2023年中考数学真题分类汇编（全国版）：三角形（3）

试卷更新日期：2023-07-23 类型：二轮复习

进入出卷网下载

一、选择题

1. 如图，在 $3 \times 3$ 的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中的圆弧为格点 $△ A B C$ 外接圆的一部分，小正方形边长为1，图中阴影部分的面积为（）

A、 $\frac{5}{2} π - \frac{7}{4}$ B、 $\frac{5}{2} π - \frac{7}{2}$ C、 $\frac{5}{4} π - \frac{7}{4}$ D、 $\frac{5}{4} π - \frac{7}{2}$

查看试题解析
2. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 ° ， A B = 3 ， B C = 4$ ，点 $D$ 在边 $A C$ 上，且 $B D$ 平分 $△ A B C$ 的周长，则 $B D$ 的长是（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{6}$ C、 $\frac{6 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{3 \sqrt{6}}{4}$

查看试题解析
3. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A B = 10$ ， $B C = 6$ ．点F是 $A B$ 中点，连接 $C F$ ，把线段 $C F$ 沿射线 $B C$ 方向平移到 $D E$ ，点D在 $A C$ 上．则线段 $C F$ 在平移过程中扫过区域形成的四边形 $C F D E$ 的周长和面积分别是（）

A、16，6 B、18，18 C、16，12 D、12，16

查看试题解析
4. 如图，把一个边长为5的菱形 $A B C D$ 沿着直线 $D E$ 折叠，使点C与 $A B$ 延长线上的点Q重合． $D E$ 交 $B C$ 于点F，交 $A B$ 延长线于点E． $D Q$ 交 $B C$ 于点P， $D M ⊥ A B$ 于点M， $A M = 4$ ，则下列结论，① $D Q = E Q$ ， ② $B Q = 3$ ， ③ $B P = \frac{15}{8}$ ， ④ $B D ∥ F Q$ ．正确的是（）

A、①②③ B、②④ C、①③④ D、①②③④

查看试题解析
5. 如图， $△ A B C$ 是等腰三角形， $A B$ 过原点 $O$ ，底边 $B C ∥ x$ 轴，双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 过 $A ， B$ 两点，过点 $C$ 作 $C D ∥ y$ 轴交双曲线于点 $D$ ，若 $S_{△ B C D} = 12$ ，则 $k$ 的值是（）

A、 $- 6$ B、 $- 12$ C、 $- \frac{9}{2}$ D、 $- 9$

查看试题解析
6. 如图，在平面直角坐标中，矩形 $A B C D$ 的边 $A D = 5 ， O A ： O D = 1 ： 4$ ，将矩形 $A B C D$ 沿直线 $O E$ 折叠到如图所示的位置，线段 $O D_{1}$ 恰好经过点 $B$ ，点 $C$ 落在 $y$ 轴的点 $C_{1}$ 位置，点 $E$ 的坐标是（）

A、 $(1 ， 2)$ B、 $(- 1 ， 2)$ C、 $(\sqrt{5} - 1 ， 2)$ D、 $(1 - \sqrt{5} ， 2)$

查看试题解析
7. 如图1，点P从等边三角形ABC的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B．设点P运动的路程为x， $\frac{P B}{P C} = y$ ，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则等边三角形ABC的边长为（）

A、6 B、3 C、 $4 \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{3}$

查看试题解析
8. 如图， $A B$ ， $A C$ 是 $⊙ O$ 的弦， $O B$ ， $O C$ 是 $⊙ O$ 的半径，点 $P$ 为 $O B$ 上任意一点（点 $P$ 不与点 $B$ 重合），连接 $C P$ ．若 $∠ B A C = 70 °$ ，则 $∠ B P C$ 的度数可能是（）

A、 $70 °$ B、 $105 °$ C、 $125 °$ D、 $155 °$

查看试题解析
9. 下图源于我国汉代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.若小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为 $α$ ，则 $c o s α$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

查看试题解析

二、填空题

10. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，若反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象经过点 $A (- 1 ， - 2)$ 和点 $B (2 ， m)$ ，则 $△ A O B$ 的面积为．

