2023年中考数学真题分类汇编（全国版）：二次函数（1）

试卷更新日期：2023-07-23 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 如图．抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 与x轴交于点 $A (- 3 ， 0)$ 和点 $B (1 ， 0)$ ，与y轴交于点C．下列说法：① $a b c < 0$ ；②抛物线的对称轴为直线 $x = - 1$ ；③当 $- 3 < x < 0$ 时， $a x^{2} + b x + c > 0$ ；④当 $x > 1$ 时，y随x的增大而增大；⑤ $a m^{2} + b m \leq a - b$ （m为任意实数）其中正确的个数是（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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2. 已知二次函数 $y = - 3 {(x - 2)}^{2} - 3$ ，下列说法正确的是（）

A、对称轴为 $x = - 2$ B、顶点坐标为 $(2 ， 3)$ C、函数的最大值是－3 D、函数的最小值是－3

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3. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $y = a x^{2} + b x (a \neq 0)$ ，满足 ${\begin{array}{l} 3 a + b > 0 \\ a + b < 0 \end{array}$ ，已知点 $(- 3 ， m)$ ， $(2 ， n)$ ， $(4 ， t)$ 在该抛物线上，则m，n，t的大小关系为（）

A、 $t < n < m$ B、 $m < t < n$ C、 $n < t < m$ D、 $n < m < t$

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4. 已知，二次数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象如图所示，则点 $P (a ， b)$ 所在的象限是（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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5. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，对称轴为直线 $x = - 1$ ，若点A的坐标为 $(- 4 ， 0)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $2 a + b = 0$ B、 $4 a - 2 b + c > 0$ C、 $x = 2$ 是关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的一个根 D、点 $(x_{1} ， y_{1})$ ， $(x_{2} ， y_{2})$ 在抛物线上，当 $x_{1} > x_{2} > - 1$ 时 $y_{1} < y_{2} < 0$

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6. 如图，已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x=1，且过点（-1，0），顶点在第一象限，其部分图象如图所示．给出以下结论：①ab<0；②4a+2b+c>0；③3a+c>0；④若A（ $x_{1}$ ， $y_{1}$ ），B（ $x_{2}$ ， $y_{2}$ ）（其中 $x_{1}$ ＜ $x_{2}$ ）是抛物线上的两点，且 $x_{1}$ + $x_{2}$ ＞2，则 $y_{1}$ ＞ $y_{2}$ ，其中正确的选项是（）

A、①②③ B、①③④ C、②③④ D、①②④

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7. 在平面直角坐标系中，将二次函数 $y = (x + 1)^{2} + 3$ 的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为（）

A、 $y = (x + 3)^{2} + 2$ B、 $y = (x - 1)^{2} + 2$ C、 $y = (x - 1)^{2} + 4$ D、 $y = (x + 3)^{2} + 4$

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8. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ， $∠ D A B = 30 °$ ， $∠ A D C = 60 ° ， B C = C D = 2$ ，若线段 $M N$ 在边 $A D$ 上运动，且 $M N = 1$ ，则 $B M^{2} + 2 B N^{2}$ 的最小值是（）

A、 $\frac{13}{2}$ B、 $\frac{29}{3}$ C、 $\frac{39}{4}$ D、10

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二、解答题

9. 城建部门计划修建一条喷泉步行通道．图1是项目俯视示意图．步行通道的一侧是一排垂直于路面的柱形喷水装置，另一侧是方形水池．图2是主视示意图．喷水装置 $O A$ 的高度是2米，水流从喷头A处喷出后呈抛物线路径落入水池内，当水流在与喷头水平距离为2米时达到最高点B，此时距路面的最大高度为3.6米．为避免溅起的水雾影响通道上的行人，计划安装一个透明的倾斜防水罩，防水罩的一端固定在喷水装置上的点 $M$ 处，另一端与路面的垂直高度 $N C$ 为1.8米，且与喷泉水流的水平距离 $N D$ 为0.3米．点 $C$ 到水池外壁的水平距离 $C E = 0.6$ 米，求步行通道的宽 $O E$ ．（结果精确到0.1米）参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.41$

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三、综合题

10. 加强劳动教育，落实五育并举．孝礼中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地.2023年计划将其中 $1000 m^{2}$ 的土地全部种植甲乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜种植成本y（单位；元/ $m^{2}$ ）与其种植面积x（单位： $m^{2}$ ）的函数关系如图所示，其中 $200 \leq x \leq 700$ ；乙种蔬菜的种植成本为50元/ $m^{2}$ ．

