2023年中考数学真题分类汇编（全国版）：一次方程（4）

试卷更新日期：2023-07-23 类型：二轮复习

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一、填空题

1. 如图，直线 $y = k x - 2 k + 3$ （k为常数， $k < 0$ ）与x，y轴分别交于点A，B，则 $\frac{2}{O A} + \frac{3}{O B}$ 的值是．

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二、综合题

2. 如图，一次函数图象与反比例函数图象交于点 $A (- 1 ， 6)$ ， $B (\frac{3}{a} ， a - 3)$ ，与x轴交于点C，与y轴交于点D．

(1)、求反比例函数与一次函数的解析式；

(2)、点M在x轴上，若 $S_{△ O A M} = S_{△ O A B}$ ，求点M的坐标．

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3. 某工厂计划从A，B两种产品中选择一种生产并销售，每日产销x件．已知A产品成本价m元/件（m为常数，且 $4 \leq m \leq 6$ ，售价8元/件，每日最多产销500件，同时每日共支付专利费30元；B产品成本价12元/件，售价20元/件，每日最多产销300件，同时每日支付专利费y元，y（元）与每日产销x（件）满足关系式 $y = 80 + 0.01 x^{2 .}$

(1)、若产销A，B两种产品的日利润分别为 $w_{1}$ 元， $w_{2}$ 元，请分别写出 $w_{1}$ ， $w_{2}$ 与x的函数关系式，并写出x的取值范围；

(2)、分别求出产销A，B两种产品的最大日利润．（A产品的最大日利润用含m的代数式表示）

(3)、为获得最大日利润，该工厂应该选择产销哪种产品？并说明理由．【利润 $=$ （售价 $-$ 成本） $\times$ 产销数量 $-$ 专利费】

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4. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $y = k x + b$ 与x轴交于点 $A (4 ， 0)$ ，与y轴交于点 $B (0 ， 2)$ ，与反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 在第四象限内的图象交于点 $C (6 ， a)$ ．

(1)、求反比例函数的表达式：

(2)、当 $k x + b > \frac{m}{x}$ 时，直接写出x的取值范围；

(3)、在双曲线 $y = \frac{m}{x}$ 上是否存在点P，使 $△ A B P$ 是以点A为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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5. 如图，在直角坐标系中，点 $A (2 ， m)$ 在直线 $y = 2 x - \frac{5}{2}$ 上，过点 $A$ 的直线交 $y$ 轴于点 $B (0 ， 3)$ .

(1)、求m的值和直线AB的函数表达式。

(2)、若点 $P (t ， y_{1})$ 在线段AB上，点 $Q (t - 1 ， y_{2})$ 在直线 $y = 2 x - \frac{5}{2}$ 上，求 $y_{1} - y_{2}$ 的最大值.

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6. 一条笔直的路上依次有 $M ， P ， N$ 三地，其中 $M ， N$ 两地相距1000米.甲、乙两机器人分别从 $M ， N$ 两地同时出发，去目的地 $N ， M$ ，匀速而行.图中 $O A ， B C$ 分别表示甲、乙机器人离 $M$ 地的距离 $y$ （米）与行走时间 $x$ （分钟）的函数关系图象.

(1)、求 $O A$ 所在直线的表达式.

(2)、出发后甲机器人行走多少时间，与乙机器人相遇？

(3)、甲机器人到 $Р$ 地后，再经过1分钟乙机器人也到 $Р$ 地，求 $P ， M$ 两地间的距离．

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7. 如图，一次函数 $y = k_{1} x + b$ 的图像与反比例函数 $y = \frac{k_{2}}{x}$ 的图像交于 $A (- 4 ， 1)$ ， $B (m ， 4)$ 两点．（ $k_{1}$ ， $k_{2}$ ， $b$ 为常数）

(1)、求一次函数和反比例函数的解析式；

(2)、根据图像直接写出不等式 $k_{1} x + b > \frac{k_{2}}{x}$ 的解集；

(3)、 $P$ 为 $y$ 轴上一点，若 $△ P A B$ 的面积为 $3$ ，求 $P$ 点的坐标．

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8. 如图，一次函数 $y = k x + b$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{4}{x}$ 的图象交于点 $A (m ， 4)$ ，与x轴交于点B，与y轴交于点 $C (0 ， 3)$ ．

