2023年中考数学真题分类汇编（全国版）：相交线与平行线（3）

试卷更新日期：2023-07-23 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点C，D在 $⊙ O$ 上，连接 $C D ， O D ， A C$ ，若 $∠ B O D = 124 °$ ，则 $∠ A C D$ 的度数是（　　）

A、 $56 °$ B、 $33 °$ C、 $28 °$ D、 $23 °$

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2. 如图，平移直线 $A B$ 至 $C D$ ，直线 $A B$ ， $C D$ 被直线 $E F$ 所截， $∠ 1 = 60 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数为（）

A、 $30 °$ B、 $60 °$ C、 $100 °$ D、 $120 °$

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3. 如图，直线 $a ， b$ 被直线 $c$ 所截，已知 $a ∥ b ， ∠ 1 = 50 °$ ，则 $∠ 2$ 的大小为（）

A、 $40 °$ B、 $50 °$ C、 $70 °$ D、 $130 °$

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4. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心 $O$ 的光线相交于点 $P$ ，点 $F$ 为焦点．若 $∠ 1 = 155 ° ， ∠ 2 = 30 °$ ，则 $∠ 3$ 的度数为（）

A、 $45 °$ B、 $50 °$ C、 $55 °$ D、 $60 °$

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5. 如图，在 $△ A B C$ 中，点D、E为边 $A B$ 的三等分点，点F、G在边 $B C$ 上， $A C ∥ D G ∥ E F$ ，点H为 $A F$ 与 $D G$ 的交点．若 $A C = 12$ ，则 $D H$ 的长为（　　）

A、1 B、 $\frac{3}{2}$ C、2 D、3

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6. 如图，直线 $l_{1} ∥ l_{2}$ ，直线l与 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ 相交，若图中 $∠ 1 = 60 °$ ，则 $∠ 2$ 为（）

A、 $30 °$ B、 $60 °$ C、 $120 °$ D、 $150 °$

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7. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，分别以B，D为圆心，大于 $\frac{1}{2} B D$ 的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线交 $B D$ 于点O，交 $A D ， B C$ 于点E，F，下列结论不正确的是（）

A、 $A E = C F$ B、 $D E = B F$ C、 $O E = O F$ D、 $D E = D C$

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8. 如图，小颖按如下方式操作直尺和含 $30 °$ 角的三角尺，依次画出了直线a，b，c．如果 $∠ 1 = 70 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数为（）．

A、 $110 °$ B、 $70 °$ C、 $40 °$ D、 $30 °$

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9. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B ∥ C D$ ，若添加一个条件，使四边形 $A B C D$ 为平形四边形，则下列正确的是（）

A、 $A D = B C$ B、 $∠ A B D = ∠ B D C$ C、 $A B = A D$ D、 $∠ A = ∠ C$

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10. 如图，分别过 $△ A B C$ 的顶点A，B作 $A D ∥ B E$ ．若 $∠ C A D = 25 °$ ， $∠ E B C = 80 °$ ，则 $∠ A C B$ 的度数为（）

A、 $65 °$ B、 $75 °$ C、 $85 °$ D、 $95 °$

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二、填空题

11. 如图，点 $D ， E$ 分别在 $△ A B C$ 的边 $A B ， A C$ 上，且 $D E ∥ B C$ ，点 $F$ 在线段 $B C$ 的延长线上．若 $∠ A D E = 28 °$ ， $∠ A C F = 118 °$ ，则 $∠ A =$ ．

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12. 一杆古秤在称物时的状态如图所示，已知 $∠ 1 = 102 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数为．

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13. 用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若 $∠ 1 = 20 °$ ，则∠2的度数为．

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14. 如图，点 $P$ 是正方形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 上的一点， $P E ⊥ A D$ 于点 $E$ ， $P E = 3$ ．则点 $P$ 到直线 $A B$ 的距离为．

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15. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C ， ∠ A < 90 °$ ，点 $D ， E ， F$ 分别在边 $A B$ ， $B C ， C A$ 上，连接 $D E ， E F ， F D$ ，已知点 $B$ 和点 $F$ 关于直线 $D E$ 对称．设 $\frac{B C}{A B} = k$ ，若 $A D = D F$ ，则 $\frac{C F}{F A} =$ （结果用含 $k$ 的代数式表示）．

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三、解答题

16. 已知：如图， $A B ∥ D E$ ， $A B = D E$ ， $A F = D C$ ．求证： $∠ B = ∠ E$ ．

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四、作图题

17. 如图，为制作角度尺，将长为10，宽为4的矩形OABC分割成4×10的小正方形网格.在该矩形边上取点P，来表示∠POA的度数.阅读以下作图过程，并回答下列问题：

作法（如图）	结论
①在 $C B$ 上取点 $P_{1}$ ，使 $C P_{1} = 4$ .	$∠ P_{1} O A = 45 °$ ，点 $P_{1}$ 表示 $45 °$ .
②以 $O$ 为圆心，8为半径作弧，与 $B C$ 交于点 $P_{2}$	$∠ P_{2} O A = 30 °$ ，点 $P$ 表示 $30 °$ .
③分别以 $O$ ， $P_{2}$ 为圆心，大于 $O P_{2}$ 长度一半的长为半径作弧，相交于点E，F，连结EF与BC相交于点 $P_{3}$ .	…
④以 $P_{2}$ 为圆心， $O P_{2}$ 的长为半径作弧，与射线 $C B$ 交于点 $D$ ，连结 $O D$ 交 $A B$ 于点 $P_{4}$ .	…

(1)、分别求点

P_{3} ， P_{4}

表示的度数.

