2023年中考数学真题分类汇编（全国版）：相交线与平行线（2）

试卷更新日期：2023-07-23 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 如图，直线 $a / / b$ ，直线 $l$ 与直线a，b分别相交于点A，B，点 $C$ 在直线 $b$ 上，且 $C A = C B$ ，若 $∠ 1 = 3 2^{°}$ ，则 $∠ 2$ 的度数为（）

A、 $3 2^{°}$ B、 $5 8^{°}$ C、 $7 4^{°}$ D、 $7 5^{°}$

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2. 如图为商场某品牌椅子的侧面图， $∠ D E F = 120 °$ ， $D E$ 与地面平行， $∠ A B D = 50 °$ ，则 $∠ A C B =$ （）

A、70° B、65° C、60° D、50°

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3. 如图，街道 $A B$ 与 $C D$ 平行，拐角 $∠ A B C = 137 °$ ，则拐角 $∠ B C D =$ （）

A、 $43 °$ B、 $53 °$ C、 $107 °$ D、 $137 °$

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4. 如图，直线 $l_{1} ∥ l_{2}$ ，分别与直线l交于点A，B，把一块含 $30 °$ 角的三角尺按如图所示的位置摆放，若 $∠ 1 = 45 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数是（）

A、 $135 °$ B、 $105 °$ C、 $95 °$ D、 $75 °$

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5. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ， $B C = 5$ ， $C D = 3$ ．按下列步骤作图：①以点D为圆心，适当长度为半径画弧，分别交 $D A ， D C$ 于E，F两点；②分别以点E，F为圆心以大于 $\frac{1}{2} E F$ 的长为半径画弧，两弧交于点P；③连接 $D P$ 并延长交 $B C$ 于点G．则 $B G$ 的长是（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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6. 如图， $A B ∥ C D$ ，点 $E$ 在线段 $B C$ 上（不与点 $B$ ， $C$ 重合），连接 $D E$ ，若 $∠ D = 40 °$ ， $∠ B E D = 60 °$ ，则 $∠ B =$ （）

A、 $10 °$ B、 $20 °$ C、 $40 °$ D、 $60 °$

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7. 如图，直线AB∥CD，GE⊥EF于点E．若∠BGE=60°，则∠EFD的度数是（）

A、60° B、30° C、40° D、70°

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8. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 90 ° ， ∠ A = 30 ° ， B C = 2 ， D$ 为 $A B$ 的中点．若点 $E$ 在边 $A C$ 上，且 $\frac{A D}{A B} = \frac{D E}{B C}$ ，则 $A E$ 的长为（）

A、1 B、2 C、1或 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、1或2

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9. 如图1，在正方形 $A B C D$ 中，对角线 $A C 、 B D$ 相交于点O，E，F分别为 $A O$ ， $D O$ 上的一点，且 $E F ∥ A D$ ，连接 $A F ， D E$ ．若 $∠ F A C = 15 °$ ，则 $∠ A E D$ 的度数为（）

A、 $80 °$ B、 $90 °$ C、 $105 °$ D、 $115 °$

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10. 下列命题中叙述正确的是（）

A、若方差 $s_{甲}^{2} > s_{乙}^{2}$ ，则甲组数据的波动较小 B、直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离 C、三角形三条中线的交点叫做三角形的内心 D、角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上

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11. 如图， $l / / A B$ ， $∠ A = 2 ∠ B .$ 若 $∠ 1 = 108 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数为（）

A、 $36 °$ B、 $46 °$ C、 $72 °$ D、 $82 °$

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12. 如图所示的“箭头”图形中，AB∥CD， $∠ B = ∠ D = 80 ° ，^{} ∠ E = ∠ F = 47 °$ ，则图中∠G的度数是（）

A、 $80 °$ B、 $76 °$ C、 $66 °$ D、 $56 °$

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二、填空题

13. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 3$ ， $B C = 5$ ， $∠ B$ 的平分线 $B E$ 交 $A D$ 于点E，则 $D E$ 的长为．

