2023年中考数学真题分类汇编（全国版）：二次函数（4）

试卷更新日期：2023-07-23 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 已知抛物线 $y = x^{2} - 2 x - 1$ ，则当 $0 \leq x \leq 3$ 时，函数的最大值为（）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、0 D、2

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2. 抛物线 $y = - x^{2} + k x + k - \frac{5}{4}$ 与x轴的一个交点为 $A (m ， 0)$ ，若 $- 2 \leq m \leq 1$ ，则实数 $k$ 的取值范围是（）

A、 $- \frac{21}{4} \leq k \leq 1$ B、 $k \leq$ $- \frac{21}{4}$ 或 $k \geq 1$ C、 $- 5 \leq k \leq$ $\frac{9}{8}$ D、 $k \leq - 5$ 或 $k \geq$ $\frac{9}{8}$

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3. 抛物线 $y = a x^{2} - a (a \neq 0)$ 与直线 $y = k x$ 交于 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ 两点，若 $x_{1} + x_{2} < 0$ ，则直线 $y = a x + k$ 一定经过（）．

A、第一、二象限 B、第二、三象限 C、第三、四象限 D、第一、四象限

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4. 已知二次函数 $y = a x^{2} - 2 x + \frac{1}{2}$ （a为常数，且 $a > 0$ ），下列结论：
①函数图象一定经过第一、二、四象限；②函数图象一定不经过第三象限；③当 $x < 0$ 时，y随x的增大而减小；④当 $x > 0$ 时，y随x的增大而增大．
其中所有正确结论的序号是（）

A、①② B、②③ C、② D、③④

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5. 如图所示，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a 、 b 、 c$ 为常数， $a \neq 0)$ 的图象与 $x$ 轴交于点 $A (- 3 ， 0) ， B (1 ， 0)$ ．有下列结论：① $a b c > 0$ ；②若点 $(- 2 ， y_{1})$ 和 $(- 0.5 ， y_{2})$ 均在抛物线上，则 $y_{1} < y_{2}$ ；③ $5 a - b + c = 0$ ；④ $4 a + c > 0$ ．其中正确的有（　　）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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6. 如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象与x轴的一个交点坐标为 $(1 ， 0)$ ，对称轴为直线 $x = - 1$ ，下列四个结论：① $a b c < 0$ ；② $4 a - 2 b + c < 0$ ；③ $3 a + c = 0$ ；④当 $- 3 < x < 1$ 时， $a x^{2} + b x + c < 0$ ；其中正确结论的个数为（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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7. 已知点 $M (- 4 ， a - 2) ， N (- 2 ， a) ， P (2 ， a)$ 在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a < 0)$ 的图象与x轴的一个交点坐标为 $(- 1 ， 0)$ ，对称轴为直线 $x = 1$ ，下列论中：① $a - b + c = 0$ ；②若点 $(- 3 ， y_{1}) ， (2 ， y_{2}) ， (4 ， y_{3})$ 均在该二次函数图象上，则 $y_{1} < y_{2} < y_{3}$ ；③若m为任意实数，则 $a m^{2} + b m + c \leq - 4 a$ ；④方程 $a x^{2} + b x + c + 1 = 0$ 的两实数根为 $x_{1} ， x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ，则 $x_{1} < - 1 ， x_{2} > 3$ ．正确结论的序号为（）

A、①②③ B、①③④ C、②③④ D、①④

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9. 如图，要围一个矩形菜园 $A B C D$ ，共中一边 $A D$ 是墙，且 $A D$ 的长不能超过 $26 m$ ，其余的三边 $A B ， B C ， C D$ 用篱笆，且这三边的和为 $40 m$ ．有下列结论：
① $A B$ 的长可以为 $6 m$ ；
② $A B$ 的长有两个不同的值满足菜园 $A B C D$ 面积为 $192 m^{2}$ ；
③菜园 $A B C D$ 面积的最大值为 $200 m^{2}$ ．
其中，正确结论的个数是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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10. 抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象如图所示，对称轴为直线 $x = - 2$ ．下列说法：① $a b c < 0$ ；② $c - 3 a > 0$ ；③ $4 a^{2} - 2 a b ≥ a t (a t + b)$ （t为全体实数）；④若图象上存在点 $A (x_{1} ， y_{1})$ 和点 $B (x_{2} ， y_{2})$ ，当 $m < x_{1} < x_{2} < m + 3$ 时，满足 $y_{1} = y_{2}$ ，则m的取值范围为 $- 5 < m < - 2$ ．其中正确的个数有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