(1)、当 $x =$ $m^{2}$ 时， $y = 35$ 元/ $m^{2}$ ；

(2)、设2023年甲乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？

(3)、学校计划今后每年在这 $1000 m^{2}$ 土地上，均按（2）中方案种植蔬菜，因技术改进，预计种植成本逐年下降，若甲种蔬菜种植成本平均每年下降 $10 %$ ，乙种蔬菜种植成本平均每年下降 $a %$ ，当a为何值时，2025年的总种植成本为 $28920$ 元？

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11. 某大型超市购进一款热销的消毒洗衣液，由于原材料价格上涨，今年每瓶洗衣液的进价比去年每瓶洗衣液的进价上涨4元，今年用1440元购进这款洗衣液的数量与去年用1200元购进这款洗衣液的数量相同．当每瓶洗衣液的现售价为36元时，每周可卖出600瓶，为了能薄利多销．该超市决定降价销售，经市场调查发现，这种洗衣液的售价每降价1元，每周的销量可增加100瓶，规定这种消毒洗衣液每瓶的售价不低于进价．

(1)、求今年这款消毒洗衣液每瓶进价是多少元；

(2)、当这款消毒洗衣液每瓶的售价定为多少元时，这款洗衣液每周的销售利润最大？最大利润是多少元？

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12. 某景区旅游商店以 $20$ 元 $/ k g$ 的价格采购一款旅游食品加工后出售，销售价格不低于 $22$ 元 $/ g$ ，不高于 $45$ 元 $g$ ，经市场调查发现每天的销售量 $y (k g)$ 与销售价格 $x$ （元 $g$ ）之间的函数关系如图所示．

(1)、求 $y$ 关于 $x$ 的函数表达式：

(2)、当销售价格定为多少时，该商店销售这款食品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？【销售利润=（销售价格一采购价格）×销售量】

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13. 一名运动员在 $10 m$ 高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面 $O B$ 的高度 $y (m)$ 与离起跳点A的水平距离 $x (m)$ 之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离为 $1 m$ 时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为 $3 m$ 时离水面的距离为 $7 m$ ．

(1)、求y关于x的函数表达式；

(2)、求运动员从起跳点到入水点的水平距离 $O B$ 的长．

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14. 如图，正方形纸片 $A B C D$ 的边长为4，将它剪去4个全等的直角三角形，得到四边形 $E F G H$ ．设 $A E$ 的长为 $x$ ，四边形 $E F G H$ 的面积为 $y$ ．

(1)、求 $y$ 关于 $x$ 的函数表达式；

(2)、当 $A E$ 取何值时，四边形 $E F G H$ 的面积为10？

(3)、四边形 $E F G H$ 的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．

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15. 某商店销售某种商品的进价为每件30元，这种商品在近60天中的日销售价与日销售量的相关信息如下表：

	时间：第x（天）
	$1 \leq x \leq 30$	$31 \leq x \leq 60$
日销售价（元/件）	$0.5 x + 35$	50
日销售量（件）	$124 - 2 x$

（ $1 \leq x \leq 60$ ， x为整数）

设该商品的日销售利润为w元．

(1)、直接写出w与x的函数关系式；

(2)、该商品在第几天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？

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16. 定义：在平面直角坐标系 $x O y$ 中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”．

(1)、如图①，矩形 $A B C D$ 的顶点坐标分别是 $A (- 1 ， 2)$ ， $B (- 1 ， - 1)$ ， $C (3 ， - 1)$ ， $D (3 ， 2)$ ，在点 $M_{1} (1 ， 1)$ ， $M_{2} (2 ， 2)$ ， $M_{3} (3 ， 3)$ 中，是矩形 $A B C D$ “梦之点”的是；

(2)、点 $G (2 ， 2)$ 是反比例函数 $y_{1} = \frac{k}{x}$ 图象上的一个“梦之点”，则该函数图象上的另一个“梦之点”H的坐标是，直线 $G H$ 的解析式是 $y_{2} =$ ．当 $y_{1} > y_{2}$ 时，x的取值范围是．

(3)、如图②，已知点A，B是抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + x + \frac{9}{2}$ 上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点，连接 $A C$ ， $A B$ ， $B C$ ，判断 $△ A B C$ 的形状，并说明理由．

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17. 已知抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ 与x轴交于 $A ， B (4 ， 0)$ 两点，与y轴交于点 $C (0 ， 2)$ ，点P为第一象限抛物线上的点，连接 $C A ， C B ， P B ， P C$ ．