(2)、用直尺和圆规在该矩形的边上作点

P_{5}

，使该点表示

37 . 5^{°}

（保留作图痕迹，不写作法）.

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五、综合题

18. 如图所示，在某交叉路口，一货车在道路①上点A处等候“绿灯”一辆车从被山峰 $P O Q$ 遮挡的道路②上的点B处由南向北行驶．已知 $∠ P O Q = 30 ° ， B C ∥ O Q$ ， $O C ⊥ O Q ， A O ⊥ O P$ ，线段 $A O$ 的延长线交直线 $B C$ 于点D．

(1)、求 $∠ C O D$ 的大小；

(2)、若在点B处测得点O在北偏西 $α$ 方向上，其中 $t a n α = \frac{\sqrt{3}}{5} ， O D = 12$ 米．问该轿车至少行驶多少米才能发现点A处的货车？（当该轿车行驶至点D处时，正好发现点A处的货车）

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19. 如图，在 $△ A B C$ 中，D是 $B C$ 的中点，E是 $A D$ 的中点，过点A作 $A F ∥ B C$ 交 $C E$ 的延长线于点F．

(1)、求证： $A F = B D$ ；

(2)、连接 $B F$ ，若 $A B = A C$ ，求证：四边形 $A D B F$ 是矩形．

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20. 如图，已知 $△ A B C$ 内接于 $⊙ O ， C O$ 的延长线交 $A B$ 于点 $D$ ，交 $⊙ O$ 于点 $E$ ，交 $⊙ O$ 的切线 $A F$ 于点 $F$ ，且 $A F ∥ B C$ ．

(1)、求证： $A O ∥ B E$ ；

(2)、求证： $A O$ 平分 $∠ B A C$ ．

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21. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C ， ∠ B = ∠ D$ ，点 $E$ 在 $B A$ 的延长线上，连接 $C E$ ．

(1)、求证： $∠ E = ∠ E C D$ ；

(2)、若 $∠ E = 60 ° ， C E$ 平分 $∠ B C D$ ，直接写出 $△ B C E$ 的形状．

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22. 如图，以 $R t △ A B C$ 的直角边 $A B$ 为直径作 $⊙ O$ ，交斜边 $A C$ 于点 $D$ ，点 $E$ 是 $B C$ 的中点，连接 $O E 、 D E$ ．

(1)、求证： $D E$ 是 $⊙ O$ 的切线．

(2)、若 $s i n C = \frac{4}{5} ， D E = 5$ ，求 $A D$ 的长．

(3)、求证： $2 D E^{2} = C D \cdot O E$ ．

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23. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，点 $E$ ， $F$ 在对角线 $A C$ 上， $∠ C B E = ∠ A D F$ ．求证：

(1)、 $A E = C F$ ；

(2)、 $B E ∥ D F$ ．

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24. 如图，以线段 $A B$ 为直径作 $⊙ O$ ，交射线 $A C$ 于点C， $A D$ 平分 $∠ C A B$ 交 $⊙ O$ 于点D，过点D作直线 $D E ⊥ A C$ ，交 $A C$ 的延长线于点E，交 $A B$ 的延长线于点F．连接 $B D$ 并延长交 $A C$ 的延长线于点M．

(1)、求证：直线 $D E$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、当 $∠ F = 30 °$ 时，判断 $△ A B M$ 的形状，并说明理由；

(3)、在（2）的条件下， $M E = 1$ ，连接 $B C$ 交 $A D$ 于点P，求 $A P$ 的长．

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25. 如图，点 $C$ 为线段 $A B$ 上一点，分别以 $A C ， B C$ 为等腰三角形的底边，在 $A B$ 的同侧作等腰 $△ A C D$ 和等腰 $△ B C E$ ，且 $∠ A = ∠ C B E$ ．在线段 $E C$ 上取一点 $F$ ，使 $E F = A D$ ，连接 $B F ， D E$ ．

(1)、如图1，求证： $D E = B F$ ；

(2)、如图2，若 $A D = 2 ， B F$ 的延长线恰好经过 $D E$ 的中点 $G$ ，求 $B E$ 的长．

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26. 如图， $A B$ 与 $⊙ O$ 相切于点A，半径 $O C ∥ A B$ ， $B C$ 与 $⊙ O$ 相交于点D，连接 $A D$ ．

(1)、求证： $∠ O C A = ∠ A D C$ ；

(2)、若 $A D = 2 ， t a n B = \frac{1}{3}$ ，求 $O C$ 的长．

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