2023年中考数学真题分类汇编（全国版）：二次函数（3）

试卷更新日期：2023-07-23 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 已知 $m > n > 0$ ，若关于x的方程 $x^{2} + 2 x - 3 - m = 0$ 的解为 $x_{1} ， x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ．关于x的方程 $x^{2} + 2 x - 3 - n = 0$ 的解为 $x_{3} ， x_{4} (x_{3} < x_{4})$ ．则下列结论正确的是（）

A、 $x_{3} < x_{1} < x_{2} < x_{4}$ B、 $x_{1} < x_{3} < x_{4} < x_{2}$ C、 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ D、 $x_{3} < x_{4} < x_{1} < x_{2}$

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2. 已知点 $A (x_{1} ， y_{1})$ 在直线 $y = 3 x + 19$ 上，点 $B (x_{2} ， y_{2}) ， C (x_{3} ， y_{3})$ 在抛物线 $y = x^{2} + 4 x - 1$ 上，若 $y_{1} = y_{2} = y_{3}$ 且 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，则 $x_{1} + x_{2} + x_{3}$ 的取值范围是（）

A、 $- 12 < x_{1} + x_{2} + x_{3} < - 9$ B、 $- 8 < x_{1} + x_{2} + x_{3} < - 6$ C、 $- 9 < x_{1} + x_{2} + x_{3} < 0$ D、 $- 6 < x_{1} + x_{2} + x_{3} < 1$

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3. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a$ ， $b$ ， $c$ 是常数且 $a < 0$ ）过 $(- 1 ， 0)$ 和 $(m ， 0)$ 两点，且 $3 < m < 4$ ，下列四个结论： $① a b c > 0$ ； $② 3 a + c > 0$ ； $③$ 若抛物线过点 $(1 ， 4)$ ，则 $- 1 < a < - \frac{2}{3}$ ； $④$ 关于 $x$ 的方程 $a (x + 1) (x - m) = 3$ 有实数根，则其中正确的结论有（　　）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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4. 如图，已知开口向下的抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与x轴交于点 $(6 ， 0)$ ，对称轴为直线 $x = 2$ ．则下列结论正确的有（）
① $a b c < 0$ ；

② $a - b + c > 0$ ；

③方程 $c x^{2} + b x + a = 0$ 的两个根为 $x_{1} = \frac{1}{2} ， x_{2} = - \frac{1}{6}$ ；

④抛物线上有两点 $P (x_{1} ， y_{1})$ 和 $Q (x_{2} ， y_{2})$ ，若 $x_{1} < 2 < x_{2}$ 且 $x_{1} + x_{2} > 4$ ，则 $y_{1} < y_{2}$ ．

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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5. 设二次函数 $y = a (x - m) (x - m - k) (a > 0 ， m ， k$ 是实数 $)$ ，则（）

A、当 $k = 2$ 时，函数 $y$ 的最小值为 $- a$ B、当 $k = 2$ 时，函数 $y$ 的最小值为 $- 2 a$ C、当 $k = 4$ 时，函数 $y$ 的最小值为 $- a$ D、当 $k = 4$ 时，函数 $y$ 的最小值为 $- 2 a$

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6. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 的顶点 $A$ 的坐标为 $(- \frac{1}{2} ， m)$ ，与 $x$ 轴的一个交点位于0合和1之间，则以下结论：① $a b c > 0$ ；② $2 b + c > 0$ ；③若图象经过点 $(- 3 ， y_{1}) ， (3 ， y_{2})$ ，则 $y_{1} > y_{2}$ ；④若关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c - 3 = 0$ 无实数根，则 $m < 3$ ．其中正确结论的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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7. 如图，在平面直角坐标系中，直线 $y_{1} = m x + n$ 与抛物线 $y_{2} = a x^{2} + b x - 3$ 相交于点 $A$ ， $B$ ．结合图象，判断下列结论：①当 $- 2 < x < 3$ 时， $y_{1} > y_{2}$ ；② $x = 3$ 是方程 $a x^{2} + b x - 3 = 0$ 的一个解；③若 $(- 1 ， t_{1})$ ， $(4 ， t_{2})$ 是抛物线上的两点，则 $t_{1} < t_{2}$ ；④对于抛物线， $y_{2} = a x^{2} + b x - 3$ ，当 $- 2 < x < 3$ 时， $y_{2}$ 的取值范围是 $0 < y_{2} < 5$ ．其中正确结论的个数是（）

