2023年中考数学真题分类汇编（全国版）：相交线与平行线（1）

试卷更新日期：2023-07-23 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 如图， $R t △ A B C$ 的直角顶点A在直线a上，斜边 $B C$ 在直线b上，若 $a ∥ b ， ∠ 1 = 55 °$ ，则 $∠ 2 =$ （）

A、 $55 °$ B、 $45 °$ C、 $35 °$ D、 $25 °$

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2. 如图，直线 $A B ∥ C D ， ∠ A B E = 45 ° ， ∠ D = 20 °$ ，则 $∠ E$ 的度数为（）

A、 $20 °$ B、 $25 °$ C、 $30 °$ D、 $35 °$

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3. 如图， $A D$ 是 $∠ E A C$ 的平分线， $A D ∥ B C$ ， $∠ B A C = 100 °$ ，则 $∠ C$ 的度数是（）

A、50° B、40° C、35° D、45°

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4. 如图，直线 $m ∥$ 直线n，点A在直线n上，点B在直线m上，连接 $A B$ ，过点A作 $A C ⊥ A B$ ，交直线m于点C．若 $∠ 1 = 40 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数为（　　）

A、 $30 °$ B、 $40 °$ C、 $50 °$ D、 $60 °$

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5. 如图，已知直线 $A B ∥ C D$ ， $E G$ 平分 $∠ B E F$ ， $∠ 1 = 40 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数是（）

A、 $70 °$ B、 $50 °$ C、 $40 °$ D、 $140 °$

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6. 如图，直线 $A B$ 与 $C D$ 相交于点O，则 $∠ B O D =$ （）

A、 $40 °$ B、 $50 °$ C、 $55 °$ D、 $60 °$

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7. 如图， $a ， b$ 是直尺的两边， $a ∥ b$ ，把三角板的直角顶点放在直尺的 $b$ 边上，若 $∠ 1 = 35 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数是（）

A、 $65 °$ B、 $55 °$ C、 $45 °$ D、 $35 °$

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8. 如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点 $A ， B ， C ， D ， E$ 均在小正方形方格的顶点上，线段 $A B ， C D$ 交于点 $F$ ，若 $∠ C F B = α$ ，则 $∠ A B E$ 等于（）

A、 $180 ° - α$ B、 $180 ° - 2 α$ C、 $90 ° + α$ D、 $90 ° + 2 α$

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9. 在数学活动课上，小明同学将含 $30 °$ 角的直角三角板的一个顶点按如图方式放置在直尺上，测得 $∠ 1 = 23 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数是（）．

A、 $23 °$ B、 $53 °$ C、 $60 °$ D、 $67 °$

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10. 如图， $A B ∥ C D ， A C$ 与 $B D$ 相交于点 $E$ ．若 $∠ C = 40 °$ ，则 $∠ A$ 的度数是（）

A、 $39 °$ B、 $40 °$ C、 $41 °$ D、 $42 °$

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二、填空题

11. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $B D = C D$ ， $A E ⊥ B D$ 于点E，若 $∠ C = 70 °$ ，则 $∠ B A E =$ $°$ ．

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12. 一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行40km至C港，则A，C两港之间的距离为km．

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13. 某些灯具的设计原理与抛物线有关．如图，从点 $O$ 照射到抛物线上的光线 $O A$ ， $O B$ 等反射后都沿着与 $P O Q$ 平行的方向射出．若 $∠ A O B = 150 °$ ， $∠ O B D = 90 °$ ，则 $∠ O A C =$ $°$ ．

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14. 如图，在 $△ A B C$ 中，若 $D E ∥ B C ， F G ∥ A C ， ∠ B D E = 120 ° ， ∠ D F G = 115 °$ ，则 $∠ C =$ °．

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三、解答题

15. 今年“五一”长假期间，小陈、小余同学和家长去沙滩公园游玩，坐在如图的椅子上休息时，小陈感觉很舒服，激发了她对这把椅子的好奇心，就想出个问题考考同学小余，小陈同学先测量，根据测量结果画出了图1的示意图（图2）．在图2中，已知四边形 $A B C D$ 是平行四边形，座板 $C D$ 与地面 $M N$ 平行， $△ E B C$ 是等腰三角形且 $B C = C E$ ， $∠ F B A = 114.2 °$ ，靠背 $F C = 57 c m$ ，支架 $A N = 43 c m$ ，扶手的一部分 $B E = 16.4 c m$ ．这时她问小余同学，你能算出靠背顶端 $F$ 点距地面（ $M N$ ）的高度是多少吗？请你帮小余同学算出结果（最后结果保留一位小数）．（参考数据： $s i n 65.8 ° = 0.91$ ， $c o s 65.8 ° = 0.41$ ， $t a n 65.8 ° = 2.23$ ）

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16. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A C$ 与 $B D$ 交于点 $O ， B E ⊥ A C$ ， $D F ⊥ A C$ ，垂足分别为点 $E 、 F$ ，且 $A F = C E ， ∠ B A C = ∠ D C A$ ．求证：四边形 $A B C D$ 是平行四边形．

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四、作图题

17. 如图，点E是矩形ABCD的边BC上的一点，且AE=AD．

(1)、尺规作图（请用2B铅笔）：作∠DAE的平分线AF，交BC的延长线于点F，连接DF．（保留作图痕迹，不写作法）；

(2)、试判断四边形AEFD的形状，并说明理由．

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五、综合题

18. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $D F$ 平分 $∠ A D C$ ，交 $B C$ 于点E，交 $A B$ 的延长线于点F．

