2023年中考数学真题分类汇编（全国版）：二次函数（2）

试卷更新日期：2023-07-23 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 二次函数 $y = a x^{2} + b x$ 的图象如图所示，则一次函数 $y = x + b$ 的图象一定不经过（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + c$ 经过正方形 $O A B C$ 的三个顶点A，B，C，点B在 $y$ 轴上，则 $a c$ 的值为（）

A、 $- 1$ B、 $- 2$ C、 $- 3$ D、 $- 4$

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3. 如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 图象的一部分与x轴的一个交点坐标为 $(3 ， 0)$ ，对称轴为直线 $x = 1$ ，结合图象给出下列结论：

① $a b c > 0$ ；② $b = 2 a$ ；③ $3 a + c = 0$ ；

④关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c + k^{2} = 0 (a \neq 0)$ 有两个不相等的实数根；

⑤若点 $(m ， y_{1})$ ， $(- m + 2 ， y_{2})$ 均在该二次函数图象上，则 $y_{1} = y_{2}$ .其中正确结论的个数是（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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4. 在平面直角坐标系中，二次函数 $y = x^{2} + m x + m^{2} - m (m$ 为常数 $)$ 的图象经过点 $(0 ， 6)$ ，其对称轴在 $y$ 轴左侧，则该二次函数有（）

A、最大值 $5$ B、最大值 $\frac{15}{4}$ C、最小值 $5$ D、最小值 $\frac{15}{4}$

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5. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的部分图象如图所示，图象经过点 $(0 ， 2)$ ，其对称轴为直线 $x = - 1$ ．下列结论：① $3 a + c > 0$ ；②若点 $(- 4 ， y_{1})$ ， $(3 ， y_{2})$ 均在二次函数图象上，则 $y_{1} > y_{2}$ ；③关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = - 1$ 有两个相等的实数根；④满足 $a x^{2} + b x + c > 2$ 的x的取值范围为 $- 2 < x < 0$ ．其中正确结论的个数为（）．

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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6. 已知 $P_{1} (x_{1} ， y_{1}) ， P_{2} (x_{2} ， y_{2})$ 是抛物线 $y = a x^{2} + 4 a x + 3$ （a是常数， $a \neq 0)$ 上的点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴是直线 $x = - 2$ ；②点 $(0 ， 3)$ 在抛物线上；③若 $x_{1} > x_{2} > - 2$ ，则 $y_{1} > y_{2}$ ；④若 $y_{1} = y_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2} = - 2$ 其中，正确结论的个数为（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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7. 如图所示，直线l为二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图像的对称轴，则下列说法正确的是（）

A、b恒大于0 B、a，b同号 C、a，b异号 D、以上说法都不对

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8. 拋物线 $y = a x^{2} + b x + c (a < 0)$ 与 $x$ 轴相交于点 $A (- 3 ， 0) ， B (1 ， 0)$ ．下列结论：
① $a b c < 0$ ；② $b^{2} - 4 a c > 0$ ；③ $3 b + 2 c = 0$ ；④若点 $P (m - 2 ， y_{1}) ， Q (m ， y_{2})$ 在抛物线上，且 $y_{1} < y_{2}$ ，则 $m \leq - 1$ ．其中正确的结论有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

9. 已知二次函数 $y = - a x^{2} + 2 a x + 3 (a > 0)$ ，若点 $P (m ， 3)$ 在该函数的图象上，且 $m \neq 0$ ，则 $m$ 的值为.