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14. 如图， $a ∥ b$ ，直线l与直线a，b分别交于B，A两点，分别以点A，B为圆心，大于 $\frac{1}{2} A B$ 的长为半径画弧，两弧相交于点E，F，作直线 $E F$ ，分别交直线a，b于点C，D，连接AC，若 $∠ C D A = 34 °$ ，则 $∠ C A B$ 的度数为．

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15. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $B C$ 的垂直平分线 $E O$ 交 $A D$ 于点 $E$ ，交 $B C$ 于点O，连接 $B E$ ， $C E$ ，过点C作 $C F ∥ B E$ ，交 $E O$ 的延长线于点F，连接 $B F$ ．若 $A D = 8$ ， $C E = 5$ ，则四边形 $B F C E$ 的面积为．
.

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16. 如图1，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = 8$ ， $B C = 6$ ， D是 $A B$ 上一点，且 $A D = 2$ ，过点D作 $D E ∥ B C$ 交 $A C$ 于E，将 $△ A D E$ 绕A点顺时针旋转到图2的位置．则图2中 $\frac{B D}{C E}$ 的值为．

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三、解答题

17. 如图，已知AB与CD相交于点O， $A C ∥ B D ， A O = B O$ ，求证： $A C = B D$ ．

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四、作图题

18. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $∠ D A B = 30 °$ ．

(1)、实践与操作：用尺规作图法过点 $D$ 作 $A B$ 边上的高 $D E$ ；(保留作图痕迹，不要求写作法)

(2)、应用与计算：在（1）的条件下， $A D = 4$ ， $A B = 6$ ，求 $B E$ 的长．

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五、综合题

19. 已知：如图，点M在 $∠ A O B$ 的边 $O A$ 上．

求作：射线 $M N$ ，使 $M N ∥ O B$ ．且点N在 $∠ A O B$ 的平分线上．

作法：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线 $O A$ ， $O B$ 于点C，D．

②分别以点C，D为圆心．大于 $\frac{1}{2} C D$ 长为半径画弧，两弧在 $∠ A O B$ 的内部相交于点P．

③画射线 $O P$ ．

④以点M为圆心， $O M$ 长为半径画弧，交射线 $O P$ 于点N．

⑤画射线 $M N$ ．

射线 $M N$ 即为所求．

(1)、用尺规作图，依作法补全图形(保留作图痕迹)；

(2)、根据以上作图过程，完成下面的证明．
证明：∵ $O P$ 平分 $∠ A O B$ ．

∴ $∠ A O N =$ ，

∵ $O M = M N$ ，

∴ $∠ A O N =$ ，（）．(括号内填写推理依据)

∴ $∠ B O N = ∠ O N M$ ．

∴ $M N ∥ O B$ ．（）．(填写推理依据)

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20. 如图，四边形 $A B C D$ 是 $⊙ O$ 的内接四边形， $A B$ 是直径， $C$ 是 $\overset{⌢}{B D}$ 的中点，过点 $C$ 作 $C E ⊥ A D$ 交 $A D$ 的延长线于点 $E$ ．

(1)、求证： $C E$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $B C = 6$ ， $A C = 8$ ，求 $C E ， D E$ 的长．

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21. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B = 90 °$ ， AD平分 $∠ B A C$ 交BC于点D，点E是斜边AC上一点，以AE为直径的 $⊙ O$ 经过点D，交AB于点F，连接DF.

(1)、求证：BC是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $B D = 5$ ， $t a n ∠ A D B = \sqrt{3}$ ，求图中阴影部分的面积（结果保留 $π$ ）.

