2023年中考数学真题分类汇编（全国版）：三角形（1）

试卷更新日期：2023-07-23 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 如图所示， $A D$ 是 $⊙ O$ 的直径，弦 $B C$ 交 $A D$ 于点E，连接 $A B ， A C$ ，若 $∠ B A D = 30 °$ ，则 $∠ A C B$ 的度数是（）

A、 $50 °$ B、 $40 °$ C、 $70 °$ D、 $60 °$

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2. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　）

A、1，3，4 B、2，2，7 C、4，5，7 D、3，3，6

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3. 如图， $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 55 °$ ，将 $△ A B C$ 逆时针旋转 $α (0 ° < α < 55 °) ，$ 得到 $△ A D E$ ， $D E$ 交 $A C$ 于F．当 $α = 40 °$ 时，点D恰好落在 $B C$ 上，此时 $∠ A F E$ 等于（）

A、 $80 °$ B、 $85 °$ C、 $90 °$ D、 $95 °$

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4. 下列命题：①各边相等的多边形是正多边形；②正多边形是中心对称图形；③正六边形的外接圆半径与边长相等；④正n边形共有n条对称轴．其中真命题的个数是（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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5. “莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，分别以等边 $△ A B C$ 的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”．若等边 $△ A B C$ 的边长为3，则该“莱洛三角形”的周长等于（）

A、 $π$ B、 $3 π$ C、 $2 π$ D、 $2 π - \sqrt{3}$

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6. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，点E为 $B A$ 延长线上一点，F为 $C E$ 的中点，以B为圆心， $B F$ 长为半径的圆弧过 $A D$ 与 $C E$ 的交点G，连接 $B G$ ．若 $A B = 4$ ， $C E = 10$ ，则 $A G =$ （）

A、2 B、2.5 C、3 D、3.5

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7. 如图 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 ° ， A B = 4 ， A C = x ， ∠ B A C = α$ ， $O$ 为 $A B$ 中点，若点 $D$ 为直线 $B C$ 下方一点，且 $△ B C D$ 与 $△ A B C$ 相似，则下列结论：①若 $α = 45 °$ ， $B C$ 与 $O D$ 相交于 $E$ ，则点 $E$ 不一定是 $△ A B D$ 的重心；②若 $α = 60 °$ ，则 $A D$ 的最大值为 $2 \sqrt{7}$ ；③若 $α = 60 ° ， △ A B C ∽ △ C B D$ ，则 $O D$ 的长为 $2 \sqrt{3}$ ；④若 $△ A B C ∽ △ B C D$ ，则当 $x = 2$ 时， $A C + C D$ 取得最大值．其中正确的为（）

A、①④ B、②③ C、①②④ D、①③④

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8. 如图，矩形 $O A B C$ 的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，点D在 $A B$ 上，且 $A D = \frac{1}{4} A B$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 的图象经过点D及矩形 $O A B C$ 的对称中心M，连接 $O D ， O M ， D M$ ．若 $△ O D M$ 的面积为3，则k的值为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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二、填空题

9. 如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．设图中 $A F = a$ ， $D F = b$ ，连接 $A E ， B E$ ，若 $△ A D E$ 与 $△ B E H$ 的面积相等，则 $\frac{b^{2}}{a^{2}} + \frac{a^{2}}{b^{2}} =$ ．

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10. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $A C 、 B D$ 为菱形的对角线， $∠ D B C = 60 ° ， B D = 10$ ，点 $F$ 为 $B C$ 中点，则 $E F$ 的长为．

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11. 如图，在 $△ A B C$ 中，以A为圆心， $A C$ 长为半径作弧，交 $B C$ 于C，D两点，分别以点C和点D为圆心，大于 $\frac{1}{2} C D$ 长为半径作弧，两弧交于点P，作直线 $A P$ ，交 $C D$ 于点E，若 $A C = 5$ ， $C D = 6$ ，则 $A E =$ ．

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12. 如图，已知 $∠ A B C = 50 °$ ，点D在 $B A$ 上，以点B为圆心， $B D$ 长为半径画弧，交 $B C$ 于点E，连接 $D E$ ，则 $∠ B D E$ 的度数是度．

