2023年中考数学真题分类汇编（全国版）：图形认识初步

试卷更新日期：2023-07-23 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上有重要影响．下列图形“杨辉三角”“中国七巧板”“刘微割圆术”“赵爽弦图”中，中心对称图形是（）．

A、 B、 C、 D、

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2. 下列图形中是棱锥的侧面展开图的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 如图是一正方体的表面展开图．将其折叠成正方体后，与顶点K距离最远的顶点是（　　）

A、A点 B、B点 C、C点 D、D点

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4. 如图，直线AB，CD相交于点O，若 $∠ 1 = 80 °$ ， $∠ 2 = 30 °$ ，则 $∠ A O E$ 的度数为（）

A、30° B、50° C、60° D、80°

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5. 将一副三角板按下图所示摆放在一组平行线内， $∠ 1 = 25 °$ ， $∠ 2 = 30 °$ ，则 $∠ 3$ 的度数为（）

A、55° B、65° C、70° D、75°

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6. “争创全国文明典范城市，让文明成为宜昌人民的内在气质和城市的亮丽名片”．如图，是一个正方体的平面展开图，把展开图折叠成正方体后，“城”字对面的字是（）．

A、文 B、明 C、典 D、范

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7. 如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若 $∠ 1 = 44 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数为（　　）

A、 $14 °$ B、 $16 °$ C、 $24 °$ D、 $26 °$

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8. 如图1，汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代有关物理、化学的重要文献，书中记载了我国古代学者在科学领域做过的一些探索及成就．其中所记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法，即“反射光线与入射光线、法线在同一平面上；反射光线和入射光线位于法线的两侧；反射角等于入射角”．为了探清一口深井的底部情况，运用此原理，如图在井口放置一面平面镜可改变光路，当太阳光线 $A B$ 与地面 $C D$ 所成夹角 $∠ A B C = 50 °$ 时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则需要调整平面镜 $E F$ 与地面的夹角 $∠ E B C =$ （）

A、 $60 °$ B、 $70 °$ C、 $80 °$ D、 $85 °$

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9. 下列图形中，是长方体表面展开图的是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

10. 如图，在数轴上， $O B = 1$ ，过 $O$ 作直线 $l ⊥ O B$ 于点 $O$ ，在直线 $l$ 上截取 $O A = 2$ ，且 $A$ 在 $O C$ 上方．连接 $A B$ ，以点 $B$ 为圆心， $A B$ 为半径作弧交直线 $O B$ 于点 $C$ ，则 $C$ 点的横坐标为．

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11. 若直三棱柱的上下底面为正三角形，侧面展开图是边长为 $6$ 的正方形，则该直三棱柱的表面积为．

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12. 一副三角板按如图所示放置，点A在 $D E$ 上，点F在 $B C$ 上，若 $∠ E A B = 35 °$ ，则 $∠ D F C =$ °．

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13. 如图，圆柱形玻璃杯的杯高为 $9 c m$ ，底面周长为 $16 c m$ ，在杯内壁离杯底 $4 c m$ 的点 $A$ 处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿 $1 c m$ ，且与蜂蜜相对的点 $B$ 处，则蚂蚁从外壁 $B$ 处到内壁 $A$ 处所走的最短路程为 $c m$ ．（杯壁厚度不计）

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三、作图题

14.

(1)、已知线段 $m ， n$ ，求作 $R t △ A B C$ ，使得 $∠ C = 90 ° ， C A = m ， C B = n$ ；（请用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．）

(2)、求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．（请借助上一小题所作图形，在完善的基础上，写出已知、求证与证明．）

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15. 1672年，丹麦数学家莫尔在他的著作《欧几里得作图》中指出：只用圆规可以完成一切尺规作图.1797年，意大利数学家马斯凯罗尼又独立发现此结论，并写在他的著作《圆规的几何学》中．请你利用数学家们发现的结论，完成下面的作图题：
如图，已知 $⊙ O$ ， $A$ 是 $⊙ O$ 上一点，只用圆规将 $⊙ O$ 的圆周四等分．（按如下步骤完成，保留作图痕迹）