(1)、求证： $A D = A F$ ；

(2)、若 $A D = 6 ， A B = 3 ， ∠ A = 120 °$ ，求 $B F$ 的长和 $△ A D F$ 的面积．

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19. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C D$ 与 $A B$ 相交于点 $E$ ．过点 $D$ 的切线 $D F ∥ A B$ ，交 $C A$ 的延长线于点 $F$ ， $C F = C D$ ．

(1)、求 $∠ F$ 的度数；

(2)、若 $D E \cdot D C = 8$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

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20. 如图，已知点A，D，C，B在同一条直线上，且 $A D = B C$ ， $A E = B F$ ， $C E = D F$ ．

(1)、求证： $A E ∥ B F$ ；

(2)、若 $D F = F C$ 时，求证：四边形 $D E C F$ 是菱形．

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21. 如图， $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $\overset{⌢}{B C} = \overset{⌢}{B D}$ ， $D E ⊥ A C$ 于点 $E$ ， $D E$ 交 $B F$ 于点 $F$ ，交 $A B$ 于点 $G$ ， $∠ B O D = 2 ∠ F$ ，连接 $B D$ ．

(1)、求证： $B F$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、判断 $△ D G B$ 的形状，并说明理由；

(3)、当 $B D = 2$ 时，求 $F G$ 的长．

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22. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，以 $A B$ 为直径的 $⊙ O$ 交 $B C$ 于点D， $D E ⊥ A C$ ，垂足为E．

(1)、求证： $D E$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $∠ C = 30 °$ ， $C D = 2 \sqrt{3}$ ，求 $\overset{⌢}{B D}$ 的长．

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23. 如图，将边长为3的正方形 $A B C D$ 沿直线 $E F$ 折叠，使点 $B$ 的对应点 $M$ 落在边 $A D$ 上（点 $M$ 不与点 $A ， D$ 重合），点 $C$ 落在点 $N$ 处， $M N$ 与 $C D$ 交于点 $P$ ，折痕分别与边 $A B$ ， $C D$ 交于点 $E ， F$ ，连接 $B M$ ．

(1)、求证： $∠ A M B = ∠ B M P$ ；

(2)、若 $D P = 1$ ，求 $M D$ 的长．

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24. 如图1，在 $⊙ O$ 中， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径，点 $C$ 为 $⊙ O$ 上一点， $A D$ 为 $∠ C A B$ 的平分线交 $⊙ O$ 于点 $D$ ，连接 $O D$ 交 $B C$ 于点 $E$ ．

(1)、求 $∠ B E D$ 的度数；

(2)、如图2，过点 $A$ 作 $⊙ O$ 的切线交 $B C$ 延长线于点 $F$ ，过点 $D$ 作 $D G ∥ A F$ 交 $A B$ 于点 $G$ ．若 $A D = 2 \sqrt{35} ， D E = 4$ ，求 $D G$ 的长．

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25. 在 $▱ A B C D$ 中， $∠ A D B = 90 °$ ，点E在 $C D$ 上，点G在 $A B$ 上，点F在 $B D$ 的延长线上，连接 $E F ， D G$ ． $∠ F E D = ∠ A D G$ ， $\frac{A D}{B D} = \frac{D G}{E F} = k$ ．

(1)、如图1，当 $k = 1$ 时，请用等式表示线段 $A G$ 与线段 $D F$ 的数量关系；

(2)、如图2，当 $k = \sqrt{3}$ 时，写出线段 $A D ， D E$ 和 $D F$ 之间的数量关系，并说明理由；

(3)、在（2）的条件下，当点G是 $A B$ 的中点时，连接 $B E$ ，求 $t a n ∠ E B F$ 的值．

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26.

(1)、用数学的眼光观察．
如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A D = B C$ ， $P$ 是对角线 $B D$ 的中点， $M$ 是 $A B$ 的中点， $N$ 是 $D C$ 的中点，求证： $∠ P M N = ∠ P N M$ ．

(2)、用数学的思维思考．
如图，延长图中的线段 $A D$ 交 $M N$ 的延长线于点 $E$ ，延长线段 $B C$ 交 $M N$ 的延长线于点 $F$ ，求证： $∠ A E M = ∠ F$ ．

(3)、用数学的语言表达．
如图，在 $△ A B C$ 中， $A C < A B$ ，点 $D$ 在 $A C$ 上， $A D = B C$ ， $M$ 是 $A B$ 的中点， $N$ 是 $D C$ 的中点，连接 $M N$ 并延长，与 $B C$ 的延长线交于点 $G$ ，连接 $G D$ ，若 $∠ A N M = 60 °$ ，试判断 $△ C G D$ 的形状，并进行证明．

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27. 已知：射线 $O P$ 平分 $∠ M O N ， A$ 为 $O P$ 上一点， $⊙ A$ 交射线 $O M$ 于点 $B ， C$ ，交射线 $O N$ 于点 $D ， E$ ，连接 $A B ， A C ， A D$ ．

(1)、如图1，若 $A D ∥ O M$ ，试判断四边形 $O B A D$ 的形状，并说明理由；

(2)、如图2，过点 $C$ 作 $C F ⊥ O M$ ，交 $O P$ 于点 $F$ ；过点 $D$ 作 $D G ⊥ O N$ ，交 $O P$ 于点 $G$ ．求证： $A G = A F$ ．

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