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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8. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象如图所示，对称轴是直线 $x = 1$ ，下列结论：① $a b c < 0$ ；②方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ （ $a \neq 0$ ）必有一个根大于2且小于3；③若 $(0 ， y_{1}) ， (\frac{3}{2} ， y_{2})$ 是抛物线上的两点，那么 $y_{1} < y_{2}$ ；④ $11 a + 2 c > 0$ ；⑤对于任意实数m，都有 $m (a m + b) \geq a + b$ ，其中正确结论的个数是（　　）

A、5 B、4 C、3 D、2

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二、填空题

9. 要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为 $1 m$ 处达到最高，高度为 $3 m$ ，水柱落地处离池中心 $3 m$ ，水管长度应为．

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10. 已知抛物线 $y = a x^{2} - 2 a x + b (a > 0)$ 经过 $A (2 n + 3 ， y_{1}) ， B (n - 1 ， y_{2})$ 两点，若 $A ， B$ 分别位于抛物线对称轴的两侧，且 $y_{1} < y_{2}$ ，则 $n$ 的取值范围是．

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11. 抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a ， b ， c$ 是常数， $c < 0$ ）经过 $(1 ， 1) ， (m ， 0) ， (n ， 0)$ 三点，且 $n \geq 3$ ．下列四个结论：
① $b < 0$ ；

② $4 a c - b^{2} < 4 a$ ；

③当 $n = 3$ 时，若点 $(2 ， t)$ 在该抛物线上，则 $t > 1$ ；

④若关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = x$ 有两个相等的实数根，则 $0 < m \leq \frac{1}{3}$ ．

其中正确的是（填写序号）．

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三、解答题

12. 如图，抛物线 $y = - \frac{4}{3} x^{2} + b x + 4$ 与x轴交于 $A (- 3 ， 0)$ ， $B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

(1)、求抛物线解析式及 $B$ ， $C$ 两点坐标；

(2)、以 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 为顶点的四边形是平行四边形，求点 $D$ 坐标；

(3)、该抛物线对称轴上是否存在点 $E$ ，使得 $∠ A C E = 45 °$ ，若存在，求出点 $E$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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四、综合题

13. 某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为 $48 m^{3}$ ，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求价出了两个设计方案 $.$ 现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示：
方案一，抛物线型拱门的跨度 $O N = 12 m$ ，拱高 $P E = 4 m .$ 其中，点 $N$ 在 $x$ 轴上， $P E ⊥ O N$ ， $O E = E N$ ．

方案二，抛物线型拱门的跨度 $O N' = 8 m$ ，拱高 $P' E' = 6 m .$ 其中，点 $N'$ 在 $x$ 轴上， $P' E' ⊥ O' N'$ ， $O' E' = E' N'$ ．

要在拱门中设置高为 $3 m$ 的矩形框架，其面积越大越好 $($ 框架的粗细忽略不计 $) .$ 方案一中，矩形框架 $A B C D$ 的面积记为 $S_{1}$ ，点 $A$ 、 $D$ 在抛物线上，边 $B C$ 在 $O N$ 上；方案二中，矩形框架 $A' B' C' D'$ 的面积记为 $S_{2}$ ，点 $A'$ ， $D'$ 在抛物线上，边 $B' C'$ 在 $O N'$ 上 $.$ 现知，小华已正确求出方案二中，当 $A' B' = 3 m$ 时， $S_{2} = 12 \sqrt{2} m^{2}$ ，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题：