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10. 抛物线 $y = x^{2} - 6 x + c$ 与 $x$ 轴只有一个交点，则 $c =$ ．

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11. 二次函数 $y = a (x - 1) (x - 5) (a > \frac{1}{2})$ 的图像与x轴交于点 $A$ 、 $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，过点 $M (3 ， 1)$ 的直线将 $△ A B C$ 分成两部分，这两部分是三角形或梯形，且面积相等，则 $a$ 的值为．

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三、解答题

12. 【问题背景】

“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置．

【实验操作】

综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表：

流水时间t/min	0	10	20	30	40
水面高度h/cm（观察值）	30	29	28.1	27	25.8

任务1 分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量．

【建立模型】

小组讨论发现：“ $t = 0$ ， $h = 30$ ”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系．

任务2 利用 $t = 0$ 时， $h = 30$ ； $t = 10$ 时， $h = 29$ 这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式．

【反思优化】

经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差．小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小．

任务3 ⑴计算任务2得到的函数解析式的w值．

⑵请确定经过 $(0 ， 30)$ 的一次函数解析式，使得w的值最小．

【设计刻度】

得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间．

任务4 请你简要写出时间刻度的设计方案．

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四、综合题

13. 如图①，是一座抛物线型拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在 $C$ 处，对称轴 $O C$ 与水平线 $O A$ 垂直， $O C = 9$ ，点 $A$ 在抛物线上，且点 $A$ 到对称轴的距离 $O A = 3$ ，点 $B$ 在抛物线上，点 $B$ 到对称轴的距离是1．

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、如图②，为更加稳固，小星想在 $O C$ 上找一点 $P$ ，加装拉杆 $P A ， P B$ ，同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小星找到点 $P$ 的位置并求出坐标；

(3)、为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其表达式为 $y = - x^{2} + 2 b x + b - 1 (b > 0)$ ，当 $4 \leq x \leq 6$ 时，函数 $y$ 的值总大于等于9．求 $b$ 的取值范围．

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14. 乒乓球被誉为中国国球.2023年的世界乒乓球标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．如图，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度

O A

为

28.75

c m

的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分．

乒乓球到球台的竖直高度记为 $y$ （单位： $c m$ ），乒乓球运行的水平距离记为 $x$ （单位： $c m$ ）．测得如下数据：

水平距离x/ $c m$	$0$	$10$	$50$	$90$	$130$	$170$	$230$
竖直高度y/ $c m$	$28.75$	$33$	$45$	$49$	$45$	$33$	$0$

(1)、在平面直角坐标系

x O y

中，描出表格中各组数值所对应的点

(x ， y)

，并画出表示乒乓球运行轨迹形状的大致图象；

(2)、①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是

c m

，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是

c m

；

②求满足条件的抛物线解析式；

(3)、技术分析：如果只上下调整击球高度

O A

，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出

O A

的取值范围，以利于有针对性的训练．如图②．乒乓球台长

O B

为274

c m

，球网高

C D

为15.25

c m

．现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球离度

O A

的值约为1.27

c m

．请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度

O A

的值（乒乓球大小忽略不计）．

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15. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 3$ 与 $x$ 轴交于 $A (- 3 ， 0) ， B (1 ， 0)$ 两点，交 $y$ 轴于点 $C$ ．

(1)、求抛物线的解析式．

(2)、拋物线上是否存在一点 $P$ ，使得 $S_{△ P B C} = \frac{1}{2} S_{△ A B C}$ ，若存在，请直接写出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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16. 小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析．
如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网AB与y轴的水平距离 $O A = 3$ m， $C A = 2$ m，击球点P在y轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足一次函数关系 $y = - 0.4 x + 2.8$ ；若选择吊球，羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足二次函数关系 $y = a {(x - 1)}^{2} + 3.2$ ．

(1)、求点P的坐标和a的值．

(2)、小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式．

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17. 如图，二次函数的图象与x轴交于 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (5 ， 0)$ 两点，与y轴交于点C，顶点为D．O为坐标原点， $t a n ∠ A C O = \frac{1}{5}$ ．

(1)、求二次函数的表达式；

(2)、求四边形 $A C D B$ 的面积；

(3)、P是抛物线上的一点，且在第一象限内，若 $∠ A C O = ∠ P B C$ ，求P点的坐标．

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18. 随着科技的发展，扫地机器人已广泛应用于生活中。某公司推出一款新型扫地机器人，经统计该产品2022年每个月的销售情况发现，每台的销售价格随销售月份的变化而变化.设该产品2022年第 $x$ ( $x$ 为整数)个月每台的销售价格为 $y$ (单位：元)， $y$ 与 $x$ 的函数关系如图所示(图中ABC为一折线).