查看试题解析
11. 如图， $△ B A C ， △ D E B$ 和 $△ A E F$ 都是等腰直角三角形， $∠ B A C = ∠ D E B = ∠ A E F = 90 °$ ，点 $E$ 在 $△ A B C$ 内， $B E > A E$ ，连接 $D F$ 交 $A E$ 于点 $G ， D E$ 交 $A B$ 于点 $H$ ，连接 $C F$ ．给出下面四个结论：① $∠ D B A = ∠ E B C$ ；② $∠ B H E = ∠ E G F$ ；③ $A B = D F$ ；④ $A D = C F$ ．其中所有正确结论的序号是．

查看试题解析
12. 在 $R t △ A C B$ 中， $∠ B A C = 30 ° ， C B = 2$ ，点 $E$ 是斜边 $A B$ 的中点，把 $R t △ A B C$ 绕点 $A$ 顺时针旋转，得 $R t △ A F D$ ，点 $C$ ，点 $B$ 旋转后的对应点分别是点 $D$ ，点 $F$ ，连接 $C F$ ， $E F ， C E$ ，在旋转的过程中， $△ C E F$ 面积的最大值是．

查看试题解析
13. 矩形ABCD中，M为对角线BD的中点，点N在边AD上，且 $A N = A B = 1$ ．当以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，AD的长为．

查看试题解析
14. 如图，PA与 $⊙ O$ 相切于点A，PO交 $⊙ O$ 于点B，点C在PA上，且 $C B = C A$ ．若 $O A = 5$ ， $P A = 12$ ，则CA的长为．

查看试题解析
15. 沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图． $\overset{⌢}{A B}$ 是以O为圆心， $O A$ 为半径的圆弧，C是弦 $A B$ 的中点，D在 $\overset{⌢}{A B}$ 上， $C D ⊥ A B$ ． “会圆术”给出 $\overset{⌢}{A B}$ 长l的近似值s计算公式： $s = A B + \frac{C D^{2}}{O A}$ ，当 $O A = 2$ ， $∠ A O B = 90 °$ 时， $| l - s | =$ ．（结果保留一位小数）

查看试题解析
16. 如图，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 6 ， A D = 8$ ，点P在对角线 $B D$ 上，过点P作 $M N ⊥ B D$ ，交边 $A D ， B C$ 于点M，N，过点M作 $M E ⊥ A D$ 交 $B D$ 于点E，连接 $E N ， B M ， D N$ ．下列结论：① $E M = E N$ ；②四边形 $M B N D$ 的面积不变；③当 $A M ： M D = 1 ： 2$ 时， $S_{△ M P E} = \frac{96}{25}$ ；④ $B M + M N + N D$ 的最小值是20．其中所有正确结论的序号是．

查看试题解析
17. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 70 ° ， △ A B C$ 的内切圆 $⊙ O$ 与 $A B ， B C$ 分别相切于点 $D$ ， $E$ ，连接 $D E ， A O$ 的延长线交 $D E$ 于点 $F$ ，则 $∠ A F D =$ ．

查看试题解析
18. 如图，抛物线 $y = x^{2} - 6 x + 5$ 与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点 $D (2 ， m)$ 在抛物线上，点E在直线 $B C$ 上，若 $∠ D E B = 2 ∠ D C B$ ，则点E的坐标是．

查看试题解析
19. 如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的顶点A在直线 $l_{1} ： y = \frac{\sqrt{3}}{3} x$ 上，顶点B在x轴上， $A B$ 垂直 $x$ 轴，且 $O B = 2 \sqrt{2}$ ，顶点 $C$ 在直线 $l_{2} ： y = \sqrt{3} x$ 上， $B C ⊥ l_{2}$ ；过点 $A$ 作直线 $l_{2}$ 的垂线，垂足为 $C_{1}$ ，交x轴于 $B_{1}$ ，过点 $B_{1}$ 作 $A_{1} B_{1}$ 垂直x轴，交 $l_{1}$ 于点 $A_{1}$ ，连接 $A_{1} C_{1}$ ，得到第一个 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；过点 $A_{1}$ 作直线 $l_{2}$ 的垂线，垂足为 $C_{2}$ ，交x轴于 $B_{2}$ ，过点 $B_{2}$ 作 $A_{2} B_{2}$ 垂直x轴，交 $l_{1}$ 于点 $A_{2}$ ，连接 $A_{2} C_{2}$ ，得到第二个 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ；如此下去，……，则 $△ A_{2023} B_{2023} C_{2023}$ 的面积是．