(1)、求方案一中抛物线的函数表达式；

(2)、在方案一中，当 $A B = 3 m$ 时，求矩形框架 $A B C D$ 的面积 $S_{1}$ 并比较 $S_{1}$ ， $S_{2}$ 的大小．

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14. “端午节”吃粽子是中国传统习俗，在“端午节”来临前，某超市购进一种品牌粽子，每盒进价是40元，并规定每盒售价不得少于50元，日销售量不低于350盒，根据以往销售经验发现，当每盒售价定为50元时，日销售量为500盒，每盒售价每提高1元，日销售量减少10盒，设每盒售价为x元，日销售量为p盒．

(1)、当 $x = 60$ 时， $p =$ ；

(2)、当每盒售价定为多少元时，日销售利润W（元）最大？最大利润是多少？

(3)、小强说：“当日销售利润最大时，日销售额不是最大，”小红说：“当日销售利润不低于8000元时，每盒售价x的范围为 $60 \leq x \leq 80$ ． ”你认为他们的说法正确吗？若正确，请说明理由；若不正确，请直接写出正确的结论．

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15. 为了振兴乡村经济，增加村民收入，某村委会干部带领村民在网上直播推销农产品，在试销售的30天中，第x天（ $1 \leq x \leq 30$ 且x为整数）的售价p（元/千克）与x的函数关系式 $p = {\begin{array}{l} m x + n (1 \leq x < 20) \\ 30 (20 \leq x \leq 30) \end{array}$ （且x为整数），销量q（千克）与x的函数关系式为 $q = x + 10$ ，已知第5天售价为50元/千克，第10天售价为40元/千克，设第x天的销售额为W元

(1)、 $m =$ ， $n =$ ；

(2)、求第x天的销售额W元与x之间的函数关系式；

(3)、在试销售的30天中，销售额超过1000元的共有多少天？

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16. 已知：y关于x的函数 $y = (a - 2) x^{2} + (a + 1) x + b$ ．

(1)、若函数的图象与坐标轴有两个公共点，且 $a = 4 b$ ，则a的值是；

(2)、如图，若函数的图象为抛物线，与x轴有两个公共点A（-2，0），B（4，0），并与动直线l： $x = m (0 < m < 4)$ 交于点P，连接PA，PB，PC，BC，其中PA交y轴于点D，交BC于点E．设△PBE的面积为 $S_{1}^{}$ ， △CDE的面积为 $S_{2}^{}$ ．
①当点P为抛物线顶点时，求△PBC的面积；

②探究直线l在运动过程中， $S_{1}^{}$ － $S_{2}^{}$ 是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．

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17. 如图①，抛物线 $y = a x^{2} + b x - 9$ 与x轴交于点 $A (- 3 ， 0)$ ， $B (6 ， 0)$ ，与y轴交于点C，连接AC，BC.点P是x轴上任意一点．

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、点Q在抛物线上，若以点A，C，P，Q为顶点，AC为一边的四边形为平行四边形时，求点Q的坐标；

(3)、如图②，当点 $P (m ， 0)$ 从点A出发沿x轴向点B运动时（点P与点A，B不重合），自点P分别作 $P E ∥ B C$ ，交AC于点E，作 $P D ⊥ B C$ ，垂足为点D．当m为何值时， $△ P E D$ 面积最大，并求出最大值．

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18. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + 4$ 与 $x$ 轴相交于点 $A (1 ， 0)$ ， $B (4 ， 0)$ ，与 $y$ 轴相交于点 $C$ ．

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、如图1，点 $P$ 是抛物线的对称轴 $l$ 上的一个动点，当 $△ P A C$ 的周长最小时，求 $\frac{P A}{P C}$ 的值；