11. 如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是 $y = - \frac{1}{12} (x - 10) (x + 4)$ ，则铅球推出的距离 $O A =$ m．

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12. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，一个图形上的点都在一边平行于 $x$ 轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形.例如：如图，函数 $y =$ $(x - 2)^{2} (0 ⩽ x ⩽ 3)$ 的图象（抛物线中的实线部分），它的关联矩形为矩形 $O A B C$ .若二次函数 $y = \frac{1}{4} x^{2} + b x + c (0 ⩽ x ⩽ 3)$ 图象的关联矩形恰好也是矩形 $O A B C$ ，则 $b =$ .

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三、综合题

13. 某课外科技活动小组研制了一种航模飞机．通过实验，收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离

x

（单位：

m

）以、飞行高度

y

（单位：

m

）随飞行时间

t

（单位：

s

）变化的数据如下表．

飞行时间 $t / s$	2	4	6	8	…
飞行水平距离 $x / m$	10	20	30	40	…
飞行高度 $y / m$	22	40	54	64	…

探究发现： $x$ 与 $t$ ， $y$ 与 $t$ 之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述．直接写出 $x$ 关于 $t$ 的函数解析式和 $y$ 关于 $t$ 的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）．

问题解决：如图，活动小组在水平安全线上 $A$ 处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机．根据上面的探究发现解决下列问题．

(1)、若发射平台相对于安全线的高度为0m，求飞机落到安全线时飞行的水平距离；

(2)、在安全线上设置回收区域

M N ， A M = 125 m ， M N = 5 m

．若飞机落到

M N

内（不包括端点

M ， N

），求发射平台相对于安全线的高度的变化范围．

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14. 设二次函数

y = a x^{2} + b x + 1

，（

a \neq 0

，

b

是实数）．已知函数值

y

和自变量

x

的部分对应取值如下表所示：

$x$	…	$- 1$	0	1	2	3	…
$y$	…	$m$	1	$n$	1	$p$	…

(1)、若

m = 4

，求二次函数的表达式；

(2)、写出一个符合条件的

x

的取值范围，使得

y

随

x

的增大而减小．

(3)、若在m、n、p这三个实数中，只有一个是正数，求

a

的取值范围．

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15. 抛物线 $C_{1} ： y = x^{2} - 2 x - 8$ 交 $x$ 轴于 $A ， B$ 两点（ $A$ 在 $B$ 的左边），交 $y$ 轴于点 $C$ ．

(1)、直接写出 $A ， B ， C$ 三点的坐标；

(2)、如图（1），作直线 $x = t (0 < t < 4)$ ，分别交 $x$ 轴，线段 $B C$ ，抛物线 $C_{1}$ 于 $D ， E ， F$ 三点，连接 $C F$ ．若 $△ B D E$ 与 $△ C E F$ 相似，求 $t$ 的值；

(3)、如图（2），将抛物线 $C_{1}$ 平移得到抛物线 $C_{2}$ ，其顶点为原点．直线 $y = 2 x$ 与抛物线 $C_{2}$ 交于 $O ， G$ 两点，过 $O G$ 的中点 $H$ 作直线 $M N$ （异于直线 $O G$ ）交抛物线 $C_{2}$ 于 $M ， N$ 两点，直线 $M O$ 与直线 $G N$ 交于点 $P$ ．问点 $P$ 是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由．

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16. 如图，已知 $A (0 ， 2) ， B (2 ， 0)$ ．点E位于第二象限且在直线 $y = - 2 x$ 上， $∠ E O D = 90 °$ ， $O D = O E$ ，连接 $A B ， D E ， A E ， D B$ ．

(1)、直接判断 $△ A O B$ 的形状： $△ A O B$ 是三角形；

(2)、求证： $△ A O E ≌ △ B O D$ ；

(3)、直线EA交x轴于点 $C (t ， 0) ， t > 2$ ．将经过B，C两点的抛物线 $y_{1} = a x^{2} + b x - 4$ 向左平移2个单位，得到抛物线 $y_{2}$ ．
①若直线 $E A$ 与抛物线 $y_{1}$ 有唯一交点，求t的值；

②若抛物线 $y_{2}$ 的顶点P在直线 $E A$ 上，求t的值；

③将抛物线 $y_{2}$ 再向下平移， $\frac{2}{(t - 1)^{2}}$ 个单位，得到抛物线 $y_{3}$ ．若点D在抛物线 $y_{3}$ 上，求点D的坐标．

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17.