查看试题解析

三、解答题

20. 如图，点C在线段 $B D$ 上，在 $△ A B C$ 和 $△ D E C$ 中， $∠ A = ∠ D ， A B = D E ， ∠ B = ∠ E$ ．
求证： $A C = D C$ ．

查看试题解析

四、作图题

21. 图①、图②、图③均是 $5 \times 5$ 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段 $A B$ 的端点均在格点上．在图①、图②、图③中以 $A B$ 为边各画一个等腰三角形，使其依次为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，且所画三角形的顶点均在格点上．

查看试题解析
22. 如图 $.$ 已知角 $△ A B C$ ， $∠ B = 48 °$ ，请用尺规作图法，在 $△ A B C$ 内部求作一点 $P .$ 使 $P B = P C .$ 且 $∠ P B C = 24 ° .$ $($ 保留作图痕迹，不写作法 $)$

查看试题解析

五、综合题

23. 如图，已知 $⊙ O$ 是等边三角形 $A B C$ 的外接圆，连接 $C O$ 并延长交 $A B$ 于点 $D$ ，交 $⊙ O$ 于点 $E$ ，连接 $E A$ ， $E B$ ．

(1)、写出图中一个度数为 $30 °$ 的角：，图中与 $△ A C D$ 全等的三角形是；

(2)、求证： $△ A E D ∽ △ C E B$ ；

(3)、连接 $O A$ ， $O B$ ，判断四边形 $O A E B$ 的形状，并说明理由．

查看试题解析
24. 如图，在平面直角坐标系中，点 $P$ 在第一象限内， $⊙ P$ 与 $x$ 轴相切于点 $C$ ，与 $y$ 轴相交于点 $A (0 ， 8)$ ， $B (0 ， 2)$ ．连接 $A C$ ， $B C$ ．

(1)、求点 $P$ 的坐标；

(2)、求 $c o s ∠ A C B$ 的值．

查看试题解析
25. 两汉文化看徐州，桐桐在徐州博物馆“天工汉玉”展厅参观时了解到；玉壁，玉环为我国的传统玉器，通常为正中带圆孔的扇圆型器物，据《尔雅·释器》记载：“肉倍好，谓之璧；肉好若一，调之环．”如图1，“肉”指边（阴影部分），“好”指孔，其比例关系见图示，以考古发现看，这两种玉器的“肉”与“好”未必符合该比例关系．

(1)、若图1中两个大圆的直径相等，则璧与环的“肉”的面积之比为；

(2)、利用圆规与无刻度的直尺，解决下列问题（保留作图痕迹，不写作法）．
①图2为徐州狮子山楚王墓出土的“雷纹玉环”及其主视图，试判断该件玉器的比例关系是否符合“肉好若一”？
②图3表示一件圆形玉坯，若将其加工成玉璧，且比例关系符合“肉倍好”，请画出内孔．

查看试题解析
26. 小军借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 图象上的点 $A (\sqrt{3} ， 1)$ 和点B为顶点，分别作菱形AOCD和菱形OBEF，点D，E在x轴上，以点O为圆心，OA长为半径作 $\overset{⌢}{A C}$ ，连接BF．

(1)、求k的值；

(2)、求扇形AOC的半径及圆心角的度数；

(3)、请直接写出图中阴影部分面积之和．

查看试题解析
27. 如图①，小红在学习了三角形相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究，在等腰直角三角形 $A B C$ 中， $C A = C B ， ∠ C = 90 °$ ，过点 $B$ 作射线 $B D ⊥ A B$ ，垂足为 $B$ ，点 $P$ 在 $C B$ 上．

(1)、【动手操作】
如图②，若点 $P$ 在线段 $C B$ 上，画出射线 $P A$ ，并将射线 $P A$ 绕点 $P$ 逆时针旋转 $90 °$ 与 $B D$ 交于点 $E$ ，根据题意在图中画出图形，图中 $∠ P B E$ 的度数为度；