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13. 如图，点A，B，C在半径为2的 $⊙ O$ 上， $∠ A C B = 60 °$ ， $O D ⊥ A B$ ，垂足为E，交 $⊙ O$ 于点D，连接 $O A$ ，则 $O E$ 的长度为．

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14. 如图， $A O$ 为 $∠ B A C$ 的平分线，且 $∠ B A C = 50 °$ ，将四边形 $A B O C$ 绕点 $A$ 逆时针方向旋转后，得到四边形 $A B^{'} O^{'} C^{'}$ ，且 $∠ O A C^{'} = 100 °$ ，则四边形 $A B O C$ 旋转的角度是．

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15. 如图， $△ A B C$ 是边长为6的等边三角形，点 $D ， E$ 在边 $B C$ 上，若 $∠ D A E = 30 °$ ， $t a n ∠ E A C = \frac{1}{3}$ ，则 $B D =$ ．

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16. 如图，已知点 $A (3 ， 0)$ ，点B在y轴正半轴上，将线段 $A B$ 绕点A顺时针旋转 $120 °$ 到线段 $A C$ ，若点C的坐标为 $(7 ， h)$ ，则 $h =$ ．

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17. 如图，在正方形 $A B C D$ 中， $A B = 3$ ，延长 $B C$ 至 $E$ ，使 $C E = 2$ ，连接 $A E$ ， $C F$ 平分 $∠ D C E$ 交 $A E$ 于 $F$ ，连接 $D F$ ，则 $D F$ 的长为．

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18. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C$ ，将 $A C$ 绕着点C按顺时针旋转 $60 °$ 得到 $C D$ ，连接BD交 $A C$ 于在E，则 $\frac{A E}{E D} =$ ．

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三、解答题

19. 如图，在 $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 中，延长 $B C$ 交 $D E$ 于 $F$ ， $B C = D E ， A C = A E$ ， $∠ A C F + ∠ A E D = 180 °$ ．求证： $A B = A D$ ．

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四、作图题

20. 如图，已知 $∠ A P B$ ，点M是 $P B$ 上的一个定点．

(1)、尺规作图：请在图1中作 $⊙ O$ ，使得 $⊙ O$ 与射线 $P B$ 相切于点M，同时与 $P A$ 相切，切点记为N；

(2)、在（1）的条件下，若 $∠ A P B = 60 ° ， P M = 3$ ，则所作的 $⊙ O$ 的劣弧 $\overset{⌢}{M N}$ 与 $P M 、 P N$ 所围成图形的面积是．

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21. 如图， $B D$ 是矩形 $A B C D$ 的对角线．

(1)、作线段 $B D$ 的垂直平分线（要求：尺规作图，保留作图㢃迹，不必写作法和证明）；

(2)、设 $B D$ 的垂直平分线交 $A D$ 于点 $E$ ，交 $B C$ 于点 $F$ ，连接 $B E ， D F$ ．
①判断四边形 $B E D F$ 的形状，并说明理由；

②若 $A B = 5 ， B C = 10$ ，求四边形 $B E D F$ 的周长．

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五、综合题

22. 如图， $△ A B C$ 中，以 $A B$ 为直径的 $⊙ O$ 交 $B C$ 于点 $D$ ， $D E$ 是 $⊙ O$ 的切线，且 $D E ⊥ A C$ ，垂足为 $E$ ，延长 $C A$ 交 $⊙ O$ 于点 $F$ ．

(1)、求证： $A B = A C$ ；

(2)、若 $A E = 3 ， D E = 6$ ，求 $A F$ 的长．

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23. 如图1，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $y = x$ 与直线 $B C$ 相交于点 $A$ ， $P (t ， 0)$ 为线段 $O B$ 上一动点（不与点 $B$ 重合），过点 $P$ 作 $P D ⊥ x$ 轴交直线 $B C$ 于点 $D$ ． $△ O A B$ 与 $△ D P B$ 的重叠面积为 $S$ ． $S$ 关于 $t$ 的函数图象如图2所示．

(1)、 $O B$ 的长为； $△ O A B$ 的面积为．

(2)、求 $S$ 关于 $t$ 的函数解析式，并直接写出自变量 $t$ 的取值范围．

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24. 如图，点A在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象上， $A B ⊥ y$ 轴于点B， $t a n ∠ A O B = \frac{1}{2}$ ， $A B = 2$ ．