(1)、直接写出结果； $b =$ ， $c =$ ，点A的坐标为， $t a n ∠ A B C =$ ；

(2)、如图1，当 $∠ P C B = 2 ∠ O C A$ 时，求点P的坐标；

(3)、如图2，点D在y轴负半轴上， $O D = O B$ ，点Q为抛物线上一点， $∠ Q B D = 90 °$ ，点E，F分别为 $△ B D Q$ 的边 $D Q ， D B$ 上的动点， $Q E = D F$ ，记 $B E + Q F$ 的最小值为m．
①求m的值；

②设 $△ P C B$ 的面积为S，若 $S = \frac{1}{4} m^{2} - k$ ，请直接写出k的取值范围．

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18. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $C_{1} ： y = x^{2}$ 上有两点 $A 、 B$ ，其中点 $A$ 的横坐标为 $- 2$ ，点 $B$ 的横坐标为 $1$ ，抛物线 $C_{2} ： y = - x^{2} + b x + c$ 过点 $A 、 B$ ．过 $A$ 作 $A C ∥ x$ 轴交抛物线 $C_{1}$ 另一点为点 $C$ ．以 $A C 、 \frac{1}{2} A C$ 长为边向上构造矩形 $A C D E$ ．

(1)、求抛物线 $C_{2}$ 的解析式；

(2)、将矩形 $A C D E$ 向左平移 $m$ 个单位，向下平移 $n$ 个单位得到矩形 $A^{'} C^{'} D^{'} E^{'}$ ，点 $C$ 的对应点 $C^{'}$ 落在抛物线 $C_{1}$ 上．
①求 $n$ 关于 $m$ 的函数关系式，并直接写出自变量 $m$ 的取值范围；

②直线 $A^{'} E^{'}$ 交抛物线 $C_{1}$ 于点 $P$ ，交抛物线 $C_{2}$ 于点 $Q$ ．当点 $E^{'}$ 为线段 $P Q$ 的中点时，求 $m$ 的值；

③抛物线 $C_{2}$ 与边 $E^{'} D^{'} 、 A^{'} C^{'}$ 分别相交于点 $M 、 N$ ，点 $M 、 N$ 在抛物线 $C_{2}$ 的对称轴同侧，当 $M N = \frac{2 \sqrt{10}}{3}$ 时，求点 $C^{'}$ 的坐标．

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19. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x - 1 (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴交于点 $A (1 ， 0)$ 和点 $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，抛物线的对称轴交 $x$ 轴于点 $D (3 ， 0)$ ，过点 $B$ 作直线 $l ⊥ x$ 轴，过点 $D$ 作 $D E ⊥ C D$ ，交直线 $l$ 于点 $E$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、如图，点 $P$ 为第三象限内抛物线上的点，连接 $C E$ 和 $B P$ 交于点 $Q$ ，当 $\frac{B Q}{P Q} = \frac{5}{7}$ 时．求点 $P$ 的坐标；

(3)、在（2）的条件下，连接 $A C$ ，在直线 $B P$ 上是否存在点 $F$ ，使得 $∠ D E F = ∠ A C D + ∠ B E D$ ？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

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20. 我们约定：若关于x的二次函数 $y_{1} = a_{1} x^{2} + b_{1} x + c_{1}$ 与 $y_{2} = a_{2} x^{2} + b_{2} x + c_{2}$ 同时满足 $\sqrt{a_{2} - c_{1}} + （ b_{2} + b_{1} ）^{2} + | c_{2} - a_{1} | = 0 ， b_{1} - {b_{2}}^{2023} \neq 0$ ，则称函数 $y_{1}$ 与函数 $y_{2}$ 互为“美美与共”函数．根据该约定，解答下列问题：

(1)、若关于x的二次函数 $y_{1} = 2 x^{2} + k x + 3$ 与 $y_{2} = m x^{2} + x + n$ 互为“美美与共”函数，求k，m，n的值；

(2)、对于任意非零实数r，s，点 $P (r ， t)$ 与点 $Q (s ， t) (r \neq s)$ 始终在关于x的函数 $y_{1} = x^{2} + 2 r x + s$ 的图像上运动，函数 $y_{1}$ 与 $y_{2}$ 互为“美美与共”函数．
①求函数 $y_{2}$ 的图像的对称轴；
②函数 $y_{2}$ 的图像是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由；