(3)、如图2，取线段 $O C$ 的中点 $D$ ，在抛物线上是否存在点 $Q$ ，使 $t a n ∠ Q D B = \frac{1}{2}$ ？若存在，求出点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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19. 如图，在平面直角坐标系中，菱形 $O A B C$ 的一边 $O C$ 在 $x$ 轴正半轴上，顶点 $A$ 的坐标为 $(2 ， 2 \sqrt{3})$ ，点 $D$ 是边 $O C$ 上的动点，过点 $D$ 作 $D E$ $⊥$ $O B$ 交边 $O A$ 于点 $E$ ，作 $D F ∥ O B$ 交边 $B C$ 于点 $F$ ，连接 $E F$ ．设 $O D = x ， △ D E F$ 的面积为 $S$ ．

(1)、求 $S$ 关于 $x$ 的函数解析式；

(2)、当 $x$ 取何值时， $S$ 的值最大？请求出最大值．

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20. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + x + c$ 经过点 $A (- 2 ， 0)$ 和点 $B (4 ， 0)$ ，且与直线 $l ： y = - x - 1$ 交于 $D 、 E$ 两点（点 $D$ 在点 $E$ 的右侧），点 $M$ 为直线 $l$ 上的一动点，设点 $M$ 的横坐标为 $t$ ．

(1)、求抛物线的解析式．

(2)、过点 $M$ 作 $x$ 轴的垂线，与拋物线交于点 $N$ ．若 $0 < t < 4$ ，求 $△ N E D$ 面积的最大值．

(3)、抛物线与 $y$ 轴交于点 $C$ ，点 $R$ 为平面直角坐标系上一点，若以 $B 、 C 、 M 、 R$ 为顶点的四边形是菱形，请求出所有满足条件的点 $R$ 的坐标．

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21. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a > 0)$ ．

(1)、若 $a = 1 ， c = - 1$ ，且该二次函数的图象过点 $(2 ， 0)$ ，求 $b$ 的值；

(2)、如图所示，在平面直角坐标系 $O x y$ 中，该二次函数的图象与 $x$ 轴交于点 $A (x_{1} ， 0) ， B (x_{2} ， 0)$ ，且 $x_{1} < 0 < x_{2}$ ，点D在 $⊙ O$ 上且在第二象限内，点 $E$ 在 $x$ 轴正半轴上，连接 $D E$ ，且线段 $D E$ 交 $y$ 轴正半轴于点 $F$ ， $∠ D O F = ∠ D E O ， O F = \frac{3}{2} D F$ ．

①求证： $\frac{D O}{E O} = \frac{2}{3}$ ．
②当点 $E$ 在线段 $O B$ 上，且 $B E = 1$ ． $⊙ O$ 的半径长为线段 $O A$ 的长度的 $2$ 倍，若 $4 a c = - a^{2} - b^{2}$ ，求 $2 a + b$ 的值．

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22. 如图，二次函数 $y = - x^{2} + 4 x$ 的图象与 $x$ 轴的正半轴交于点A，经过点A的直线与该函数图象交于点 $B (1 ， 3)$ ，与 $y$ 轴交于点C．

(1)、求直线 $A B$ 的函数表达式及点C的坐标；

(2)、点 $P$ 是第一象限内二次函数图象上的一个动点，过点 $P$ 作直线 $P E ⊥ x$ 轴于点 $E$ ，与直线 $A B$ 交于点D，设点 $P$ 的横坐标为 $m$ ．
①当 $P D = \frac{1}{2} O C$ 时，求 $m$ 的值；

②当点 $P$ 在直线 $A B$ 上方时，连接 $O P$ ，过点 $B$ 作 $B Q ⊥ x$ 轴于点 $Q$ ， $B Q$ 与 $O P$ 交于点 $F$ ，连接 $D F$ ．设四边形 $F Q E D$ 的面积为 $S$ ，求 $S$ 关于 $m$ 的函数表达式，并求出S的最大值．