(1)、求反比例函数的解析式；

(2)、点C在这个反比例函数图象上，连接 $A C$ 并延长交x轴于点D，且 $∠ A D O = 45 °$ ，求点C的坐标．

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25. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = B C$ ，以 $B C$ 为直径作 $⊙ O$ 与 $A C$ 交于点D，过点D作 $D E ⊥ A B$ ，交 $C B$ 延长线于点F，垂足为点E．

(1)、求证： $D F$ 为 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $B E = 3$ ， $c o s C = \frac{4}{5}$ ，求 $B F$ 的长．

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26. 如图．点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线 $A B$ 的两侧，且 $A E = B F$ ， $∠ A = ∠ B$ ． $∠ A C E = ∠ B D F$ ．

(1)、求证： $△ A C E ≌ △ B D F$ ；

(2)、若 $A B = 8$ ， $A C = 2$ ，求 $C D$ 的长．

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27. $2023$ 年 $5$ 月 $30$ 日 $9$ 点 $31$ 分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站．如图，在发射的过程中，飞船从地面 $O$ 处发射，当飞船到达 $A$ 点时，从位于地面 $C$ 处的雷达站测得 $A C$ 的距离是 $8 k m$ ，仰角为 $30 °$ ； $10 s$ 后飞船到达 $B$ 处，此时测得仰角为 $45 °$ ．

(1)、求点 $A$ 离地面的高度 $A O$ ；

(2)、求飞船从 $A$ 处到 $B$ 处的平均速度．(结果精确到 $0.1 k m / s$ ，参考数据： $\sqrt{3}$ $\approx 1.73$ )

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28. 如图， $A B = A C$ ， $C D ⊥ A B$ ， $B E ⊥ A C$ ，垂足分别为 $D$ ， $E$ ．

(1)、求证： $△ A B E ≌ △ A C D$ ；

(2)、若 $A E = 6$ ， $C D = 8$ ，求 $B D$ 的长．

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29. 【问题呈现】
$△ C A B$ 和 $△ C D E$ 都是直角三角形， $∠ A C B = ∠ D C E = 90 ° ， C B = m C A ， C E = m C D$ ，连接 $A D$ ， $B E$ ，探究 $A D$ ， $B E$ 的位置关系．

(1)、如图1，当 $m = 1$ 时，直接写出 $A D$ ， $B E$ 的位置关系：；

(2)、如图2，当 $m \neq 1$ 时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．

(3)、【拓展应用】
当 $m = \sqrt{3} ， A B = 4 \sqrt{7} ， D E = 4$ 时，将 $△ C D E$ 绕点C旋转，使 $A ， D ， E$ 三点恰好在同一直线上，求 $B E$ 的长．

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30. 综合与实践
问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张等腰三角形纸片探究折叠的性质．
已知 $A B = A C ， ∠ A > 90 °$ ，点 $E$ 为 $A C$ 上一动点，将 $△ A B E$ 以 $B E$ 为对称轴翻折．同学们经过思考后进行如下探究：
独立思考：小明：“当点 $D$ 落在 $B C$ 上时， $∠ E D C = 2 ∠ A C B$ ． ”
小红：“若点 $E$ 为 $A C$ 中点，给出 $A C$ 与 $D C$ 的长，就可求出 $B E$ 的长．”
实践探究：奋进小组的同学们经过探究后提出问题1，请你回答：

问题1：在等腰 $△ A B C$ 中， $A B = A C ， ∠ A > 90 ° ， △ B D E$ 由 $△ A B E$ 翻折得到．

(1)、如图1，当点 $D$ 落在 $B C$ 上时，求证： $∠ E D C = 2 ∠ A C B$ ；

(2)、如图2，若点 $E$ 为 $A C$ 中点， $A C = 4 ， C D = 3$ ，求 $B E$ 的长．
问题解决：小明经过探究发现：若将问题1中的等腰三角形换成 $∠ A < 90 °$ 的等腰三角形，可以将问题进一步拓展．
问题2：如图3，在等腰 $△ A B C$ 中， $∠ A < 90 ° ， A B = A C = B D = 4 ， 2 ∠ D = ∠ A B D$ ．若 $C D = 1$ ，则求 $B C$ 的长．

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