2023年中考数学真题分类汇编（全国版）：相交线与平行线（4）

试卷更新日期：2023-07-23 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 如图，在正方形网格内，线段 $P Q$ 的两个端点都在格点上，网格内另有 $A ， B ， C ， D$ 四个格点，下面四个结论中，正确的是（）

A、连接 $A B$ ，则 $A B ∥ P Q$ B、连接 $B C$ ，则 $B C ∥ P Q$ C、连接 $B D$ ，则 $B D ⊥ P Q$ D、连接 $A D$ ，则 $A D ⊥ P Q$

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2. 如图，已知 $∠ 1 = ∠ 2 = ∠ 3 = 5 0^{°}$ ，则 $∠ 4$ 的度数是（）

A、 $12 0^{°}$ B、 $12 5^{°}$ C、 $13 0^{°}$ D、 $13 5^{°}$

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3. 如图， $A B ∥ C D$ ，若 $∠ D = 55 °$ ，则 $∠ 1$ 的度数为（）

A、 $125 °$ B、 $135 °$ C、 $145 °$ D、 $155 °$

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4. 如图， $A B$ 切 $⊙ O$ 于点B，连接 $O A$ 交 $⊙ O$ 于点C， $B D ∥ O A$ 交 $⊙ O$ 于点D，连接 $C D$ ，若 $∠ O C D = 25 °$ ，则 $∠ A$ 的度数为（）

A、 $25 °$ B、 $35 °$ C、 $40 °$ D、 $45 °$

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5. 如图， $A B ∥ C D$ ，且 $∠ A = 40 °$ ， $∠ D = 24 °$ ，则 $∠ E$ 等于（　　）

A、 $40 °$ B、 $32 °$ C、 $24 °$ D、 $16 °$

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6. 如图， $A E ∥ C D$ ， $A C$ 平分 $∠ B C D$ ， $∠ 2 = 35 ° ， ∠ D = 60 °$ 则 $∠ B =$ （）

A、 $52 °$ B、 $50 °$ C、 $45 °$ D、 $25 °$

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7. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图， $∠ 1 = 45 ° ， ∠ 2 = 120 °$ ，则 $∠ 3 + ∠ 4 =$ （）

A、 $165 °$ B、 $155 °$ C、 $105 °$ D、 $90 °$

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8. 如图，某人沿路线 $A \to B \to C \to D$ 行走， $A B$ 与 $C D$ 方向相同， $∠ 1 = 128 °$ ，则 $∠ 2 =$ （）

A、 $52 °$ B、 $118 °$ C、 $128 °$ D、 $138 °$

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9. 如图， $A B ∥ C D ， A D ⊥ A C$ ，若 $∠ 1 = 55 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数为（）

A、 $35 °$ B、 $45 °$ C、 $50 °$ D、 $55 °$

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10. 如图，直线 $a$ ， $b$ 被直线 $c$ 所截，若 $a ∥ b$ ， $∠ 1 = 63 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数为（）．

A、 $27 °$ B、 $53 °$ C、 $63 °$ D、 $117 °$

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11. 如图，在 $△ A B C$ 中， $D$ 是边 $B C$ 上的点（不与点 $B ， C$ 重合）.过点 $D$ 作 $D E / / A B$ 交 $A C$ 于点 $E$ ；过点 $D$ 作 $D F / / A C$ 交 $A B$ 于点 $F$ . $N$ 是线段 $B F$ 上的点， $B N =$ $2 N F$ ； $M$ 是线段 $D E$ 上的点， $D M = 2 M E$ .若已知 $△ C M N$ 的面积，则一定能求出（）

A、 $△ A F E$ 的面积 B、 $△ B D F$ 的面积 C、 $△ B C N$ 的面积 D、 $△ D C E$ 的面积

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12. 如图，分别经过原点 $O$ 和点 $A (4 ， 0)$ 的动直线 $a$ ， $b$ 夹角 $∠ O B A = 30 °$ ，点 $M$ 是 $O B$ 中点，连接 $A M$ ，则 $s i n ∠ O A M$ 的最大值是（）

A、 $\frac{3 + \sqrt{6}}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $\frac{5}{6}$

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二、填空题

13. 如图，点O在直线AB上，OD是 $∠ B O C$ 的平分线，若 $∠ A O C = 140 °$ ，则 $∠ B O D$ 的度数为．

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14. 如图，在 $△ A B C$ 中，D是边AB上一点，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N；②以点D为圆心，以AM长为半径作弧，交DB于点 $M'$ ；③以点 $M'$ 为圆心，以MN长为半径作弧，在 $∠ B A C$ 内部交前面的弧于点 $N'$ ；④过点 $N'$ 作射线 $D N'$ 交BC于点E. 若 $△ B D E$ 与四边形ACED的面积比为4：21，则 $\frac{B E}{C E}$ 的值为.