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23. 如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + 4$ 的图象与x轴交于点 $A (- 2 ， 0)$ ， $B (4 ， 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、已知 $E$ 为抛物线上一点， $F$ 为抛物线对称轴 $l$ 上一点，以 $B$ ， $E$ ， $F$ 为顶点的三角形是等腰直角三角形，且 $∠ B F E = 90 °$ ，求出点 $F$ 的坐标；

(3)、如图 $2$ ， $P$ 为第一象限内抛物线上一点，连接 $A P$ 交 $y$ 轴于点 $M$ ，连接 $B P$ 并延长交 $y$ 轴于点 $N$ ，在点 $P$ 运动过程中， $O M + \frac{1}{2} O N$ 是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

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24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与x轴交于 $B (4 ， 0)$ ， $C (- 2 ， 0)$ 两点．与y轴交于点 $A (0 ， - 2)$ ．

(1)、求该抛物线的函数表达式；

(2)、若点P是直线 $A B$ 下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交 $A B$ 于点K，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求与 $\frac{1}{2} P K + P D$ 的最大值及此时点P的坐标；

(3)、在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得 $△ M A B$ 是以 $A B$ 为一条直角边的直角三角形：若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．

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25. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + 3$ 交 $x$ 轴于 $A (1 ， 0) ， B (3 ， 0)$ 两点， $M$ 为抛物线的顶点， $C ， D$ 为抛物线上不与 $A ， B$ 重合的相异两点，记 $A B$ 中点为 $E$ ，直线 $A D ， B C$ 的交点为 $P$ ．

(1)、求抛物线的函数表达式；

(2)、若 $C (4 ， 3) ， D (m ， - \frac{3}{4})$ ，且 $m < 2$ ，求证： $C ， D ， E$ 三点共线；

(3)、小明研究发现：无论 $C ， D$ 在抛物线上如何运动，只要 $C ， D ， E$ 三点共线， $△ A M P ， △ M E P ， △ A B P$ 中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由．

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26. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + 8$ 过点 $B (4 ， 8)$ 和点 $C (8 ， 4)$ ，与 $y$ 轴交于点 $A$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、如图1，连接 $A B ， B C$ ，点 $D$ 在线段 $A B$ 上（与点 $A ， B$ 不重合），点 $F$ 是 $O A$ 的中点，连接 $F D$ ，过点 $D$ 作 $D E ⊥ F D$ 交 $B C$ 于点 $E$ ，连接 $E F$ ，当 $△ D E F$ 面积是 $△ A D F$ 面积的3倍时，求点 $D$ 的坐标；

(3)、如图2，点 $P$ 是抛物线上对称轴右侧的点， $H (m ， 0)$ 是 $x$ 轴正半轴上的动点，若线段 $O B$ 上存在点 $G$ （与点 $O ， B$ 不重合），使得 $∠ G B P = ∠ H G P = ∠ B O H$ ，求 $m$ 的取值范围．

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27. 如图1，平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 过点 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (2 ， 0)$ 和 $C (0 ， 2)$ ，连接 $B C$ ，点 $P (m ， n)$ $(m > 0)$ 为抛物线上一动点，过点 $P$ 作 $P N ⊥ x$ 轴交直线 $B C$ 于点 $M$ ，交 $x$ 轴于点 $N$ ．

(1)、直接写出抛物线和直线 $B C$ 的解析式；

(2)、如图2，连接 $O M$ ，当 $△ O C M$ 为等腰三角形时，求 $m$ 的值；

(3)、当 $P$ 点在运动过程中，在 $y$ 轴上是否存在点 $Q$ ，使得以 $O$ ， $P$ ， $Q$ 为顶点的三角形与以 $B$ ， $C$ ， $N$ 为顶点的三角形相似（其中点 $P$ 与点 $C$ 相对应），若存在，直接写出点 $P$ 和点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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