ， $E F$ ， $D F$ ，则 $△ C D F$ 周长的最小值是.

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三、解答题

18. 2023年5月30日，神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功，3名航天员顺利进驻中国空间站，如图中的照片展示了中国空间站上机械臂的一种工作状态，当两臂 $A C = B C = 10 m$ ，两臂夹角 $∠ A C B = 100 °$ 时，求A，B两点间的距离．(结果精确到 $0.1 m$ ，参考数据 $s i n 50 ° \approx 0.766$ ， $c o s 50 ° \approx 0.643$ ， $t a n 50 ° \approx 1.192$ )

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四、作图题

19. 如图，四边形 $A B C D$ 是平行四边形．

(1)、尺规作图；作对角线 $A C$ 的垂直平分线 $M N$ （保留作图痕迹）；

(2)、若直线 $M N$ 分别交 $A D$ ， $B C$ 于 $E$ ， $F$ 两点，求证：四边形 $A F C E$ 是菱形

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五、综合题

20. 如图，一次函数 $y_{1} = k x + b (k \neq 0)$ 与函数为 $y_{2} = \frac{m}{x} (x > 0)$ 的图象交于 $A (4 ， 1) ， B (\frac{1}{2} ， a)$ 两点．

(1)、求这两个函数的解析式；

(2)、根据图象，直接写出满足 $y_{1} - y_{2} > 0$ 时x的取值范围；

(3)、点P在线段 $A B$ 上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数 $y_{2}$ 的图象于点Q，若 $△ P O Q$ 面积为3，求点P的坐标．

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21. 如图，在单位长度为1的网格中，点O，A，B均在格点上， $O A = 3$ ， $A B = 2$ ，以O为圆心， $O A$ 为半径画圆，请按下列步骤完成作图，并回答问题：

①过点A作切线 $A C$ ，且 $A C = 4$ （点C在A的上方）；

②连接 $O C$ ，交 $⊙ O$ 于点D；

③连接 $B D$ ，与 $A C$ 交于点E．

(1)、求证： $B D$ 为 $⊙ O$ 的切线；

(2)、求 $A E$ 的长度．

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22. 如图， $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ， $∠ B A C = 45 °$ ，过点 $B$ 作 $B C$ 的垂线，交 $⊙ O$ 于点 $D$ ，并与 $C A$ 的延长线交于点 $E$ ，作 $B F ⊥ A C$ ，垂足为 $M$ ，交 $⊙ O$ 于点 $F$ ．

(1)、求证： $B D = B C$ ；

(2)、若 $⊙ O$ 的半径 $r = 3$ ， $B E = 6$ ，求线段 $B F$ 的长．

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23. 如图1，点P是线段AB上与点A，点B不重合的任意一点，在AB的同侧分别以A，P，B为顶点作 ∠1=∠2=∠3，其中∠1与∠3的一边分别是射线AB和射线BA，∠2的两边不在直线AB上，我们规定这三个角互为等联角，点P为等联点，线段AB为等联线．

(1)、如图2，在5×3个方格的纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为1，AB为端点在格点的已知线段．请用三种不同连接格点的方法，作出以线段AB为等联线、某格点P为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹；

(2)、如图3，在Rt△APC中，∠A=90°， $A C > A P$ ，延长AP至点B，使AB=AC，作∠A的等联角∠CPD和∠PBD．将△APC沿PC折叠，使点A落在点M处，得到△MPC，再延长PM交BD的延长线于E，连接CE并延长交PD的延长线于F，连接BF．
①确定△PCF的形状，并说明理由；

②若AP：PB=1：2，BF= $\sqrt{2}$ k，求等联线AB和线段PE的长（用含k的式子表示）．

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24. 如图，点A，B，C在 $⊙ O$ 上运动，满足 $A B^{2} = B C^{2} + A C^{2}$ ，延长 $A C$ 至点D，使得 $∠ D B C = ∠ C A B$ ，点E是弦 $A C$ 上一动点（不与点A，C重合），过点E作弦 $A B$ 的垂线，交 $A B$ 于点F，交 $B C$ 的延长线于点N，交 $⊙ O$ 于点M（点M在劣弧 $\overset{⌢}{A C}$ 上）．

(1)、 $B D$ 是 $⊙ O$ 的切线吗？请作出你的判断并给出证明；

(2)、记 $△ B D C ， △ A B C ， △ A D B$ 的面积分别为 $S_{1} ， S_{2} ， S$ ，若 $S_{1} \cdot S = {(S_{2})}^{2}$ ，求 ${(t a n D)}^{2}$ 的值；