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三、解答题

15. 如图，点 $B$ 在线段 $A C$ 上， $B D ∥ C E$ ， $A B = E C$ ， $D B = B C$ ．求证： $A D = E B$ ．

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四、综合题

16. 如图， $▱ A B C D$ 中，点E是 $A D$ 的中点，连接 $C E$ 并延长交 $B A$ 的延长线于点F．

(1)、求证： $A F = A B$ ；

(2)、点G是线段 $A F$ 上一点，满足 $∠ F C G = ∠ F C D$ ， $C G$ 交 $A D$ 于点H，若 $A G = 2 ， F G = 6$ ，求 $G H$ 的长．

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17. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C$ 是 $⊙ O$ 上一点，过点 $C$ 作 $⊙ O$ 的切线 $C D$ ，交 $A B$ 的延长线于点 $D$ ，过点 $A$ 作 $A E ⊥ C D$ 于点 $E$ .

(1)、若 $∠ E A C = 2 5^{°}$ ，求 $∠ A C D$ 的度数.

(2)、若 $O B = 2 ， B D = 1$ ，求 $C E$ 的长.

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18. 如图，在正方形 $A B C D$ 中， $G$ 是对角线 $B D$ 上的一点（与点 $B ， D$ 不重合）， $G E ⊥ C D ， G F ⊥ Β C ，$ $E ， F$ 分别为垂足.连结 $E F ， A G$ ，并延长 $A G$ 交 $E F$ 于点 $H$ .

(1)、求证： $∠ D A G = ∠ E G H$ .

(2)、判断 $A H$ 与 $E F$ 是否垂直，并说明理由.

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19. 如图，四边形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ，点O为对角线 $B D$ 的中点，过点O的直线l分别与 $A D$ 、 $B C$ 所在的直线相交于点E、F．（点E不与点D重合）

(1)、求证： $△ D O E ≌ △ B O F$ ；

(2)、当直线 $l ⊥ B D$ 时，连接 $B E$ 、 $D F$ ，试判断四边形 $E B F D$ 的形状，并说明理由．

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20. 如图，以 $△ A B C$ 的边AC为直径作 $⊙ O$ ，交BC边于点D，过点C作 $C E ∥ A B$ 交 $⊙ O$ 于点E，连接AD，DE， $∠ B = ∠ A D E$ .

(1)、求证： $A C = B C$ ；

(2)、若 $t a n B = 2$ ， $C D = 3$ ，求AB和DE的长.

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21. 如图，等腰 $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ， $A B = A C$ ， $B D$ 是边 $A C$ 上的中线，过点 $C$ 作 $A B$ 的平行线交 $B D$ 的延长线于点 $E$ ， $B E$ 交 $⊙ O$ 于点 $F$ ，连接 $A E ， F C$ ．

(1)、求证： $A E$ 为 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $⊙ O$ 的半径为 $5$ ， $B C = 6$ ，求 $F C$ 的长．

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22. 如图， $△ A B C$ 中，以 $A B$ 为直径的 $⊙ O$ 交 $B C$ 于点E． $A E$ 平分 $∠ B A C$ ，过点E作 $E D ⊥ A C$ 于点D，延长 $D E$ 交 $A B$ 的延长线于点P．

(1)、求证： $P E$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $s i n ∠ P = \frac{1}{3} ， B P = 4$ ，求 $C D$ 的长．

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23. 如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径， $A D = C D$ ，过点 $D$ 的直线l交 $B A$ 的延长线于点 $M$ ，交 $B C$ 的延长线于点 $N$ ，且 $∠ A D M = ∠ D A C$ ．

(1)、求证： $M N$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、求证： $A D^{2} = A B \cdot C N$ ；

(3)、当 $A B = 6$ ， $s i n ∠ D C A = \frac{\sqrt{3}}{3}$ 时，求 $A M$ 的长．

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24.

(1)、如图①，在矩形 $A B C D$ 的 $A B$ 边上取一点 $E$ ，将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 翻折，使点 $A$ 落在 $B C$ 上 $A^{'}$ 处，若 $A B = 6 ， B C = 10$ ，求 $\frac{A E}{E B}$ 的值；

(2)、如图②，在矩形 $A B C D$ 的 $B C$ 边上取一点 $E$ ，将四边形 $A B E D$ 沿 $D E$ 翻折，使点 $B$ 落在 $D C$ 的延长线上 $B^{'}$ 处，若 $B C \cdot C E = 24 ， A B = 6$ ，求 $B E$ 的值；

(3)、如图③，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 45 ° ， A D ⊥ B C$ ，垂足为点 $D ， A D = 10 ， A E = 6$ ，过点 $E$ 作 $E F ⊥ A D$ 交 $A C$ 于点 $F$ ，连接 $D F$ ，且满足 $∠ D F E = 2 ∠ D A C$ ，直接写出 $B D + \frac{5}{3} E F$ 的值．

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