(2)、【问题探究】
根据（1）所画图形，探究线段 $P A$ 与 $P E$ 的数量关系，并说明理由；

(3)、【拓展延伸】
如图③，若点 $P$ 在射线 $C B$ 上移动，将射线 $P A$ 绕点 $P$ 逆时针旋转 $90 °$ 与 $B D$ 交于点 $E$ ，探究线段 $B A ， B P ， B E$ 之间的数量关系，并说明理由．

查看试题解析
28. 如图1，在平面直角坐标系中，直线l⊥y轴，交y轴的正半轴于点A，且OA=2，点B是y轴右侧直线l上的一动点，连接OB．

(1)、请直接写出点A的坐标；

(2)、如图2，若动点B满足∠ABO=30°，点C为AB的中点，D点为线段OB上一动点，连接CD．在平面内，将△BCD沿CD翻折，点B的对应点为点P，CP与OB相交于点Q，当CP⊥AB时，求线段DQ的长；

(3)、如图3，若动点B满足 $\frac{A B}{O A}$ =2，EF为△OAB的中位线，将△BEF绕点B在平面内逆时针旋转，当点O、E、F三点共线时，求直线EB与x轴交点的坐标；

(4)、如图4，OC平分∠AOB交AB于点C，AD⊥OB于点D，交OC于点E，AF为△AEC的一条中线．设△ACF，△ODE，△OAC的周长分别为C₁ ， C₂ ， C₃ ．试探究：在B点的运动过程中，当 $\frac{2 c_{1} + c_{2}}{c_{3}} = \frac{11}{8}$ 时，请直接写出点B的坐标．

查看试题解析
29. 【阅读理解】如图1，在矩形 $A B C D$ 中，若 $A B = a ， B C = b$ ，由勾股定理，得 $A C^{2} = a^{2} + b^{2}$ ，同理 $B D^{2} = a^{2} + b^{2}$ ，故 $A C^{2} + B D^{2} = 2 (a^{2} + b^{2})$ ．

(1)、【探究发现】如图2，四边形 $A B C D$ 为平行四边形，若 $A B = a ， B C = b$ ，则上述结论是否依然成立？请加以判断，并说明理由．

(2)、【拓展提升】如图3，已知 $B O$ 为 $△ A B C$ 的一条中线， $A B = a ， B C = b ， A C = c$ ．求证： $B O^{2} = \frac{a^{2} + b^{2}}{2} - \frac{c^{2}}{4}$ ．

(3)、【尝试应用】如图4，在矩形 $A B C D$ 中，若 $A B = 8 ， B C = 12$ ，点P在边 $A D$ 上，则 $P B^{2} + P C^{2}$ 的最小值为．

查看试题解析
30. 数学兴趣小组探究了以下几何图形．如图①，把一个含有 $45 °$ 角的三角尺放在正方形 $A B C D$ 中，使 $45 °$ 角的顶点始终与正方形的顶点 $C$ 重合，绕点 $C$ 旋转三角尺时， $45 °$ 角的两边 $C M$ ， $C N$ 始终与正方形的边 $A D$ ， $A B$ 所在直线分别相交于点 $M$ ， $N$ ，连接 $M N$ ，可得 $△ C M N$ ．

(1)、【探究一】
如图②，把 $△ C D M$ 绕点C逆时针旋转 $90 °$ 得到 $△ C B H$ ，同时得到点 $H$ 在直线 $A B$ 上．求证： $∠ C N M = ∠ C N H$ ；

(2)、【探究二】
在图②中，连接 $B D$ ，分别交 $C M$ ， $C N$ 于点 $E$ ， $F$ ．求证： $△ C E F ∽ △ C N M$ ；

(3)、【探究三】
把三角尺旋转到如图③所示位置，直线 $B D$ 与三角尺 $45 °$ 角两边 $C M$ ， $C N$ 分别交于点 $E$ ， $F$ ．连接 $A C$ 交 $B D$ 于点 $O$ ，求 $\frac{E F}{N M}$ 的值．

查看试题解析