(1)、求m的值和一次函数的表达式；

(2)、已知P为反比例函数 $y = \frac{4}{x}$ 图象上的一点， $S_{△ O B P} = 2 S_{△ O A C}$ ，求点P的坐标．

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9. 某校与部队联合开展红色之旅研学活动，上午7：00，部队官兵乘坐军车从营地出发，同时学校师生乘坐大巴从学校出发，沿公路（如图1）到爱国主义教育基地进行研学，上午8：00，军车在离营地 $60 k m$ 地方追上大巴并继续前行，到达仓库后，部队官兵下车领取研学物资，然后乘坐军车按原速前行，最后和师生同时到达基地，军车和大巴离营地的路程s（km）与所用时间t（h）的函数关系如图2所示．

(1)、求大巴离营地的路程s与所用时间t的函数表达式及a的值，

(2)、求部队官兵在仓库领取物资所用的时间．

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10. 2023年7月28日至8月8日，第31届世界大学生运动会将在成都举行. “当好东道主，热情迎嘉宾”，成都某知名小吃店计划购买A，B两种食材制作小吃. 已知购买1千克A种食材和1千克B种食材共需68元，购买5千克A种食材和3千克B种食材共需280元.

(1)、求A，B两种食材的单价；

(2)、该小吃店计划购买两种食材共36千克，其中购买A种食材千克数不少于B种食材千克数的2倍，当A，B两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用.

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11. 如图，点 $A (2 ， 4)$ 在反比例函数 $y_{1} = \frac{m}{x}$ 图象上．一次函数 $y_{2} = k x + b$ 的图象经过点A，分别交x轴，y轴于点B，C，且 $△ O A C$ 与 $△ O B C$ 的面积比为 $2 ： 1$ ．

(1)、求反比例函数和一次函数的解析式；

(2)、请直接写出 $y_{1} \geq y_{2}$ 时，x的取值范围．

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12. 如图， $△ A B C$ 是边长为4的等边三角形，动点E，F分别以每秒1个单位长度的速度同时从点A出发，点E沿折线 $A \to B \to C$ 方向运动，点F沿折线 $A \to C \to B$ 方向运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为t秒，点E，F的距离为y．

(1)、请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围；

(2)、在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；

(3)、结合函数图象，写出点E，F相距3个单位长度时t的值．

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13. 我市“共富工坊"问梅借力，某公司产品销售量得到大幅提升．为促进生产，公司提供了两种付给员工月报酬的方案，如图所示，员工可以任选一种方案与公司签订合同，看图解答下列问题：

(1)、直接写出员工生产多少件产品时，两种方案付给的报酬一样多；

(2)、求方案二y关于x的函数表达式；

(3)、如果你是劳务服务部门的工作人员，你如何指导员工根据自己的生产能力选择方案.

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14. 在平面直角坐标系中，已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与x轴交于点 $A (- 3 ， 0) ， B (1 ， 0)$ 两点，与y轴交于点 $C (0 ， 3)$ ，点P是抛物线上的一个动点．

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、当点P在直线 $A C$ 上方的抛物线上时，连接 $B P$ 交 $A C$ 于点D．如图1．当 $\frac{P D}{D B}$ 的值最大时，求点P的坐标及 $\frac{P D}{D B}$ 的最大值；

(3)、过点P作x轴的垂线交直线 $A C$ 于点M，连接 $P C$ ，将 $△ P C M$ 沿直线 $P C$ 翻折，当点M的对应点 $M'$ 恰好落在y轴上时，请直接写出此时点M的坐标．

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15. 在平面直角坐标系中， $O$ 为坐标原点，抛物线 $y = \frac{1}{4} x^{2} + b x + c$ 经过点 $O (0$ ， $0)$ ，对称轴过点 $B (2$ ， $0)$ ，直线 $l$ 过点 $C (2 ， - 2)$ ，且垂直于 $y$ 轴．过点 $B$ 的直线 $l_{1}$ 交抛物线于点 $M$ 、 $N$ ，交直线 $l$ 于点 $Q$ ，其中点 $M$ 、Q在抛物线对称轴的左侧．
(1)求抛物线的解析式；