(1)、【建立模型】如图 $1$ ，点 $B$ 是线段 $C D$ 上的一点， $A C ⊥ B C$ ， $A B ⊥ B E$ ， $E D ⊥ B D$ ，垂足分别为 $C$ ， $B$ ， $D$ ， $A B = B E$ ．求证： $△ A C B ≌ △ B D E$ ；

(2)、【类比迁移】如图 $2$ ，一次函数 $y = 3 x + 3$ 的图象与 $y$ 轴交于点 $A$ 、与 $x$ 轴交于点 $B$ ，将线段 $A B$ 绕点 $B$ 逆时针旋转 $90 °$ 得到 $B C$ 、直线 $A C$ 交 $x$ 轴于点 $D$ ．
①求点 $C$ 的坐标；
②求直线 $A C$ 的解析式；

(3)、【拓展延伸】如图 $3$ ，抛物线 $y = x^{2} - 3 x - 4$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点 $($ 点 $A$ 在点 $B$ 的左侧 $)$ ，与 $y$ 轴交于 $C$ 点，已知点 $Q (0$ ， $- 1)$ ，连接 $B Q$ ．抛物线上是否存在点 $M$ ，使得 $t a n ∠ M B Q = \frac{1}{3}$ ，若存在，求出点 $M$ 的横坐标．

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18. 如图，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 经过 $A (- 1 ， 0) ， C (0 ， 3)$ 两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与轴交于点D．

(1)、求该抛物线的表达式；

(2)、若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求 $M H + D H$ 的最小值；

(3)、若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

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19. 如图，已知抛物线 $y = a x^{2} - 2 a x + 3$ 与x轴交于点 $A (- 1 ， 0)$ 和点B，与y轴交于点C，连接 $A C$ ，过B、C两点作直线．

(1)、求a的值．

(2)、将直线 $B C$ 向下平移 $m (m > 0)$ 个单位长度，交抛物线于 $B^{'}$ 、 $C^{'}$ 两点．在直线 $B^{^{'}} C^{^{'}}$ 上方的抛物线上是否存在定点D，无论m取何值时，都是点D到直线 $B^{^{'}} C^{^{'}}$ 的距离最大，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

(3)、抛物线上是否存在点P，使 $∠ P B C + ∠ A C O = 45 °$ ，若存在，请求出直线 $B P$ 的解析式；若不存在，请说明理由．

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20. 如图一所示，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + b x - 8$ 与 $x$ 轴交于 $A (- 4 ， 0) 、 B (2 ， 0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

(1)、求抛物线的函数表达式及顶点坐标；

(2)、点 $P$ 为第三象限内抛物线上一点，作直线 $A C$ ，连接 $P A$ 、 $P C$ ，求 $△ P A C$ 面积的最大值及此时点 $P$ 的坐标；

(3)、设直线 $l_{1} ： y = k x + k - \frac{35}{4}$ 交抛物线于点 $M$ 、 $N$ ，求证：无论 $k$ 为何值，平行于 $x$ 轴的直线 $l_{2} ： y = - \frac{37}{4}$ 上总存在一点 $E$ ，使得 $∠ M E N$ 为直角．

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21. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 5$ 与 $x$ 轴交于 $A ， B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C ， A B = 4$ ．抛物线的对称轴 $x = 3$ 与经过点 $A$ 的直线 $y = k x - 1$ 交于点 $D$ ，与 $x$ 轴交于点 $E$ ．

(1)、求直线 $A D$ 及抛物线的表达式；

(2)、在抛物线上是否存在点 $M$ ，使得 $△ A D M$ 是以 $A D$ 为直角边的直角三角形?若存在，求出所有点 $M$ 的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)、以点 $B$ 为圆心，画半径为2的圆，点 $P$ 为 $⊙ B$ 上一个动点，请求出 $P C + \frac{1}{2} P A$ 的最小值．

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22. 如图1，抛物线 $y = - x^{2} + b x$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ，与直线 $y = - x$ 交于点 $B (4 ， - 4)$ ，点 $C (0 ， - 4)$ 在 $y$ 轴上．点 $P$ 从点 $B$ 出发，沿线段 $B O$ 方向匀速运动，运动到点 $O$ 时停止．