(1)、当1≤ $x$ ≤10时，求每台的销售价格 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式；

(2)、设该产品2022年第 $x$ 个月的销售数量为 $m$ (单位：万台)， $m$ 与 $x$ 的关系可以用 $m = \frac{1}{10} x + 1$ 来描述.求哪个月的销售收入最多，最多为多少万元？
(销售收入=每台的销售价格 $\times$ 销售数量)

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19. 蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它的出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形ABCD和抛物线AED构成，其中AB=3m，BC=4m，取BC中点O，过点O作线段BC的垂直平分线OE交抛物线AED于点E，若以O点为原点，BC所在直线为x轴，OE为y轴建立如图所示平面直角坐标系．

请回答下列问题：

(1)、如图，抛物线 $A E D$ 的顶点 $E (0 ， 4)$ ，求抛物线的解析式；

(2)、如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置 $L F G T$ ， $S M N R$ ，若 $F L = N R = 0.75 m$ ，求两个正方形装置的间距 $G M$ 的长；

(3)、如图，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，此时大棚截面的阴影为 $B K$ ，求 $B K$ 的长．

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20. 如图，直线 $y = - x + 4$ 交 $x$ 轴于点 $B$ ，交 $y$ 轴于点 $C$ ，对称轴为 $x = \frac{3}{2}$ 的抛物线经过 $B ， C$ 两点，交 $x$ 轴负半轴于点 $A$ ． $P$ 为抛物线上一动点，点 $P$ 的横坐标为 $m$ ，过点 $P$ 作 $x$ 轴的平行线交抛物线于另一点 $M$ ，作 $x$ 轴的垂线 $P N$ ，垂足为 $N$ ，直线 $M N$ 交 $y$ 轴于点 $D$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、若 $0 < m < \frac{3}{2}$ ，当 $m$ 为何值时，四边形 $C D N P$ 是平行四边形？

(3)、若 $m < \frac{3}{2}$ ，设直线 $M N$ 交直线 $B C$ 于点 $E$ ，是否存在这样的 $m$ 值，使 $M N = 2 M E$ ？若存在，求出此时 $m$ 的值；若不存在，请说明理由．

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21. 在平面直角坐标系 $x O y$ 内，抛物线 $y = - a x^{2} + 5 a x + 2 (a > 0)$ 交y轴于点C，过点C作x轴的平行线交该抛物线于点D．

(1)、求点C，D的坐标；

(2)、当 $a = \frac{1}{3}$ 时，如图1，该抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），点P为直线 $A D$ 上方抛物线上一点，将直线 $P D$ 沿直线 $A D$ 翻折，交x轴于点 $M (4 ， 0)$ ，求点P的坐标；

(3)、坐标平面内有两点 $E (\frac{1}{a} ， a + 1) ， F (5 ， a + 1)$ ，以线段 $E F$ 为边向上作正方形 $E F G H$ ．
①若 $a = 1$ ，求正方形 $E F G H$ 的边与抛物线的所有交点坐标；

②当正方形 $E F G H$ 的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为 $\frac{5}{2}$ 时，求a的值．

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22. 如图，抛物线过点 $O (0 ， 0)$ ， $E (10 ， 0)$ ，矩形 $A B C D$ 的边 $A B$ 在线段 $O E$ 上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上，设 $B (t ， 0)$ ，当 $t = 2$ 时， $B C = 4$ ．

(1)、求抛物线的函数表达式；

(2)、当t为何值时，矩形 $A B C D$ 的周长有最大值？最大值是多少？

(3)、保持 $t = 2$ 时的矩形 $A B C D$ 不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线 $G H$ 平分矩形 $A B C D$ 的面积时，求抛物线平移的距离．