(3)、若 $⊙ O$ 的半径为1，设 $F M = x$ ， $F E \cdot F N \cdot \sqrt{\frac{1}{B C \cdot B N} + \frac{1}{A E \cdot A C}} = y$ ，试求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．

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25. 如图，在正方形 $A B C D$ 中， $A B = 4 c m$ ，点 $O$ 是对角线 $A C$ 的中点，动点 $P$ ， $Q$ 分别从点 $A$ ， $B$ 同时出发，点 $P$ 以 $1 c m / s$ 的速度沿边 $A B$ 向终点 $B$ 匀速运动，点 $Q$ 以 $2 c m / s$ 的速度沿折线 $B C - C D$ 向终点 $D$ 匀速运动．连接 $P O$ 并延长交边 $C D$ 于点 $M$ ，连接 $Q O$ 并延长交折线 $D A - A B$ 于点 $N$ ，连接 $P Q$ ， $Q M$ ， $M N$ ， $N P$ ，得到四边形 $P Q M N$ ．设点 $P$ 的运动时间为 $x$ （ $s$ ）（ $0 < x < 4$ ），四边形 $P Q M N$ 的面积为 $y$ （ $c m^{2}$ ）
　　

(1)、 $B P$ 的长为 $c m$ ， $C M$ 的长为 $c m$ ．（用含x的代数式表示）

(2)、求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式，并写出自变量 $x$ 的取值范围．

(3)、当四边形 $P Q M N$ 是轴对称图形时，直接写出 $x$ 的值．

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26. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点 $O$ ，点P，Q分别是边BC，线段OD上的点，连接AP，QP，AP与OB相交于点 $E$ .

(1)、如图1，连接QA.当 $Q A = Q P$ 时，试判断点 $Q$ 是否在线段PC的垂直平分线上，并说明理由；

(2)、如图2， $∠ A P B = 9 0^{°}$ ，且 $∠ B A P = ∠ A D B$ ，
①求证： $A E = 2 E P$ ；

②当 $O Q = O E$ 时，设 $E P = a$ ，求PQ的长（用含a的代数式表示）.

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27. 综合运用
如图1，在平面直角坐标系中，正方形 $O A B C$ 的顶点A在 $x$ 轴的正半轴上，如图2，将正方形 $O A B C$ 绕点 $O$ 逆时针旋转，旋转角为 $α (0 ° < α < 45 °)$ ， $A B$ 交直线 $y = x$ 于点 $E$ ， $B C$ 交 $y$ 轴于点 $F$ ．

(1)、当旋转角 $∠ C O F$ 为多少度时， $O E = O F$ ；（直接写出结果，不要求写解答过程）

(2)、若点 $A (4 ， 3)$ ，求 $F C$ 的长；

(3)、如图3，对角线 $A C$ 交 $y$ 轴于点 $M$ ，交直线 $y = x$ 于点 $N$ ，连接 $F N$ ，将 $△ O F N$ 与 $△ O C F$ 的面积分别记为 $S_{1}$ 与 $S_{2}$ ，设 $S = S_{1} - S_{2}$ ， $A N = n$ ，求 $S$ 关于 $n$ 的函数表达式．

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28. 综合与实践
数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径.通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地.

(1)、发现问题：如图1，在 $△ A B C$ 和 $△ A E F$ 中， $A B = A C$ ， $A E = A F$ ， $∠ B A C = ∠ E A F = 30 °$ ，连接BE，CF，延长BE交CF于点D.则BE与CF的数量关系：， $∠ B D C =$ °；

(2)、类比探究：如图2，在 $△ A B C$ 和 $△ A E F$ 中， $A B = A C$ ， $A E = A F$ ， $∠ B A C = ∠ E A F = 120 °$ ，连接BE，CF，延长BE，FC交于点D.请猜想BE与CF的数量关系及 $∠ B D C$ 的度数，并说明理由；

(3)、拓展延伸：如图3， $△ A B C$ 和 $△ A E F$ 均为等腰直角三角形， $∠ B A C = ∠ E A F = 90 °$ ，连接BE，CF，且点B，E，F在一条直线上，过点A作 $A M ⊥ B F$ ，垂足为点M.则BF，CF，AM之间的数量关系：；

(4)、实践应用：正方形ABCD中， $A B = 2$ ，若平面内存在点P满足 $∠ B P D = 90 °$ ， $P D = 1$ ，则 $S_{△ A B P} =$ .

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