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22. 如图， $C A ⊥ A D ， E D ⊥ A D$ ，点 $B$ 是线段 $A D$ 上的一点，且 $C B ⊥ B E$ ．已知 $A B = 8 ， A C = 6 ， D E = 4$ ．

(1)、证明： $△ A B C ∽ △ D E B$ ．

(2)、求线段 $B D$ 的长．

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23. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， D是 $B C$ 的中点，延长 $D A$ 至E，连接 $E B ， E C$ ．

(1)、求证： $△ B A E ≌ △ C A E$ ；

(2)、在如图1中，若 $A E = A D$ ，其它条件不变得到图2，在图2中过点D作 $D F ⊥ A B$ 于F，设H是 $E C$ 的中点，过点H作 $H G ∥ A B$ 交 $F D$ 于G，交 $D E$ 于M．
求证：① $A F \cdot M H = A M \cdot A E$ ；
② $G F = G D$ ．

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24. 已知：四边形 $A B C D$ 为矩形， $A B = 4$ ， $A D = 3$ ，点F是 $B C$ 延长线上的一个动点（点F不与点C重合）.连接 $A F$ 交 $C D$ 于点G.

(1)、如图一，当点G为 $C D$ 的中点时，求证： $△ A D G ≌ △ F C G$ .

(2)、如图二，过点C作 $C E ⊥ A F$ ，垂足为E.连接 $B E$ ，设 $B F = x$ ， $C E = y$ .求y关于x的函数关系式.

(3)、如图三，在（2）的条件下，过点B作 $B M ⊥ B E$ ，交 $F A$ 的延长线于点M.当 $C F = 1$ 时，求线段 $B M$ 的长.

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25.

(1)、如图 $①$ ，在 $△ O A B$ 中， $O A = O B$ ， $∠ A O B = 120 °$ ， $A B = 24 .$ 若 $⊙ O$ 的半径为 $4$ ，点 $P$ 在 $⊙ O$ 上，点 $M$ 在 $A B$ 上，连接 $P M$ ，求线段 $P M$ 的最小值；

(2)、如图 $②$ 所示，五边形 $A B C D E$ 是某市工业新区的外环路，新区管委会在点 $B$ 处，点 $E$ 处是该市的一个交通枢纽 $.$ 已知： $∠ A = ∠ A B C = ∠ A E D = 90 °$ ， $A B = A E = 10000 m$ ， $B C = D E = 6000 m .$ 根据新区的自然环境及实际需求，现要在矩形 $A F D E$ 区域内 $($ 含边界 $)$ 修一个半径为 $30 m$ 的圆型环道 $⊙ O$ ；过圆心 $O$ ，作 $O M ⊥ A B$ ，垂足为 $M$ ，与 $⊙ O$ 交于点 $N .$ 连接 $B N$ ，点 $P$ 在 $⊙ O$ 上，连接 $E P .$ 其中，线段 $B N$ 、 $E P$ 及 $M N$ 是要修的三条道路，要在所修迅路 $B N$ 、 $E P$ 之和最短的情况下，使所修道路 $M N$ 最短，试求此时环道 $⊙ O$ 的圆心 $O$ 到 $A B$ 的距离 $O M$ 的长．

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26. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ B A C$ 的平分线 $A D$ 交 $B C$ 于点D， $∠ A D C$ 的平分线 $D E$ 交 $A C$ 于点E．以 $A D$ 上的点O为圆心， $O D$ 为半径作 $⊙ O$ ，恰好过点E．

(1)、求证： $A C$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $C D = 12$ ， $t a n ∠ A B C = \frac{3}{4}$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

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27. 如图，在等边三角形 $A B C$ 中， $D$ 为 $A B$ 上的一点，过点 $D$ 做 $B C$ 的平行线 $D E$ 交 $A C$ 于点 $E$ ，点 $P$ 是线段 $D E$ 上的动点（点 $P$ 不与 $D 、 E$ 重合）．将 $△ A B P$ 绕点 $A$ 逆时针方向旋转 $60 °$ ，得到 $△ A C Q$ ，连接 $E Q 、 P Q ， P Q$ 交 $A C$ 于 $F$ ．

(1)、证明：在点 $P$ 的运动过程中，总有 $∠ P E Q = 120 °$ ．

(2)、当 $\frac{A P}{D P}$ 为何值时， $△ A Q F$ 是直角三角形？

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