(1)、求抛物线 $y = - x^{2} + b x$ 的表达式；

(2)、当 $B P = 2 \sqrt{2}$ 时，请在图1中过点 $P$ 作 $P D ⊥ O A$ 交抛物线于点 $D$ ，连接 $P C$ ， $O D$ ，判断四边形 $O C P D$ 的形状，并说明理由．

(3)、如图2，点 $P$ 从点 $B$ 开始运动时，点 $Q$ 从点 $O$ 同时出发，以与点 $P$ 相同的速度沿 $x$ 轴正方向匀速运动，点 $P$ 停止运动时点 $Q$ 也停止运动．连接 $B Q$ ， $P C$ ，求 $C P + B Q$ 的最小值．

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23. 如图，二次函数 $y = x^{2} - 6 x + 8$ 的图像与 $x$ 轴分别交于点 $A ， B$ （点A在点 $B$ 的左侧），直线 $l$ 是对称轴．点 $P$ 在函数图象上，其横坐标大于4，连接 $P A ， P B$ ，过点 $P$ 作 $P M ⊥ l$ ，垂足为 $M$ ，以点 $M$ 为圆心，作半径为 $r$ 的圆， $P T$ 与 $⊙ M$ 相切，切点为 $T$ ．

(1)、求点 $A ， B$ 的坐标；

(2)、若以 $⊙ M$ 的切线长 $P T$ 为边长的正方形的面积与 $△ P A B$ 的面积相等，且 $⊙ M$ 不经过点 $(3 ， 2)$ ，求 $P M$ 长的取值范围．

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24. 已知抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ $(b$ ， $c$ 为常数， $c > 1$ $)$ 的顶点为 $P$ ，与 $x$ 轴相交于 $A$ ， $B$ 两点 $($ 点 $A$ 在点 $B$ 的左侧 $)$ ，与 $y$ 轴相交于点 $C$ ，抛物线上的点 $M$ 的横坐标为 $m$ ，且 $- c < m < \frac{b}{2}$ ，过点 $M$ 作 $M N ⊥ A C$ ，垂足为 $N$ ．

(1)、若 $b = - 2 ， c = 3$ ．
①求点 $P$ 和点 $A$ 的坐标；
②当 $M N = \sqrt{2}$ 时，求点 $M$ 的坐标；

(2)、若点 $A$ 的坐标为 $(- c ， 0)$ ，且 $M P ∥ A C$ ，当 $A N + 3 M N = 9 \sqrt{2}$ 时，求点 $M$ 的坐标．

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25. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点A在y轴正半轴上．

(1)、如果四个点 $(0 ， 0) 、 (0 ， 2) 、 (1 ， 1) 、 (- 1 ， 1)$ 中恰有三个点在二次函数 $y = a x^{2}$ （a为常数，且 $a \neq 0$ ）的图象上．
① $a =$ ▲ ；
②如图1，已知菱形 $A B C D$ 的顶点B、C、D在该二次函数的图象上，且 $A D ⊥ y$ 轴，求菱形的边长；
③如图2，已知正方形 $A B C D$ 的顶点B、D在该二次函数的图象上，点B、D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，试探究 $n - m$ 是否为定值．如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由．

(2)、已知正方形 $A B C D$ 的顶点B、D在二次函数 $y = a x^{2}$ （a为常数，且 $a > 0$ ）的图象上，点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，直接写出m、n满足的等量关系式．

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26. 如图，二次函数 $y = x^{2} + b x + c$ 的图象交 $x$ 轴于点 $A ， B$ ，交 $y$ 轴于点 $C$ ，点 $B$ 的坐标为 $(1 ， 0)$ ，对称轴是直线 $x = - 1$ ，点 $P$ 是 $x$ 轴上一动点， $P M ⊥ x$ 轴，交直线 $A C$ 于点 $M$ ，交抛物线于点 $N$ ．

(1)、求这个二次函数的解析式．

(2)、若点 $P$ 在线段 $A O$ 上运动（点 $P$ 与点 $A$ 、点 $O$ 不重合），求四边形 $A B C N$ 面积的最大值，并求出此时点 $P$ 的坐标．

(3)、若点 $P$ 在 $x$ 轴上运动，则在 $y$ 轴上是否存在点 $Q$ ，使以 $M$ 、 $N 、 C 、 Q$ 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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