①以点 $A$ 为圆心， $O A$ 长为半径，自点 $A$ 起，在 $⊙ O$ 上逆时针方向顺次截取 $\overset{⌢}{A B} = \overset{⌢}{B C} = \overset{⌢}{C D}$ ；

②分别以点 $A$ ，点 $D$ 为圆心， $A C$ 长为半径作弧，两弧交于 $⊙ O$ 上方点 $E$ ；

③以点 $A$ 为圆心， $O E$ 长为半径作弧交 $⊙ O$ 于 $G$ ， $H$ 两点．即点 $A$ ， $G$ ， $D$ ， $H$ 将 $⊙ O$ 的圆周四等分．

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四、综合题

16. 综合与实践
主题：制作无盖正方体形纸盒

素材：一张正方形纸板．

步骤1：如图1，将正方形纸板的边长三等分，画出九个相同的小正方形，并剪去四个角上的小正方形；

步骤2：如图2，把剪好的纸板折成无盖正方体形纸盒．

猜想与证明：

(1)、直接写出纸板上 $∠ A B C$ 与纸盒上 $∠ A_{1} B_{1} C_{1}$ 的大小关系；

(2)、证明（1）中你发现的结论．

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17. 某数学兴趣小组活动，准备将一张三角形纸片(如图)进行如下操作．并进行猜想和证明。

(1)、用三角板分别取AB，AC的中点D，E，连结DE，画AF⊥DE于点F；

(2)、用(1)中所画的三块图形经过旋转或平移拼出一个四边形(无继隙无重叠)．并用三角板画出示意图：

(3)、请判断(2)中所拼的四边形的形状，并说明理由

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18. 某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y=ax²（a＞0）型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点P到定点F（0， $\frac{1}{4 a}$ ）的距离PF，始终等于它到定直线l：y= $- \frac{1}{4 a}$ 的距离PN　（该结论不需要证明）．他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，y= $- \frac{1}{4 a}$ 叫做抛物线的准线方程．准线l与y轴的交点为H．其中原点O为FH的中点，FH=2OF= $\frac{1}{2 a}$ ．例如，抛物线y=2x² ，其焦点坐标为F（0， $\frac{1}{8}$ ），准线方程为l：y= $- \frac{1}{8}$ ，其中PF=PN，FH=2OF= $\frac{1}{4}$ ．

(1)、【基础训练】请分别直接写出抛物线y= $\frac{1}{4} x^{2}$ 的焦点坐标和准线l的方程：，；

(2)、【技能训练】如图2，已知抛物线y= $\frac{1}{4} x^{2}$ 上一点P（x₀ ， y₀）（x₀＞0）到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，求点P的坐标；

(3)、【能力提升】如图3，已知抛物线y= $\frac{1}{4} x^{2}$ 的焦点为F，准线方程为l．直线m：y= $\frac{1}{2} x - 3$ 交y轴于点C，抛物线上动点P到x轴的距离为d₁ ，到直线m的距离为d₂ ，请直接写出d₁+d₂的最小值；

(4)、【拓展延伸】该兴趣小组继续探究还发现：若将抛物线y=ax²（a＞0）平移至y=a(x-h)²+k（a＞0）．
抛物线y=a(x-h)²+k（a＞0）内有一定点F（h， $k + \frac{1}{4 a}$ ），直线l过点M（h， $k - \frac{1}{4 a}$ ）且与x轴平行．当动点P在该抛物线上运动时，点P到直线l的距离PP₁始终等于点P到点F的距离（该结论不需要证明）．例如：抛物线y=2(x-1)²+3上的动点P到点F（1， $\frac{25}{8}$ ）的距离等于点P到直线l：y= $\frac{23}{8}$ 的距离．

请阅读上面的材料，探究下题：

如图4，点D（-1， $\frac{3}{2}$ ）是第二象限内一定点，点P是抛物线y= $\frac{1}{4} x^{2}$ -1上一动点．当PO+PD取最小值时，请求出△POD的面积．

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