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23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = - x^{2} + 2 x + c$ 经过点 $A (0 ， 1)$ ．点 $P$ ， $Q$ 在此抛物线上，其横坐标分别为 $m ， 2 m (m > 0)$ ，连接 $A P$ ， $A Q$ ．

(1)、求此抛物线的解析式．

(2)、当点 $Q$ 与此抛物线的顶点重合时，求 $m$ 的值．

(3)、当 $∠ P A Q$ 的边与 $x$ 轴平行时，求点 $P$ 与点 $Q$ 的纵坐标的差．

(4)、设此抛物线在点A与点P之间部分（包括点A和点P）的最高点与最低点的纵坐标的差为 $h_{1}$ ，在点 $A$ 与点 $Q$ 之间部分（包括点 $A$ 和点 $Q$ ）的最高点与最低点的纵坐标的差为 $h_{2}$ ．当 $h_{2} - h_{1} = m$ 时，直接写出 $m$ 的值．

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24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = - x^{2} + 3 x + 1$ 交 $y$ 轴于点 $A$ ，直线 $y = - \frac{1}{3} x + 2$ 交抛物线于B，C两点（点B在点 $C$ 的左侧），交 $y$ 轴于点 $D$ ，交 $x$ 轴于点 $E$ .

(1)、求点D，E，C的坐标；

(2)、F是线段OE上一点 $(O F < E F)$ ，连接AF，DF，CF，且 $A F^{2} + E F^{2} = 21$ .
①求证： $△ D F C$ 是直角三角形；

② $∠ D F C$ 的平分线FK交线段DC于点K，P是直线BC上方抛物线上一动点，当 $3 t a n ∠ P F K = 1$ 时，求点 $P$ 的坐标.

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25. 综合与探究
如图，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 上的点A，C坐标分别为 $(0 ， 2)$ ， $(4 ， 0)$ ，抛物线与x轴负半轴交于点B，点M为y轴负半轴上一点，且 $O M = 2$ ，连接AC，CM.

(1)、求点M的坐标及抛物线的解析式；

(2)、点P是抛物线位于第一象限图象上的动点，连接AP，CP，当 $S_{△ P A C} = S_{△ A C M}$ 时，求点P的坐标；

(3)、点D是线段BC（包含点B，C）上的动点，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点Q，交直线CM于点N，若以点Q，N，C为顶点的三角形与 $△ C O M$ 相似，请直接写出点Q的坐标；

(4)、将抛物线沿x轴的负方向平移得到新抛物线，点A的对应点为点 $A^{'}$ ，点C的对应点为点 $C^{'}$ ，在抛物线平移过程中，当 $M A^{'} + M C^{'}$ 的值最小时，新抛物线的顶点坐标为， $M A^{'} + M C^{'}$ 的最小值为.

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26. 如图，抛物线 $y_{1} = a x^{2} + b x + c$ 的图象经过 $A (- 6 ， 0)$ ， $B (- 2 ， 0)$ ， $C (0 ， 6)$ 三点，且一次函数 $y = k x + 6$ 的图象经过点B.

(1)、求抛物线和一次函数的解析式.

(2)、点E，F为平面内两点，若以E、F、B、C为顶点的四边形是正方形，且点E在点F的左侧.这样的E，F两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点E的坐标：如果不存在，请说明理由.

(3)、将抛物线 $y_{1} = a x^{2} + b x + c$ 的图象向右平移8个单位长度得到抛物线 $y_{2}$ ，此抛物线的图象与x轴交于M，N两点（M点在N点左侧）.点P是抛物线 $y_{2}$ 上的一个动点且在直线 $N C$ 下方.已知点P的横坐标为m.过点P作 $P D ⊥ N C$ 于点D.求m为何值时， $C D + \frac{1}{2} P D$ 有最大值，最大值是多少？

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