(3)、在同一平面直角坐标系中，若关于x的二次函数 $y_{1} = a x^{2} + b x + c$ 与它的“美美与共”函数 $y_{2}$ 的图像顶点分别为点A，点B，函数 $y_{1}$ 的图像与x轴交于不同两点C，D，函数 $y_{2}$ 的图像与x轴交于不同两点E，F．当 $C D = E F$ 时，以A，B，C，D为顶点的四边形能否为正方形？若能，求出该正方形面积的取值范围；若不请说明理由．

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21. 已知二次函数 $y = \frac{\sqrt{2}}{2} (x^{2} + b x + c)$ 的图像与 $y$ 轴交于点 $A$ ，且经过点 $B (4 ， \sqrt{2})$ 和点 $C (- 1 ， \sqrt{2})$ ．

(1)、请直接写出 $b$ ， $c$ 的值；

(2)、直线 $B C$ 交 $y$ 轴于点 $D$ ，点 $E$ 是二次函数 $y = \frac{\sqrt{2}}{2} (x^{2} + b x + c)$ 图像上位于直线 $A B$ 下方的动点，过点 $E$ 作直线 $A B$ 的垂线，垂足为 $F$ ．
①求 $E F$ 的最大值；

②若 $△ A E F$ 中有一个内角是 $∠ A B C$ 的两倍，求点 $E$ 的横坐标．

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22. 如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象与x轴交于点 $A (- 2 ， 0)$ 和点 $B (6 ， 0)$ 两点，与y轴交于点 $C (0 ， 6)$ ．点D为线段 $B C$ 上的一动点．

(1)、求二次函数的表达式；

(2)、如图1，求 $△ A O D$ 周长的最小值；

(3)、如图2，过动点D作 $D P ∥ A C$ 交抛物线第一象限部分于点P，连接 $P A ， P B$ ，记 $△ P A D$ 与 $△ P B D$ 的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值．

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23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $L_{1}$ 交 $x$ 轴于点 $A (1 ， 0) ， C (5 ， 0)$ ，顶点坐标为 $E (m_{1} ， k)$ ．抛物线 $L_{2}$ 交 $x$ 轴于点 $B (2 ， 0) ， D (10 ， 0)$ ，顶点坐标为 $F (m_{2} ， k)$ ．

(1)、连接 $E F$ ，求线段 $E F$ 的长；

(2)、点 $M (- 7 ， d_{1})$ 在抛物线 $L_{1}$ 上，点 $N (16 ， d_{2})$ 在抛物线 $L_{2}$ 上．比较大小： $d_{1}$ $d_{2}$ ；

(3)、若点 $P (n + 3 ， f_{1}) ， Q (2 n - 1 ， f_{2})$ 在抛物线 $L_{1}$ 上， $f_{1} < f_{2}$ ，求 $n$ 的取值范围．

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24. 如图，在平而直角坐标系中，二次函数 $y = - \sqrt{3} x^{2} + 2 \sqrt{3} x$ 的图象与 $x$ 轴分别交于点 $O ， A$ ，顶点为 $B$ ．连接 $O B ， A B$ ，将线段 $A B$ 绕点 $A$ 按顺时针方向旋转 $60 °$ 得到线段 $A C$ ，连接 $B C$ ．点 $D ， E$ 分别在线段 $O B ， B C$ 上，连接 $A D ， D E ， E A ， D E$ 与 $A B$ 交于点 $F ， ∠ D E A = 60 °$ ．

(1)、求点 $A ， B$ 的坐标；

(2)、随着点 $E$ 线段 $B C$ 上运动．
① $∠ E D A$ 的大小是否发生变化？请说明理由；

②线段 $B F$ 的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由；

(3)、当线段 $D E$ 的中点在该二次函数的因象的对称轴上时， $△ B D E$ 的面积为．

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25. 如图1，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知抛物线 $y = a x^{2} + b x - 6 (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴交于点 $A (- 2 ， 0) ， B (6 ， 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，顶点为 $D$ ，连接 $B C$ ．

(1)、抛物线的解析式为；（直接写出结果）

(2)、在图1中，连接 $A C$ 并延长交 $B D$ 的延长线于点 $E$ ，求 $∠ C E B$ 的度数；

(3)、如图2，若动直线 $l$ 与抛物线交于 $M ， N$ 两点（直线 $l$ 与 $B C$ 不重合），连接 $C N ， B M$ ，直线 $C N$ 与 $B M$ 交于点 $P$ ．当 $M N ∥ B C$ 时，点 $P$ 的横坐标是否为定值，请说明理由．

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