(1)、如图1，当 $B M ： M Q = 3 ： 5$ 时，求点 $N$ 的坐标；

(2)、如图2，当点 $Q$ 恰好在 $y$ 轴上时， $P$ 为直线 $l_{1}$ 下方的抛物线上一动点，连接 $P Q$ 、 $P O$ ，其中 $P O$ 交 $l_{1}$ 于点 $E$ ，设 $△ O Q E$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ P Q E$ 的面积为 $S_{2}$ ．求 $\frac{S_{2}}{S_{1}}$ 的最大值．

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16. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 过点 $A (- 1 ， 0) ， B (3 ， 0) ， C (0 ， 3)$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、设点 $P$ 是直线 $B C$ 上方抛物线上一点，求出 $△ P B C$ 的最大面积及此时点 $P$ 的坐标；

(3)、若点 $M$ 是抛物线对称轴上一动点，点 $N$ 为坐标平面内一点，是否存在以 $B C$ 为边，点 $B 、 C 、 M 、 N$ 为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点 $N$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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17. 阅读理解题：
阅读材料：

如图1，四边形 $A B C D$ 是矩形， $△ A E F$ 是等腰直角三角形，记 $∠ B A E$ 为 $α$ 、 $∠ F A D$ 为 $β$ ，若 $t a n α = \frac{1}{2}$ ，则 $t a n β = \frac{1}{3}$ ．

证明：设 $B E = k$ ， ∵ $t a n α = \frac{1}{2}$ ， ∴ $A B = 2 k$ ，

易证 $△ A E B ≌ △ E F C (A A S)$

∴ $E C = 2 k ， C F = k$ ，

∴ $F D = k ， A D = 3 k$

∴ $t a n β = \frac{D F}{A D} = \frac{k}{3 k} = \frac{1}{3}$ ，

若 $α + β = 45 °$ 时，当 $t a n α = \frac{1}{2}$ ，则 $t a n β = \frac{1}{3}$ ．

同理：若 $α + β = 45 °$ 时，当 $t a n α = \frac{1}{3}$ ，则 $t a n β = \frac{1}{2}$ ．

根据上述材料，完成下列问题：

如图2，直线 $y = 3 x - 9$ 与反比例函数 $y = \frac{m}{x} (x > 0)$ 的图象交于点 $A$ ，与 $x$ 轴交于点 $B$ ．将直线 $A B$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $45 °$ 后的直线与 $y$ 轴交于点 $E$ ，过点 $A$ 作 $A M ⊥ x$ 轴于点 $M$ ，过点 $A$ 作 $A N ⊥ y$ 轴于点 $N$ ，已知 $O A = 5$ ．

(1)、求反比例函数的解析式；

(2)、直接写出 $t a n ∠ B A M 、 t a n ∠ N A E$ 的值；

(3)、求直线 $A E$ 的解析式．

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18. 如图，已知抛物线与 $x$ 轴交于 $A (1 ， 0)$ 和 $B (- 5 ， 0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．直线 $y = - 3 x + 3$ 过抛物线的顶点 $P$ ．

(1)、求抛物线的函数解析式；

(2)、若直线 $x = m (- 5 < m < 0)$ 与抛物线交于点 $E$ ，与直线 $B C$ 交于点 $F$ ．
①当 $E F$ 取得最大值时，求 $m$ 的值和 $E F$ 的最大值；

②当 $△ E F C$ 是等腰三角形时，求点 $E$ 的坐标．

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19. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = \frac{1}{4} x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ， $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，其中 $B (3 ， 0)$ ， $C (0 ， - 3)$ ．

(1)、求该抛物线的表达式；

(2)、点 $P$ 是直线 $A C$ 下方抛物线上一动点，过点 $P$ 作 $P D ⊥ A C$ 于点 $D$ ，求 $P D$ 的最大值及此时点 $P$ 的坐标；

(3)、在（2）的条件下，将该抛物线向右平移 $5$ 个单位，点 $E$ 为点 $P$ 的对应点，平移后的抛物线与 $y$ 轴交于点 $F$ ， $Q$ 为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．写出所有使得以 $Q F$ 为腰的 $△ Q E F$ 是等腰三角形的点 $Q$ 的坐标，并把求其中一个点 $Q$ 的坐标的过程写出来．

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